平均指標幾何平均眾數中位數第一頁，共七十一頁，2022年，8月28日A.簡單幾何平均數適用于總體資料未經分組整理尚為原始資料的情況式中：為幾何平均數;為變量值的個數；為第個變量值。幾何平均數第二節平均指標第二頁，共七十一頁，2022年，8月28日四、幾何平均數一）、幾何平均數幾何平均數一般用于計算動態相對指標的平均值例：2000-2005年我國工業品的產量分別是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，計算這5年的平均發展速度。第二節平均指標第三頁，共七十一頁，2022年，8月28日【例】某流水生產線有前后銜接的五道工序。某日各工序產品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個流水生產線產品的平均合格率。設最初投產100個單位，則第一道工序的合格品為100×0.95；第二道工序的合格品為（100×0.95）×0.92；

……第五道工序的合格品為100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；A.簡單幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第四頁，共七十一頁，2022年，8月28日因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應為:100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故需采用幾何平均法計算。A.簡單幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第五頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考：若上題中不是由五道連續作業的工序組成的流水生產線，而是五個獨立作業的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產量相等均為100件，求該企業的平均合格率。A.簡單幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第六頁，共七十一頁，2022年，8月28日

因各車間彼此獨立作業，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；

……

第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業全部合格品應為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80A.簡單幾何平均數幾何平均數不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。第二節平均指標第七頁，共七十一頁，2022年，8月28日又因為應采用加權算術平均數公式計算，即A.簡單幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第八頁，共七十一頁，2022年，8月28日B.加權幾何平均數適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況當各個變量值的次數（權數）不相同時，應采用加權幾何平均數，其計算公式為:幾何平均數第二節平均指標將公式兩邊取對數，則為式中：為幾何平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。第九頁，共七十一頁，2022年，8月28日【例】某金融機構以復利計息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設本金為V，則至各年末的本利和應為：第1年末的本利和為：第12年的計息基礎第2年的計息基礎第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：B.加權幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第十頁，共七十一頁，2022年，8月28日則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故計算平均年本利率應采用幾何平均法。B.加權幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。第1年末的應得利息為：第2年末的應得利息為：第12年末的應得利息為：…………設本金為V，則各年末應得利息為：B.加權幾何平均數幾何平均數第二節平均指標第十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日則該筆本金12年應得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。因為假定本金為VB.加權幾何平均數幾何平均數所以，應采用加權算術平均數公式計算平均年利息率，即：第二節平均指標第十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日四、幾何平均數一）、幾何平均數（二）加權幾何平均數例：某投資銀行25年的年利率分別是：有1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。（先學生練習--復利計息）第二節平均指標第十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日四、幾何平均數一）、幾何平均數幾何平均數的特點： 1、如果數列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；幾何平均數 2、受極端值影響較算術平均數和調和平均數小，故較穩健。第二節平均指標第十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日設x取值為：４、４、５、５、５、10

算術平均與幾何平均更為常用一些，其中幾何平均數對小的極端值敏感，算術平均數對大的極端值敏感。第二節平均指標第十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日四、幾何平均數二）、數值平均數的推廣——冪平均數（選）k=1時，是算術平均Ak趨于0時，趨于幾何平均G；k=-1時，是調和平均H。M(k)是k的遞增函數，因此 ，第二節平均指標第十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日四、幾何平均數二）、數值平均數的推廣——冪平均數：正確選用數值平均數：幾何平均數適合動態指標：平均發展速度、平均增長率等；其他情況一般用算術平均數或調和平均數：分母資料已知用算術平均數；分子資料已知用調和平均數；用錯平均數會產生誤差：第二節平均指標第十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日 某水果店的蘋果有三種等級，價格不同（見下表），要求分別計算各買一元和各買一斤的平均價格；假設某人共買12斤，其中二、三等級各占30%，試求蘋果的平均價格又為多少？第二節平均指標課堂練習第十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日（1）各買1元： H=3/(1/1+1/0.8+1/0.6)=0.77元/斤（2）各買1斤： 均價=(1*1+1*0.8+1*0.6)/3=0.80元/斤（3）共買12斤，其中二、三等級各占30% 均價=1*0.4+0.8*0.3+0.6*0.3=0.82元/斤第二節平均指標課堂練習第二十頁，共七十一頁，2022年，8月28日某地甲乙兩個蔬菜市場某月份白菜的銷售價格及其銷售額資料如下：試分別計算這兩個市場某月白菜的平均銷售價格，哪一個市場白菜的平均價格較高？為什么？第二節平均指標課堂練習第二十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日甲市場平均銷售價格 =（130000+60000+55000）/ （130000/0.65+60000/0.6+55000/0.55) =245000/400000=0.6125=0.61(元/斤)乙市場平均銷售價格 =（65000+60000+11000）/ （65000/0.65+60000/0.6+11000/0.55) =136000/220000=0.6182=0.62(元/斤)乙市場均價高于甲市場，因為一等品的比例更高第二節平均指標課堂練習第二十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日某商店某商品銷售情況如下表，試用簡單算術平均數、加權算術平均數、加權調和平均數等不同方法來計算該商品的平均價格，說明三種計算結果一致的原因。第二節平均指標課堂練習第二十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日簡單算術平均值=(1.1+0.9+0.7)/3=0.9元/斤加權算術平均值 =(1000×1.1+500×0.9+1000×0.7)/ (1000+500+1000)=0.9元/斤加權調和平均值 =（1100+450+700）/(1100/1.1+450/0.9+700/0.7)=0.9元/斤算術與調和平均本應相等；加權與簡單算術平均相等：正常價與處理價銷售量相同，且二者簡單平均與優待價相等。第二節平均指標課堂練習第二十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日加權與簡單算術平均相等：正常價與處理價銷售量相同，且二者簡單平均與優待價相等。第二節平均指標課堂練習第二十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日五、位置平均數：中位數和眾數一）中位數（一）中位數：現象總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數。記為（二）中位數的計算方法1、由未分組資料確定中位數。若總體單位數是奇數，則居于中間位置的那個單位的標志值就是中位數。若總體單位數是偶數，則居于中間位置的兩項數值的算術平均數是中位數。第二節平均指標第二十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日不受極端數值的影響，在總體標志值差異很大時，具有較強的代表性。中位數的作用：

如果統計資料中含有異常的或極端的數據，就有可能得到非典型的甚至可能產生誤導的平均數，這時使用中位數來度量集中趨勢比較合適。中位數第二節平均指標第二十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日五、中位數和眾數1、由未分組資料確定中位數。【例】：9個家庭的人均月收入數據原始數據:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:1234567

89第二節平均指標中位數1080第二十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日五、中位數和眾數1、由未分組資料確定中位數。【例】：10個家庭的人均月收入數據排序:66075078085096010801250150016302000位置:12345678910第二節平均指標第二十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日中位數的位次為：即第3個單位的標志值就是中位數【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數確定—未分組資料第二節平均指標第三十頁，共七十一頁，2022年，8月28日中位數的位次為：中位數應為第3和第4個單位標志值的算術平均數，即【例B】若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數確定—未分組資料第二節平均指標第三十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法2、由單項數列確定中位數。求中位數位置=計算各組的累計次數(向上累計次數或向下累計次數)根據中位數位置找出中位數。第二節平均指標第三十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日

【例】某廠工人日產零件中位數計算表

按日產零件分組工人數向上累計次數向下累計次數（件）（人）2633803110137732142767

3427545336187226418808合計80----第二節平均指標五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法2、由單項數列確定中位數。見教材P105表3-17第三十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日【例C】某企業某日工人的日產量資料如下（選）日產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）10111213147010038015010070170550700800合計800—計算該企業該日全部工人日產量的中位數。中位數的位次中位數確定—單項數列第二節平均指標第三十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3、由組距數列確定中位數。先按的公式求出中位數所在組的位置，然后再用比例插值法確定中位數的值。下限公式（向上累計時用）：上限公式（向下累計時用）：第二節平均指標五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法見教材P106第三十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標下限公式（向上累計時用）上限公式（向下累計時用）第三十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日共個單位共個單位共個單位共個單位LU中位數組組距為d共個單位假定該組內的單位呈均勻分布共有單位數

中位數下限公式為

該段長度應為第二節平均指標公式的理解第三十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3、由組距數列確定中位數。下限公式（向上累計時用）：上限公式（向上累計時用）：第二節平均指標五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法公式的理解第三十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3、由組距數列確定中位數。上限公式（向下累計時用）：下限公式（向下累計時用）：第二節平均指標五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法公式的理解第三十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3、由組距數列確定中位數。向上累計上、下限公式等價性：向上、下累計上限公式等價性：第二節平均指標五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法公式的理解第四十頁，共七十一頁，2022年，8月28日【例】某企業工人日產量的中位數計算表按日產量分組工人數向上累計次數向下累計次數（千克）（人）60以下101016460-70192915470-80507913580-90361158590-1002714249100-1101415622110以上81648合計164----第二節平均指標164/2=82中位數所在組164/2=82中位數所在組五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法3、由組距數列確定中位數。見教材P106表3-178第四十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標解：中位數位置=,在80—90這一組內，根據向上累計下限公式計算中位數：根據向下累計上限公式計算中位數：五、中位數和眾數（二）中位數的計算方法3、由組距數列確定中位數。第四十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日中位數的特點：1、是一種位置平均數，不受極端值及開口組的影響，具有穩健性。2、各單位標志值與中位數離差的絕對值之和為最小值。3、對某些不具有數學特點或不能用數字測定的現象（定序尺度），可用中位數求其一般水平。第二節平均指標五、中位數和眾數第四十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日分位數：（補充（選））N分位數：現象總體中各單位標志值按大小順序排列，將數據分成N等分的N-1個標志值就是N分位數。中位數是二分位數；常見的分位數還有四分位數、八分位數；另外還有十分位數、百分位數等；N>2時，需注明是第幾個N分位數；第二節平均指標五、中位數和眾數第四十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標課堂練習（ ）中位數A、是總體中最常見的標志值B、是處于一個序列中間位置的標志值C、是一個位置平均數D、是一般水平的代表值E、易受變量極端值的影響B,C,D第四十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日五、中位數和眾數二）眾數：眾數是分配數列中出現次數最多的標志值，它表示社會經濟現象中最經常最普遍出現的標志值，能直觀地說明客觀現象分配中的集中趨勢。如果總體中出現次數最多的標志值不是一個，而是兩個，那么，合起來就是復眾數。注：眾數存在的條件是總體的單位數較多，各標志值的次數分配又有明顯的集中趨勢時才存在眾數。第二節平均指標第四十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日指總體中出現次數最多的變量值，用表示,它不受極端數值的影響，用來說明總體中大多數單位所達到的一般水平。眾數比如在服裝行業中，生產商、批發商和零售商在做有關生產或存貨的決策時，更感興趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。此時眾數合適的代表值。（如皮鞋銷售中40碼出現的次數最多，則40就是眾數）第二節平均指標第四十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日眾數的計算方法1、單項數列:出現次數最多的標志值就是眾數。第二節平均指標五、中位數和眾數二）眾數：【例】女式棉毛衫銷售情況

尺碼(厘米)銷售量(件)比重(%)806585815

904840953025100121010565

合計110

100眾數第四十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800【例A】已知某企業某日工人的日產量資料如下:計算該企業該日全部工人日產量的眾數。眾數確定—單項數列第二節平均指標眾數為12第四十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日眾數的計算方法2、組距數列確定眾數的方法——觀察次數+插值法。首先由最多次數來確定眾數所在組，然后再用比例插值法推算眾數的近似值。其上、下限計算公式依次為第二節平均指標五、中位數和眾數二）眾數：第五十頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標下限公式：上限公式：第五十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日眾數的計算方法：下限公式：上限公式：第二節平均指標五、中位數和眾數二）眾數：第五十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日【例】某企業工人日產量次數分布按日產量分組(千克)工人數(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8第二節平均指標五、中位數和眾數二）眾數：眾數組（最多次數組）第五十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日【例B】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的眾數。眾數確定—組距數列第二節平均指標第五十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日組距數列的眾數M0，一定位于次數分配直方圖中最高一組的組距內的某個值，該值就是分布曲線最高峰的橫坐標值，又稱峰值。眾數的特點：1、眾數是一個位置平均數，它只考慮總體分布中最頻繁出現的變量值，而不受極端值和開口數組列的影響，從而增強了對變量數列一般水平的代表性；2、眾數是一個不容易確定的平均指標，當分布數列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數可言；當變量數列是不等距分組時，眾數的位置也不好確定。第二節平均指標五、中位數和眾數二）眾數：第五十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日當數據分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數；當數據分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數（前者無眾數，后者為雙眾數或多眾數，也等于沒有眾數）。眾數的原理及應用第二節平均指標第五十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200413名學生出生時間分布直方圖沒有突出地集中在某個年份眾數的原理及應用第二節平均指標第五十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學生的身高分布直方圖出現了兩個明顯的分布中心眾數的原理及應用第二節平均指標第五十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日應用平均指標應注意的問題注意現象總體的同質性總平均數與組平均數結合使用注意極端值的影響用分配數列補充說明平均數第五十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標課堂練習（ ）眾數是 A、總體中出現次數最多的標志值 B、處于一個序列中間位置的標志值 C、當各個標志值的次數相等時不存在 D、當各個標志的次數相等時為零 E、不易受變量極端值的影響A,C,E第六十頁，共七十一頁，2022年，8月28日課堂練習某地區水稻播種面積按畝產量分組如下，計算畝產量的中位數和眾數。第二節平均指標眾數組（最多次數組）第六十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標課堂練習答案（1）眾數第六十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日第二節平均指標課堂練習答案（2）中位數第六十三頁，共七十