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內點罰函數法報告人：楊中源馬明亮指導老師：鄒斌內點罰函數法基本思想

根據原約束優化問題，構造的一個新的定義在可行域內的無約束目標函數，并在可行域內求解新的目標函數（內點懲罰函數）的極值點，而這個點就是原問題的近似解。算法特點

其突出特點是：求解時的探索點始終保持在可行域內。數學描述對于如下不等式約束優化問題其中是連續函數可行域為

內點罰函數法數學描述根據內點罰函數法的思想，建新的定義域內的無約束目標函數B(x)的兩種最重要的形式：和r通常取很小的正數。這樣，當x趨近可行域邊界時，G(x,r)趨近+∞,此時的x必不是極小值點。否則，r*B(x)趨近于0，G(r,x)的值近似于f(x)。通過這種方式，內點罰函數法就可以保證搜索過程在可行域S內進行，此時的罰函數B(x)又稱障礙函數。這里也可以看出，內點罰函數法只適用于不等式約束的情況，對于等式約束，障礙函數無法發揮作用。同理內懲法也取不到位于邊界上的解，而只能不斷接近。數學描述通過以上推導，利用內點罰函數法，原有不等式約束優化問題就轉化為一個在定義域內的無約束優化問題。懲罰因子（障礙因子）的選取r越小，G(x,r)的最優解越接近原問題的最優解，但與外點法類似，r太小將給G(x,r)的計算帶來很大的困難，因此仍采用序列無約束極小化方法（SUMT），取r為一個嚴格單減且趨于零的序列使r隨迭代過程遞減計算步驟收斂性

內點罰函數收斂性定理：設一個非等式約束優化問題中，可行域內部intS非空，且存在最優解，又設對每一個，在intS內存在極小點，并且內點罰函數法產生的全局極小點序列存在子序列收斂到，則是問題的全局最優解。證明：內點罰函數發收斂性內點罰函數法收斂性內點罰函數法收斂性收斂性收斂性內點罰函數法與外點罰函數法的比較1.外點法的初始點可以任意取，內點法的初始點必須取在可行域內2.外點法對等式約束也適用，內點法對等式約束不適用，因為此時沒有內點存在。3.外點法只有迭代到最后才能得到可行解；而內點法每一步得到的點都是可行解，這在實際問題中很方便，隨時停止迭代，都可以得到原問題的一個近似最優解。4.外

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