中小學數學建模B11數學與應用數學四班王毅（114103054014）認識數學建模(一）數學建模：應用（相關）知識從實際問題中抽象、

提煉出數學模型的過程。

即數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。（二）數學模型：由數字、字母和數學符號組成，描述現實對象數量規律的數學公式、圖形和算法。

各種數學公式、方程式定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型，舉個簡單的例子，一元一次方程就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題都可以轉化為一元一次方程來解決。了解數學建模過程

1、模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。

2、模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。

3、模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構（盡量用簡單的數學工具）。

4、模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。

5、模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。6、模型檢驗：用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和實用性，即驗證模型的正確性。

7、模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。建立數學模型的方法

（1）分析與綜合：分析是對所獲得的數學材料或數學問題的構成要素進行研究，把握各要素在整體中的作用，找出其內在的聯系與規律，從而得出有關要素的一般化的結論的思維方式。綜合是將對數學材料、數學問題的分析結果和各要素的屬性進行整合，以形成對該對象的本質屬性的總體認識的思維方法。（2）比較與分類：比較是對有關的數學知識或數學材料，辨別它們的共同點與不同點，以便揭示其背后的共同模型。分類是在比較的基礎上，按照事物間性質的異同，將具有相同性質的對象歸入一類，不同性質的對象歸入另一類的思維方法。（3）抽象與概括：抽象是從許多數學事實或數學現象中，舍去個別的、非本質的屬性，而抽出共同的本質的屬性。概括則是把抽象出來的事物間的共同特征，歸結出來。（4）猜想與驗證：猜想是對研究的數學對象或數學問題進行觀察、實驗、比較、歸納等一系列的思維活動，依據已有的材料或知識經驗，做出符合一定規律的推測性想象。這樣的一個學習過程可以概括為：實際操作——提出猜想——進行驗證——自我反思——建立模型案例應用案例一：鋪管道問題

A、B兩地相距18公里，甲工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸送天然氣管道，乙工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸油管道。已知甲工程隊每周比乙工程隊少鋪設1公里，甲工程對提前3周開工，結果兩隊同時完成任務，求甲、乙兩工程隊每周各鋪設多少公里管道？AB18公里解：設甲工程隊每周鋪設管道x公里，則乙工程隊每周鋪設管道（x＋1）公里。依題意得：解得

=2，

=-3經檢驗

=2，=-3都是原方程的根。但

=－3不符合題意，舍去。∴x=2x＋1=3答：甲工程隊每周鋪設管道2公里，則乙工程隊每周鋪設管道3公里。案例二：采購問題

某體育用品商場采購員要到廠家批發購進籃球和排球共100只，付款總額不得超過11815元。已知兩種球廠家的批發價和商場的零售價如下表，試解答下列問題：（1）該采購員最多可購進籃球多少只？（2）若該商場能把這100只球全部以零售價售出，為使商場獲得的利潤不低于2580元，則采購員至少要購籃球多少只？該商場最多可盈利多少元？品名廠家批發價(元/只)

商場零價（元只）籃球130160排球100120解：（1）該采購員最多可購進籃球ｘ只，則排球為（100－x）只，依題意得：130x＋100（100－x）≤11815解得x≤60.5∵x是正整數，∴x＝60答：購進籃球和排球共100只時，該采購員最多可購進籃球60只。（2）該采購員至少要購進籃球ｘ只，則排球為（100－x）只，依題意得：30x＋20（100－x）≥2580解得x≥58由表中可知籃球的利潤大于排球的利潤，因此這100只球中，當籃球最多時，商場可盈利最多，即籃球60只，此時排球平均每天銷售40只，商場可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）答：采購員至少要購進籃球58只，該商場最多可盈利2600元。案例一：數昆蟲問題

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現在這三種小蟲共18只，條有118腿和20對翅膀，問每種小蟲各幾只?分析：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與”6條腿“兩種。先假設蜻蜓和蟬的總只數為x,那么蟬就有（18-x）只。根據腿的條數列方程先算出x，那么就得到蟬的只數。再設蜻蜓有y只，根據翅膀的對數列方程即可得到y，那么就得到蜻蜓和蟬的只數。解：設蜻蜓和蟬的總共為x只，那么蜘蛛為（18-x）只。可列方程：6x+（18-x）×8=118解得：x=13（只）所以蜘蛛為18-13=5（只）再設蜻蜓為y只，那么蟬為（13-y）只。列方程：2y+（13-y）=20解得y=7（只），所以蟬為13-7=6（只）。答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。數學建模的價值1、翻譯能力的培養。數學建模要將實際問題先用數學語言表達出來，再把數學問題用一般人所能理解的非數學語言表達出來，提出解決某一問題的方案或建議。這可以充分鍛煉學生的數學語言與非數學語言之間的翻譯表達能力。

2、自學能力的培養。數學建模所涉及的各種實際問題一般都與現實生活有較密的聯系并具有較強的實用性，很容易激發學生的好奇心，提高學生學習數學和其它知識的興趣，挖掘學習潛能，自覺地查閱與問題有關的科技資料，從而培養學生的自學能力和自學習慣，使他們掌握一種可以終身獲得知識的方法。3、想象力和聯想力的培養。對于不少的實際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下，它們的數學模型是相同的或相似的。這要求學生必須開動腦筋，拓寬思路，充分發揮他們的想象力。4、各種當代科技最新成果使用能力的培養。在數學建模過程中，應用計算機和相應的數學軟件對所收集的數據進行計算、處理，對求解結果進行分析、論證，這不僅能夠節省大量的時間，得到直觀形象的結果，而且能夠養成自覺應用最新科技成果的良好習慣。6、團結合作的團隊精神和交流表達能力的培養。數學建模活動往往是小組分工合作，需要各成員之間密切配合，相互交流，集思廣益。同時提倡討論、爭辯、勇于提出自己的觀點和見解，從而培養互相交流、互相學習、求同存異的團結合作精神和組織、協調、管理的能力，這種互相合作的精神在當今社會生活中是非常需要的。

7、創造能力的培養。數學建模沒有現成的答案，也沒有現成的模式或通式，建模的過程有較大的靈活性，建模的結果一般只有最優答案，而不是標準答案。因此，數學建模給學生提供了一個自我學習獨立思考認真探索的實踐過程，提供了一個發揮創造才能的條件和平臺。數學建模的應用

1、讓學生經歷數學概念形成的過程，探索數學規律。《新課標》的總體目標中提出，要讓學生“經歷將一些實際問題抽象為數與代數的問題的過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題。”讓學生經歷就必須有一個實際環境。學生在實際環境中通過活動體會數學、了解數學、認識數學。

2、開設數學活動課，重視實踐活動，為學生解決問題積累經驗。開設數學活動課，讓學生自己動腦、動手解決問題，可以使他們獲取數學實際問題的背景、情境，理解有關的名詞、概念，有助于學生正確理解題目意思，建立數學模型，是培養學生主動探究精神和實踐能力的自由天地。

3、引導學生用圖形解決問題，確立從代數到幾何的過渡。代數與幾何并不是孤立的兩塊。他們也有相通之處。我們可以用幾何的觀念來解代數問題。圖形對于低段學生來說是更直觀、更有效的形式。

例：讓學生觀察熱水瓶、茶杯、可樂罐、電線桿、大樹、房屋柱子等，通過現代教學手段（如用CAI課件或實物投影儀），學會撇開扶手柄、樹枝、顏色等非本質特征，分