第五章大數定律與中心極限定理

5.1大數定律

5.2中心極限定理5.1大數定律

第一章引入概率概念時，曾經指出，事件發生的頻率在一、二次或少數次試驗中具有隨機性的，但隨著試驗次數n的增大，頻率將會逐漸穩定且趨近于概率。特別，當n很大時，頻率與概率會非常“接近”的。這個非常“接近”是什么意思？這與高等數學中的極限概念有否聯系？本章將從理論上討論這一問題。

定理1設隨機變量的數學期望E=，方差D

=2，則對任意的正數，不等式(1.1)成立。這個不等式稱為契貝雪夫(Chebyshev)不等式。

證我們僅就連續型隨機變量情形加以證明。

設的概率密度為f(x)，于是

證畢。式(1.1)表明當D

很小時，概率更小。這就是說在上述條件下，隨機變量落入

的鄰域之外的可能性很小，落入

的鄰域內可能性很大。由此說明的取值比較集中，也即離散程度較小，這正是方差的意義所在。契貝雪夫不等式在理論研究和實際應用中都有很重要的價值。

例1已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白細胞的平均數是7300，均方差是700。試估計每毫升血液中白細胞數在5200～9400之間的概率。解設每一毫升血液中白細胞數為，則由上式有

契貝雪夫不等式也可以寫成如下等價形式定理2（伯努利(Bernoulli)大數定律）設是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對任意正數>0，有或

證令則1，2，…，n是n個相互獨立的隨機變量，且易知

于是

由契貝雪夫不等式得又由1，2，…，n的獨立性可知從而有

證畢

上述伯努利大數定律從理論上給出了頻率“接近”概率這種“現象”的更加確切的含意，它反映了大數次重復試驗下隨機現象所呈現的客觀規律性。

設1，2，…，n，…是一個隨機變量序列，a是一個常數，若對任意的正數，有

則稱隨機變量序列{}依概率收斂于a，記作定理2′

是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則定理3（契貝雪夫大數定律）設1，2，…，n，…是相互獨立的隨機變量序列，又設它們的方差有界，即存在常數c>0，使得

則對任意的>0，有證明（略）或

伯努利大數定律是契貝雪夫大數定律的特例,在它們的證明中,都是以契貝雪夫不等式為基礎的,所以要求隨機變量具有方差。但進一步的研究表明，方差存在這個條件并不是必要的。下面我們介紹獨立同分布的辛欽大數定律。定理4(辛欽(ХИНЧИН)大數定律)設1，2，…，n，…是相互獨立的隨機變量序列，且數學期望存在:則對任意的>0，有證明（略）這就為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑。

伯努利大數定律說明了當n很大時，事件發生的頻率會非?！敖咏备怕?，而這里的辛欽大數定律則表明，當n很大時，隨機變量在n次觀察中的算術平均值也會“接近”它的期望值，即5.2中心極限定理

在第二章介紹正態分布時曾經特別強調了它在概率論與數理統計中的地位與作用，為什么會有許多隨機變量遵循正態分布？僅僅是經驗猜測還是確有理論根據？這當然是一個需要弄清的問題。實踐表明，客觀實際中有很多隨機變量，它們往往是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合作用所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用是微小的。下面將要介紹的中心極限定理從理論上闡明了這樣的隨機變量總是近似地服從正態分布的。

定理5（獨立同分布的林德貝爾格-勒維(Lindeberg－Levy)中心極限定理）設1，2，…，n，…是相互獨立，且服從同一分布的隨機變量序列，并具有數學期望和方差：

則對任意的x有證明（略）兩點說明：

1°無論隨機變量1，2，…，n，…服從同一分布的情況如何，只要{i}滿足定理的條件，則隨機變量序列：當n無限增大時，總以標準正態分布為其極限分布?；蛘哒f，當n充分大時，n近似服從標準正態分布。根據這一點，在實際應用中，只要n充分大，我們便可把n個獨立同分布的隨機變量的和當作正態隨機變量。

2°因為對

中每一被加項

有故有

即n中每一被加項對總和的影響都很微小，但它們迭加的和卻以標準正態分布作為極限。例1設有100個電子器件，它們的使用壽命1，2，…，100均服從參數為=0.05(h-1)的指數分布，其使用情況為：第一個損壞第二個立即使用，第二個損壞第三個立即使用等等。令表示這100個電子器件使用的總時間，試求超過1800h小時的概率。解由于i服從參數為=0.05的指數分布。因此又由題設知，因此由定理5得：

作為定理5的推論有

定理6（德莫佛—拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理）在n重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中出現的概率為p，n為n次試驗中事件A出現的次數，則對任意的x，有

證由§5.1的定理2的證明可知，n可以看成是n個相互獨立，且服從同一(0－1)分布的隨機變量1，2，…，n之和，即由定理5得：

對于相互獨立但不同分布的隨機變量和的分布的極限問題,有李雅普諾夫中心極限定理。

定理7（李雅普諾夫Liapunov定理）設隨機變量1，2，…，

n，…相互獨立，且

若存在>0，使得則對任意的x，有證略。

定理表明，二項分布的極限分布是正態分布。因此，當n充分大時，我們可以利用(2.2)式來計算二項分布的概率。

不難看出，當n很大時，

近似服從標準正態分布N(0，1)，也即

近似服從正態分布：

這就是說，無論各個隨機變量

i

(i=1，2，…)服從什么樣的分布，只要滿足定理7的條件，那么它們的和

當n很大時，就近似地服從正態分布。這也就說明了為什么正態隨機變量在概率論與數理統計中占有重要地位的一個最基本的原因。

例2某單位有300架電話分機，每個分機有5%的時間要用外線通話，可以認為各個電話分機用不用外線是相互獨立的。試問該單位總機至少應配備多少條外線，才能以95%的把握保證各個分機在用外線時不必等待？解令

顯然300是服從參數n=300，p=0.05的二項分布。根據題意，要求確定最小的正整數x，使得

則i服從(0－1)分布，且p=0.05。如果假定300架分機中同時要求使用外線的分機數為300，則運用定理6，有因此應有

查正態分布表得由此可取

解得取最接近的整數x=22，即總機至少應配備22條外線，才能有95%以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候。

思考題：1、隨機變量表示對概率為p的事件A做n次重復獨立試驗時，A出現的次數。試分別用契貝雪夫不等式及中心極限定理估計滿足下式的n：2、某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。(1)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？(2)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接受這一斷言的概率是多少？1、解：記由于~B(n，p)，故E=np，E=p，(1)根據契貝雪夫不等式，有(2)以i表示每次試驗時A出現的次數，則i服從參數為p的0-1分布，且Ei

=p，Di=p(1-p)1/4，而是n個獨立同分布的隨機變量之和，故由中心極限定理知因此有2、解：(1)以表示100人中治愈人數，則~B(100，0.8)所求概率為(2)依題~B(100，0.7)所求概率為練習題一、填空1．已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=0，P(AC)=(BC)=1/16，則事件A、B、C全不發生的概率為

。2．設P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3；A1，A2，A3相互獨立，則A1，A2，A3最多出現一個的概率為

.3．若隨機變量在（1，6）上服從均勻分布，則方程x2+

x+1=0有實根的概率是

。4．設隨機事件A，B互不相容，且已知P(A)=p1,P(B)=p2，0<p1+p2<1，則

。5.若隨機變量~N(5，4)，且P{<a}=0.9，則a=

(已知（1.28）=0.8997)。6.已知隨機變量X的概率密度函數為則X的概率分布函數F(x)=

。7.二.選擇1.設A，B為兩隨機事件，且BA，則下列式子正確的是（A）P(A+B)=P(A) （B）P(AB)=P(A)（C）P(B|A)=P(B) （D）P(B-A)=P(B)-P(A)2.若二事件A和B同時出現的概率P(AB)=0，則（）(A)A和B不相容(相斥)(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0。已知隨機變量服從正態分布N(2,22)，且=a+b服從標準正態分布N(0,1)，則()。(A)a=2，b=－2(B)a=－2，b=－1(C)a=1/2，b=－1(D)a=1/2，b=1

。計算題1.

設100個產品中有10個次品，從中有放回地抽取4個，每次一個。求：（1）抽到的次品數的分布列；（2）恰好抽到3個次品的概率；（3）沒有抽到次品的概率。2.設隨機變量的概率密度為試求系數a及E和D。3.

設隨機變量的分布律為

-1012

p0.40.20.30.1

試求隨機變量及的分布律。5.某儀器裝有四只獨立工作的同型號電氣元件，其壽命(單位：小時)都服從同一指數分布，密度函數為：

f(x)=試求在儀器使用的最初500小時內，至少有一個電子元件損壞的概率.6.某商店出售的燈泡來自甲、乙兩個工廠，甲廠產品占70%，乙廠產品占30%，甲廠、乙廠的產品合格率分別為0.92和0.87。某顧客從該商店