1

機械控制工程基礎第四章頻域分析第一節概述

第二節典型環節的頻率特性第三節

系統開環頻率特性圖第四節閉環頻率特性第五節閉環系統性能分析第六節頻域分析的MATLAB實現▼

▼

▼

▼

▼

▼

學習重點理解頻率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；掌握典型環節的頻率特性，熟練掌握系統頻率特性的伯德圖和奈氏圖的繪制方法；（重點掌握）

了解閉環系統頻率特性及其和系統暫態特性的關系。建立開環頻率特性和系統性能指標之間的對應關系，能夠定性地分析系統的性能；

頻域分析法：是一種圖解分析方法，它依據系統的又一種數學模型—頻率特性，不必求解系統的微分方程就可以根據系統的開環頻率特性分析閉環系統的性能，并能方便的分析系統中的各參數對系統性能的影響，指明改進系統性能的途徑。是一種工程上另一種廣泛應用的方法。研究的問題仍然是系統的穩定性、瞬態性能、穩態性能；引言時域分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下的系統瞬態時間響應來研究系統的性能。頻域分析：通過系統在不同頻率ω的諧波（正弦）輸入作用下的系統的穩態響應來研究系統的性能。RC第一節概述一、頻率特性的概念例1

RC電路如圖所示，ui(t)=A0sinwt,求uo(t)=?RC0穩態輸出：穩態輸出與輸入的幅值成正比，與輸入同頻率：推廣到一般的線性定常系統：0t

線性定常系統對諧波輸入的穩態響應（頻率響應）為同頻率的諧波函數。

系統對正弦輸入的穩態響應稱為頻率響應。

正弦輸入時，系統的穩態輸出量與輸入量之比叫做系統的頻率特性，包括幅頻特性和相頻特性。1、頻率特性定義：頻率特性＝幅頻特性相頻特性

A(ω)：穩態輸出與輸入的幅值比

φ(ω)：穩態輸出與輸入的相位差ω的非線性函數（揭示了系統的頻率響應特性）2、頻率特性與傳遞函數之間的關系系統模型間的關系二、

頻率特性的求法(1)頻域響應→頻率特性

利用在已知系統的微分方程或傳遞函數的情況下，當輸入為正弦函數時，求其穩態解，再求G(jω)；(2)傳遞函數→頻率特性

利用將傳遞函數中的s換為jω來求取；(3)實驗法：是對實際系統求取頻率特性的一種常用而又重要的方法。如果在不知道系統的傳遞函數或數學模型時，只有采用實驗法。三、

頻率特性的特點（1）頻率特性是通過分析系統對不同頻率正弦輸入的穩態響應來獲得系統的動態特性。（2）頻率響應有明確的物理意義，并且可以用實驗的方法獲得，這對于不能用解析法建模的元件或系統，具有非常重要的意義。（3）便于研究系統結構參數變化對系統性能的影響。（4）不需要解閉環特征方程，利用奈奎斯判據，根據系統的開環頻率特性就可以研究閉環系統的穩定性。四、頻率特性的表示方法①極坐標圖（Nyquist圖）②對數坐標圖（Bode圖）③對數幅相特性圖（Nichols圖）1.數學式表達方法2.圖形表示方法實頻特性虛頻特性1.數學式表達方式1）直角坐標表達式（實頻-虛頻）設系統或環節的傳遞函數為令s=jω，可得系統或環節的頻率特性

U(ω)是頻率特性的實部，稱為實頻特性，V(ω)為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。其中：幅頻特性相頻特性2）指數表達式（幅頻-相頻）

A(ω)為復數頻率特性的模或幅值，即幅頻特性φ(ω)為復數頻率特性的輻角或相位，即相頻特性其中：0代數形式與指數形式之間的關系：(1)極坐標圖（Nyquist圖）2.圖形表示方法jV(ω)U(ω)G(jω1)G(jω2)0映射（2）對數坐標圖（Bode圖）對數頻率特性是將頻率特性表示在對數坐標中。

對上式兩邊取對數，得

一般不考慮0.434這個系數，而只用相角位移本身。

通常將對數幅頻特性繪在以10為底的半對數坐標中，對數幅頻特性對數相頻特性Bode圖：縱軸橫軸按lgw

分度，按w真實值標注；幾何上等分真值等比“分貝”dec“十倍頻程”對數頻率特性的優點：（1）當頻率范圍很寬時，可以縮小比例尺。（2）當系統由多個環節串聯構成時，簡化了繪制系統的頻率特性。將Bode圖的兩張圖合二為一：對數幅值做縱坐標（dB）；相位移做橫坐標（度）；頻率做參變量。0o180o-180ow0-20dB20dB（3）對數幅相特性圖（Nichols圖）第二節典型環節的頻率特性一、比例環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性或寫成

比例環節的幅相頻率特性(乃氏圖)0UjVK（3）對數頻率特性（Bode圖）00K=1K>1K<1對數幅頻特性：過點（1，20lgK）的水平線對數相頻特性：與0°線重合二、

積分環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性或寫成

積分環節幅相頻率特性(乃氏圖)0jVU虛軸的下半軸，由無窮遠點指向原點。積分環節幅相頻率特性(奈氏圖)（3）對數頻率特性（Bode圖）000.110120-90-180-20三、微分環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性理想微分環節幅相頻率特性(奈氏圖)0jVU虛軸的上半軸，由原點指向無窮遠處。（3）對數頻率特性（Bode圖）000.11012090°四、

慣性環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性0jVU1慣性環節的幅相頻率特性(乃氏圖)（3）對數頻率特性（Bode圖）00五、一階微分環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性一階微分環節幅相頻率特性(乃氏圖)0jVU1始于點（1，j0）,平行于虛軸。一階微分環節幅相頻率特性(奈氏圖)（3）對數頻率特性（Bode圖）00六、振蕩環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性振蕩環節幅相頻率特性(乃氏圖)10jVU振蕩環節幅相頻率特性(奈氏圖)（3）對數頻率特性（Bode圖）00-403/2七、二階微分環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性二階微分環節幅相頻率特性(乃氏圖)（3）對數頻率特性（Bode圖）與二階振蕩環節Bode圖對稱于頻率軸。八、延遲環節（1）傳遞函數（2）幅相頻率特性時滯環節幅相頻率特性(奈氏圖)01jVU（3）對數頻率特性（Bode圖）000.1110100第三節系統開環頻率特性圖一、開環系統的幅相頻率特性圖（奈奎斯）1、繪制系統乃氏圖的基本步驟1)將系統的開環傳遞函數寫成若干典型環節串聯形式；

2)根據傳遞函數寫出系統的實頻特性、虛頻特性和幅頻特性、相頻特性的表達式；

3)分別求出起始點(ω=0)和終點(ω=∞)，并表示在極坐標上；

4)找出必要的特征點，如與實軸的交點、與虛軸的交點等，并表示在極坐標上；

5)補充必要的幾點，根據已知點和｜G(jω)｜、∠G(jω)的變化趨勢以及G(jω)所處的象限，繪制Nyquist曲線的大致圖形。4ReIm(-KT，j0)積分環節改變了起始點（低頻段）。ReIm5二、開環系統的對數坐標圖（伯德圖）繪制系統伯德圖的基本步驟如下1)由傳遞函數G(s)求出頻率特性G(jω)，并將G(jω)化為若干典型環節頻率特性相乘的形式；

2)求出各典型環節的轉折頻率、阻尼比ξ等參數；

3)分別畫出各典型環節的幅頻曲線的漸近線和相頻曲線；

4)將各環節的對數幅頻曲線的漸近線進行疊加，得到系統幅頻曲線的漸近線，并對其進行修正。

5)將各環節相頻曲線疊加，得到系統的相頻曲線。解：試繪制系統伯德圖。04020-40-200.22200.40.60.81468103、畫近似幅頻折線和相頻曲線并疊加3直接繪制系統的對數幅頻特性步驟如下1)將系統傳遞函數寫成標準形式，并求出其頻率特性；

2)確定各典型環節的轉折頻率，并由小到大將其順序標在橫坐標上；

3)計算20lgK，在橫坐標上找出ω=1，縱坐標為20lgK的點；4)過該點作斜率為-20νdB/dec的斜線，以后從第一個轉折頻率開始沿軸向右，每經過一個轉折頻率便改變一次斜率，其原則是：如遇慣性環節的轉折頻率，則斜率增加-20dB/dec；遇一階微分環節的轉折頻率，斜率增加+20dB/dec；如遇振蕩環節的轉折頻率，斜率增加-40dB/dec；二階微分環節則增加+40dB/dec。5)根據需要，可根據誤差修正曲線對漸近線進行修正，其辦法是在同一頻率處將各環節誤差值疊加，即可得到精確的對數幅頻特性曲線。

6)對數相頻特性曲線為各典型環節的相頻特性曲線的疊加。三、

最小相位系統的概念最小相位傳遞函數——在[s]右半平面既無極點、又無零點的傳遞函數，稱最小相位傳遞函數；否則，為非最小相位傳遞函數。最小相位系統——具有最小相位傳遞函數的系統。→兩個系統的幅頻特性完全相同而相頻特性相異000T1＞T2

＞0最小相位系統的特點：系統類型與開環對數幅頻特性的關系（低頻段）1）0型系統ω1

低頻段的幅值為20lgK。

在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；特點：四、由系統的對數頻率特性求對應的傳遞函數2）I型系統1ω11ω1低頻漸近線或延長線與橫軸的交點的頻率值等于開環增益K的值。在低頻段的漸近線斜率為-20dB/dec在低頻段的漸近線或其延長線過點（1，20lgK）特點：3）II型系統低頻漸近線或延長線與橫軸的交點的頻率值的平方等于開環增益K的值1ω11ω1在低頻段的漸近線斜率為-40dB/dec在低頻段的漸近線或其延長線過點（1，20lgK）特點：例4.6已知系統對數頻率特性如圖所示，求系統的開環傳遞函數G(s).0.2ωT1ωnωT2-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1410dBω/(rad/s)L(ω)/dB015.62）求K20lgK=15.6K=63）求ωnωT1

=0.2

=ωn5）求τωT2

=4=1/ττ=0.254）求ξ-20lg2ξ=10ξ=0.158解：思考？若所給的開環對數幅頻特性曲線上，并未給出ω=1時所對應的幅值L(ω)=20lgK，如何求不同類型系統的開環增益K。由GK(jω)求取GB(jω):第四節閉環頻率特性Xi(s)Xo(s)-G(s)一、反饋控制系統的閉環頻率特性二、頻域性能指標GKXiXo+-對于單位負反饋系統，若M

(0)=1，說明系統輸出對輸入的跟隨性好。1、零頻幅值M(0)ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b反映系統的穩態精度M(0)、ωM、△—與穩態性能有關ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b3、諧振頻率ω

r；諧振峰值Mr

使幅頻特性曲線出現峰值的頻率稱為諧振頻率。諧振頻率處的峰值稱為諧振峰值。ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMωrωb1.0＜Mr

＜1.4，

0.4＜ξ＜0.7Mp＜25%反映瞬態響應平穩性注：ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ω

bωXi(ω)ωb系統

Φ(jω)ωXo(ω)ωb14、截止頻率ω

b；截止帶寬0~ωb反映瞬態響應的快速性第五節閉環系統性能分析一、頻域指標與時域指標之間的關系對于給定的ξ，ωr與ts成反比，即ωr大，響應快；ωr

小，響應慢。Mr，Mp均隨著ξ增加而減小，Mr大，Mp也大,瞬態響應相對穩定性差。

二階系統：物理意義：當閉環幅頻特性有諧振峰時，系統的輸入信號的頻譜在ω=ωr附近的諧波分量通過系統后顯著增強，從而引起振蕩。

高階系統：二、

閉環系統性能分析（用開環頻率特性分析閉環系統的性能）1）低頻段：20lg∣G(jω)