山西省呂梁市柳林縣第四中學2023年高二數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數，則

()．A．

B．

C．

D．參考答案：A2.將數字“123367”重新排列后得到不同的偶數個數為（）A．72 B．120 C．192 D．240參考答案：B【考點】D8：排列、組合的實際應用．【分析】根據題意，分2步進行分析：①．在2、6中任選1個安排在個位數字，②由倍分法分析前5個數位的排法數目，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①、要求為偶數，則其個位數字為2或6，有2種情況，②、將其余5個數字全排列，安排在前5個數位，由于其中有2個“3”，則前5個數位有=60種情況，則可以得到2×60=120個不同的偶數；故選：B【點評】本題考查排列、組合的應用，注意數字中有兩個“3”．3.下列說法正確的是(

)

A．若已知兩個變量具有線性相關關系，且它們正相關，則其線性回歸直線的斜率為

B．直線垂直于平面a的充要條件為垂直于平面a內的無數條直線

C．若隨機變量，

且，

則

D．己知命題，則參考答案：A4.直線l過點（0，2），被圓截得的弦長為，則直線l的方程是（

）A. B. C. D.或參考答案：D5.已知函數f（x）=，若方程f（x）=m存在兩個不同的實數解，則實數m的取值范圍為（）A．（0，） B．（0，e） C．（﹣∞，） D．（0，]參考答案：A【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】對函數f（x）求導數f′（x），利用導數判斷函數f（x）的單調性，求出f（x）的定義域和最大值，即可求出方程f（x）=m存在兩個不同的實數解時m的取值范圍．【解答】解：∵函數f（x）=，x＞0；∴f′（x）==，令f′（x）=0，得1﹣lnx=0，解得x=e；當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；當x=e時，f（x）取得最大值是f（e）=，且f（x）＞0；當方程f（x）=m存在兩個不同的實數解時，實數m的取值范圍是0＜x＜．故選：A．6.“a<－2”是“函數f(x)＝ax＋3在區間[－1,2]上存在零點”的()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A7.若a∈R，則a=1是復數z=a2﹣1+（a+1）i是純虛數的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】A2：復數的基本概念；2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】當a=1時，可以得到復數的實部等于0，得到復數是一個純虛數；當復數是一個純虛數時，根據復數的有關概念，得到實部為0且虛部不為0，得到a=1，得到是一個充要條件．【解答】解：∵a=1，∴z=2i∴z是純虛數z是純虛數故選C．【點評】本題考查復數的概念，考查條件的判斷，是一個基礎題，注意推導充要條件時，從兩個方面入手，本題是一個必得分題目．8.已知函數，若在上有解，則實數a的取值范圍為（

）A.(1,e) B.(0,1) C.(－∞,1) D.(1,+∞)參考答案：D【分析】首先判斷函數單調性為增.,將函數不等式關系轉化為普通的不等式,再把不等式轉換為兩個函數的大小關系,利用圖像得到答案.【詳解】定義域上單調遞增，，則由，得，，則當時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【點睛】本題考查了函數的單調性,解不等式,將不等式關系轉化為圖像關系等知識,其中當函數單調遞增時,是解題的關鍵.9.對一切實數x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．[﹣2，2] D．[0，+∞）參考答案：B【考點】基本不等式；函數恒成立問題；二次函數的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】當x=0時，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，當x≠0時，則有a≥﹣（|x|+）恒成立，故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．再利用基本不等式求得（|x|+）得最大值，即可得到實數a的取值范圍．【解答】解：當x=0時，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，當x≠0時，則有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值為﹣2，故實數a的取值范圍是[﹣2，+∞），故選B．【點評】本題主要考查函數的恒成立問題，基本不等式的應用，求函數的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．10.在復平面內，復數(i是虛數單位)的共軛復數對應的點位于（

）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限參考答案：D試題分析：由題意得復數，所以共軛復數為，在負平面內對應的點為位于第一象限，故選D．考點：復數的運算及表示．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數的導數為，則數列的前項和是______________參考答案：12.已知函數，函數有四個零點，則實數k的取值范圍是______．參考答案：【分析】將問題轉化為與有四個不同的交點的問題；畫出圖象后可知，當與在和上分別相切時，兩切線斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導數幾何意義和二次函數的知識分別求解出兩條切線斜率，從而得到所求范圍.【詳解】有四個零點等價于與有四個不同的交點當時，，當時，；當時，即在上單調遞減，在上單調遞增

當時，，此時由此可得圖象如下圖所示：恒過，由圖象可知，直線位于圖中陰影部分時，有四個不同交點即臨界狀態為與兩段圖象分別相切當與相切時，可得：當與相切時設切點坐標為，則又恒過，則即，解得：

由圖象可知：【點睛】本題考查利用函數零點個數求解參數范圍的問題，其中還涉及到導數幾何意義的應用、二次函數的相關知識.解決零點問題的常用方法為數形結合的方法，將問題轉化為曲線與直線的交點問題后，通過函數圖象尋找臨界狀態，從而使問題得以求解.13.為了得到函數y＝sin的圖象，只需把函數y＝sin的圖象________．參考答案：向右平移個長度單位14.如直線ax＋by=R2與圓x2＋y2=R2相交，則點(a，b)與此圓的位置關系是

▲

。參考答案：點在圓外略15.如圖所示，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一粒豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，則P（B|A）=．參考答案：【考點】CM：條件概率與獨立事件．【分析】根據幾何概型計算公式，分別算出P（AB）與P（A），再由條件概率計算公式即可算出P（B|A）的值．【解答】解：根據題意，得P（AB）===，∵P（A）===，∴P（B|A）==故答案為：【點評】本題給出圓內接正方形，求條件概率P（B|A），著重考查了幾何概型和條件概率計算公式等知識，屬于中檔題．16.某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為_______.參考答案：略17.下列圖形中線段規則排列，猜出第6個圖形中線段條數為_________.

參考答案：

125略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知等差數列的前n項的和記為，.（1）求數列的通項公式；（2）求的最小值及其相應的的值.參考答案：19.已知橢圓的上頂點B到兩焦點的距離和為4，離心率（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若點A為橢圓C的右頂點，過點A作相互垂直的兩條射線，與橢圓C分別交于不同的兩點M，N（M，N不與左、右頂點重合），試判斷直線MN是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．參考答案：【考點】圓錐曲線的定值問題；橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由利用已知條件列出，求解可得橢圓方程．（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），當直線MN的斜率不存在時，推出直線MN過點，當直線的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，得到4k2﹣m2+1＞0，利用韋達定理，結合AM⊥AN，橢圓的右頂點為（2，0），通過（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，求解當時，直線l的方程過定點，推出結果．【解答】解：（Ⅰ）由題意知：，解得，所以橢圓的標準方程是，（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2），當直線MN的斜率不存在時，MN⊥x軸，△MNA為等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，解得：，此時，直線MN過點，當直線的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m，由方程組，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，則，由已知AM⊥AN，且橢圓的右頂點為（2，0），所以（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，，所以，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或，均滿足△＞0，當m=﹣2k時，直線l的方程y=kx﹣2k過頂點（2，0），與題意矛盾舍去，當時，直線l的方程過定點，故直線過定點，且定點是．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經過點（1，），橢圓C的離心率e=．（1）求橢圓C的方程；（2）△ABC的三個頂點都在橢圓上，且△ABC的重心是原點O，證明：△ABC的面積是定值．參考答案：解：（1）由已知可得：，，

∴，…………………2分

又由已知得：，∴，

∴橢圓的方程為，……………5分

（2）設、、，則因重心是原點可得：

，

∴，………6分

當直線的斜率不存在時，或，此時………7分當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由可得：，∴……………………8分∴∵在橢圓上，∴∴，，∴，……………10分而點到直線的距離是∴綜上所述，的面積是定值．…………13分(注:以上改為)

略21.（本小題12分）設函數為正整數，為常數.曲線在處的切線方程為函數(1)求的值；（2）求曲線y=g(x)在點處的切線方程；參考答案：（1）因為，由點在上，可得