河北省數學數學思想方法專題六數學思想方法是指對數學知識和方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略．數學思想方法揭示概念、原理、規律的本質，是溝通基礎知識與能力的橋梁，是數學知識的重要組成部分．數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數學知識的發生、發展和應用的過程中．抓住數學思想方法，善于迅速調用數學思想方法，更是提高解題能力根本之所在．因此，在復習時要注意體會教材例題、習題以及中考試題中所體現的數學思想和方法，培養用數學思想方法解決問題的意識．數學思想方法是數學的精髓，是讀書由厚到薄的升華，在復習中一定要注重培養在解題中提煉數學思想的習慣，中考常用到的數學思想方法有：整體思想、轉化思想、方程與函數思想、數形結合思想、分類討論思想等．在中考復習備考階段，教師應指導學生系統總結這些數學思想與方法，掌握了它的實質，就可以把所學的知識融會貫通，解題時可以舉一反三．整體思想【例1】

(2013·吉林)若a－2b＝3，則2a－4b－5＝__1__．解析：2a－4b－5＝2(a－2b)－5＝2×3－5＝1

【點評】本題考查了代數式求值．代數式中的字母表示的數沒有明確告知，而是隱含在題設中，首先應從題設中獲取代數式(a－2b)的值，然后利用“整體代入法”求代數式的值．1．(2014·鹽城)已知x(x＋3)＝1，則代數式2x2＋6x－5的值為__－3__．解析：∵x(x＋3)＝1，∴2x2＋6x－5＝2x(x＋3)－5＝2×1－5＝2－5＝－3轉化思想【例2】

(2013·東營)如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為__1.3__

m．(容器厚度忽略不計)【點評】本題利用轉化思想把立體問題轉化為平面問題，從而使問題簡單化、直觀化．將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創造性思維能力．

解析：如圖：分類討論思想(1)證明：△BGF是等腰三角形；(2)當k為何值時，△BGF是等邊三角形？(3)我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．事實上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大；反之也成立．利用上述結論，探究：當△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍．

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的運用、等腰三角形的判定定理的運用、外角與內角的關系的運用、分類討論思想在實際問題中的運用，解答時靈活運用直角三角形的性質及外角與內角的關系是關鍵．3．(2014·綏化)在一條筆直的公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人同時分別從A，B兩村出發，甲騎摩托車，乙騎電動車沿公路勻速駛向C村，最終到達C村．設甲、乙兩人到C村的距離y1，y2(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示，請回答下列問題：(1)A，C兩村間的距離為__120__km，a＝__2__；(2)求出圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；(3)乙在行駛過程中，何時距甲10km?方程思想

【例4】

(2014·淄博)為鼓勵居民節約用電，某省試行階段電價收費制，具體執行方案如下表：

例如：一戶居民7月份用電420度，則需繳電費420×0.85＝357(元)．某戶居民5，6月份共用電500度，繳電費290.5元．已知該用戶6月份用電量大于5月份，且5，6月份的用電量均小于400度．問該戶居民5，6月份各用電多少度？

解：當5月份用電量為x度≤200度，6月份用電(500－x)度，由題意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得：x＝190，∴6月份用電500－x＝310度．當5月份用電量為x度＞200度，六月份用電量為(500－x)度，由題意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程無解．∴5月份用電量為190度，6月份用電310度【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題、方程思想的運用、分類討論思想的運用，另外要注意：總價＝單價×數量．函數思想

【例5】

(2015·邯鄲一模)華聯超市欲購進A，B兩種品牌的書包共400個，已知兩種書包的進價和售價如下表所示，設購進A種書包x個，且所購進的兩種書包能全部賣出，獲得的總利潤為w元．(1)求w關于x的函數關系式；(2)如果購進兩種書包的總費用不超過18000元，那么該商場如何進貨才能獲得利潤最大？并求出最大利潤．(提示利潤＝售價－進價)解：(1)W＝(65－47)x＋(400－x)(50－37)，W＝5x＋5200

(2)47x＋37(400－x)≤18000，解得x≤320.∵W＝5x＋5200，k＝5>0，∴當x＝320時，W最大，W最大值＝5×320＋5200＝6800(元)

【點評】本題考查了由銷售問題的數量關系求函數的解析式的運用，列一元一次不等式解實際問題的運用，一次函數的性質的運用，解答時注意函數思想的應用．

5．(2014·沈陽)某種商品每件進價為20元，調查表明：在某段時間內若以每件x元(20≤x≤30，且x為整數)出售，可賣出(30－x)件．若使利潤最大，每件的售價應為__25__元．解析：設最大利潤為w元，則w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25，∵20≤x≤30，∴當x＝25時，二次函數有最大值25，故答案是：25數形結合思想

【例6】

(2013·玉林)如圖，在直角坐標系中，O是原點，已知A(4，3)，P是坐標軸上的一點，若以O，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有__8__個，寫出其中一個點P的坐標是__(5，0)(答案不唯一，寫出8個中的一個即可)__．

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形的性質，利用數形結合的思想求解更簡便．

6．(2014·孝感)拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為D(－1，2)，與x軸的一個交點A在點(－3，0)和(－2，