山西省臨汾市蒲縣第二中學高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）已知sinα=，α∈（0，），則tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．2參考答案：A【考點】：二倍角的正切；同角三角函數間的基本關系．【專題】：計算題；三角函數的求值．【分析】：由同角三角函數間的基本關系先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切函數公式即可求值．解：∵sinα=，α∈（0，），∴cosα==，tanα==2，∴tan2α===﹣．故選：A．【點評】：本題主要考查了同角三角函數間的基本關系，二倍角的正切函數公式的應用，屬于基礎題．2.已知向量a，b滿足（a+2b）·（a-b）=－6，且1，，則a與b的夾角為（

）

參考答案：C3.函數的零點所在的一個區間是（

）A．（-2，-1）

B．（-1，0）

C．（0，1）

D．（1，2）參考答案：B4.函數的圖象大致為（

）A. B. C. D.參考答案：B由得：，故其為偶函數，圖象關于軸對稱，故排除D；，故排除A；當時，，，可得時，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故排除C，故選B.點睛：本題考查函數的圖象的判斷與應用，考查函數的零點以及特殊值的計算，是中檔題；已知函數解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點，主要采用的是排除法，最常見的排出方式有根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質，同時還有在特殊點處所對應的函數值或其符號，其中包括等.5.設α、β、γ為平面，m、n、l為直線，則m⊥β的一個充分條件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α參考答案：D考點：直線與平面垂直的判定．

專題：證明題；轉化思想．分析：根據面面垂直的判定定理可知選項A是否正確，根據平面α與平面β的位置關系進行判定可知選項B和C是否正確，根據垂直于同一直線的兩平面平行，以及與兩平行平面中一個垂直則垂直于另一個平面，可知選項D正確．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根據面面垂直的判定定理可知，缺少條件m?α，故不正確；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確；n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，則m⊥β，故正確故選D點評： 本小題主要考查空間線面關系、面面關系以及充分條件的判定等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題．6.已知函數的反函數滿足，則的最小值為

A．

B．

C．

D．1參考答案：A7.已知函數為奇函數,則=

(A)2

(B)-2

(C)

(D)參考答案：D8.已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若；②若；③如果相交；④若其中正確的命題是（

） A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：D略9.函數的圖象大致為參考答案：C略10.ABCD四點在球O的表面上，面BCD，是邊長為3的等邊三角形，AB=2，則球的面積是(

)A.15

B.13

C.14

D.16參考答案：D可放到特殊圖形中進行計算解析:放在一個三棱柱中M為中心，O為球心，將拿出所以

所以

R=2

所以S球=二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，（圖中每一格為1個長度單位）則該幾何體的全面積為．參考答案：4+4【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；數形結合法；立體幾何．【分析】由三視圖知該幾何體是高為2的正四棱錐，結合圖中數據求出它的全面積．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是高為2的正四棱錐，且正四棱錐的底面邊長為2；所以四棱錐側面三角形的高為=，側面三角形的面積為×2×=；又底面面積為22=4，所以該幾何體的全面積為S=4+4×=4+4．故答案為：．【點評】本題考查了空間幾何體三視圖的應用問題，也考查了幾何體表面積的計算問題，是基礎題目．12.一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為 .參考答案：13.（不等式選做題）若存在實數使成立，則實數的取值范圍是_________．參考答案：14.關于的方程(是虛數單位)的解是＝

．參考答案：15.（原創）小鐘和小薛相約周末去爬尖刀山，他們約定周日早上8點至9點之間（假定他們在這一時間段內任一時刻等可能的到達）在華巖寺正大門前集中前往，則他們中先到者等待的時間不超過15分鐘的概率是

（用數字作答）。特別提醒：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。參考答案：；16.已知曲線的參數方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，則與交點的直角坐標為________.參考答案：17.設函數f（x）=，若函數g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個零點x1，x2，x3，則x1x2+x2x3+x1x3=．參考答案：3﹣a4【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】設f（x）=t，根據f（x）的函數圖象得出方程f（x）=t的根的個數，從而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三個解，得出答案．【解答】解：不妨設a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函數圖象如圖所示：設f（x）=t，由圖象可知：當t=1時，方程f（x）=t有3解，當t≠1時，方程f（x）=t有2解，∵函數g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個零點，∴關于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三個解，不妨設x1＜x2＜x3，則x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案為：3﹣a4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）（2015秋?拉薩校級期末）已知三角形△ABC的三個頂點是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）求BC邊上的中線所在直線的方程．參考答案：【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系；直線的一般式方程．【專題】直線與圓．【分析】（1）根據B與C的坐標求出直線BC的斜率，根據兩直線垂直時斜率乘積為﹣1，求出BC邊上的高所在直線的斜率，然后由A的坐標和求出的斜率寫出高所在直線的方程即可；（2）由B和C的坐標，利用中點坐標公式求出線段BC的中點坐標，然后利用中點坐標和A的坐標寫出直線的兩點式方程即可．【解答】解：（1）BC邊所在直線的斜率為…（1分）則BC邊上的高所在直線的斜率為…（3分）由直線的點斜式方程可知直線AD的方程為：y﹣0=6（x﹣4）化簡得：y=6x﹣24…（5分）

（2）設BC的中點E（x0，y0），由中點坐標公式得，即點…（7分）由直線的兩點式方程可知直線AE的方程為：…（9分）化簡得：…（10分）【點評】此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率所滿足的條件，靈活運用中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．19.（本小題滿分14分）已知為常數，且，函數的最小值和函數的最小值都是函數R的零點.（1）用含的式子表示，并求出的取值范圍；（2）求函數在區間上的最大值和最小值.參考答案：（1）解:由于，，則，

當且僅當，即時，.

…1分

，當時，.………2分

∵，

∴，.由于，結合題意，可知，

方程的兩根是，，

………3分

故，.

………4分

∴.

∴.

………5分

而方程的一個根在區間上，另一個根在區間上.

令，

則

………6分

即解得

………7分

∴.

………8分

∴，.求的取值范圍的其它解法：另法1：由，得，

………6分

∵，

∴．………７分∵，

∴．………8分另法2：設，，

則，………6分故函數在區間上單調遞減．

∴．………７分

∴．………8分（2）解：由（1）得，

則.

………9分

∵，

∴二次函數的開口向下，對稱軸.

故函數在區間上單調遞減. ………10分

又，

………11分

∴當時，.

∴函數在區間上單調遞減.

………12分

∴函數的最大值為，最小值為.………14分20.某中學從甲乙兩個教師所教班級的學生中隨機抽取100人，每人分別對兩個教師進行評分，滿分均為100分，整理評分數據，將分數以10為組距分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數分布表：乙教師分數頻數分布表分數區間頻數[40,50)3[50,60)3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25

（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數；（2）從對乙教師的評分在[40,60)范圍內的人中隨機選出2人，求2人評分均在[50,60)范圍內的概率；（3）如果該校以學生對老師評分的平均數是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優秀教師的標準，則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優秀教師？（精確到0.1）參考答案：(1)32人；（2）；（3）乙可評為年度該校優秀教師【分析】（1）根據頻率分布直方圖求出70分以上的頻率，總頻率之和為1可得70分以下的頻率，由頻率即可求解.（2）根據頻數分布表有3人，有3人，分別進行標記，利用列舉法求出隨機選出2人的基本事件個數，然后再求出評分均在范圍內的基本事件個數，根據古典概型的概率計算公式即可求解.（3）利用平均數=小矩形的面積×小矩形底邊中點橫坐標之和，求出甲的平均分，再利用平均數的公式求出乙的平均分即可得出結果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，70分以上的頻率為，70分以下的頻率為，所以對甲教師的評分低于70分的人數：.（2）由頻數分布表有3人，有3人，記的3人為A、B、C，的3人為、、，隨機選出2人：，，，，，，，，，，，，，，，共種；評分均在的抽取方法：，，，共3種；所以2人評分均在范圍內的概率.（3）由頻率分布直方圖可得的頻率為：甲教師的平均數為：，乙教師的平均數為：，由于乙教師的平均數大于80分，故乙可評為年度該校優秀教師.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖求平均數、頻數分布表、古典概型的概率計算公式，考查了學生的數據分析處理能力，屬于基礎題.21.（本小題滿分12分）如圖5，已知三棱錐中，⊥，為的中點，為的中點，且△為正三角形．（1）求證：⊥平面；（2）若，，求點到平面的距離．參考答案：（Ⅰ）證明：如圖4，∵△PMB為正三角形，且D為PB的中點，∴MD⊥PB．又∵M為AB的中點，D為PB的中點，∴MD//AP，∴AP⊥PB．圖4

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，∴BC⊥平面APC，

…………………