山西省臨汾市歇馬灘中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一機構為調查某地區中學生平均每人每周零花錢X（單位：元）

的使用情況，分下列四種情況統計：①；②；③；④．調查了10000名中學生，下圖是此次調查中某一項的流程圖，其輸出的結果是7300，則平均每人每周零花錢在元內的學生的頻率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A

2.已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，則M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}參考答案：C考點： 交集及其運算．專題： 計算題．分析： 找出集合M與N的公共元素，即可求出兩集合的交集．解答： 解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故選C點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．3.參考答案：A略4.由直線上的一點向圓引切線，則切線長的最小值為

A．1

B．

C．

D．

參考答案：B5.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B設水深為尺，則，解得，即水深12尺.又葭長13尺，則所求概率,故選B.6.若實數x，y滿足，則（x﹣3）2+y2的最小值是（）A． B．8 C．20 D．2參考答案：A【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】先畫出滿足條件的平面區域，根據（x﹣3）2+y2的幾何意義求出其最小值即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區域，如圖示：，由圖象得P（3，0）到平面區域的最短距離dmin=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故選：A．【點評】本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，是一道基礎題．7.如圖，程序框圖所進行的求和運算是A．

B．C．

D．參考答案：答案：C8.如圖，已知正方體棱長為4，點在棱上，且．在側面內作邊長為1的正方形，是側面內一動點，且點到平面距離等于線段的長.則當點運動時，的最小值是（A）（B）（C）（D）參考答案：B9.已知函數的圖像關于原點對稱，且周期為4，當時，，則（

）[參考數據：]A．36

B．-36

C.

18

D．-18參考答案：B依題意，函數為奇函數，則，因為，故，故選B.10.復數的實部為1，其在復平面上對應點落在直線上，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線：和圓：，點在直線上，、為圓上兩點，在中，，過圓心，則點橫坐標范圍為

參考答案：12.如圖所示，某幾何體的正視圖（主視圖），側視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰梯形，等腰直角三角形和長方形，則該幾何體表面積為．參考答案：+6+【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】如圖所示，分別經過點E，F，作EG⊥AB，EH⊥CD，EK⊥AB，EL⊥CD，垂足分別為：G，H，K，L．則EH=EG=1，EF=2，AB=4．EG⊥EH，EF∥平面ABCD，四邊形ABFE，CDEF為等腰梯形，ABCD為矩形，△ADE與△BCF是邊長為的等邊三角形．即可得出．【解答】解：如圖所示，分別經過點E，F，作EG⊥AB，EH⊥CD，EK⊥AB，EL⊥CD，垂足分別為：G，H，K，L．則EH=EG=1，EF=2，AB=4．EG⊥EH，EF∥平面ABCD，四邊形ABFE，CDEF為等腰梯形，ABCD為矩形，△ADE與△BCF是邊長為的等邊三角形．∴該幾何體表面積=+2×+=+6+．故答案為：+6+．13.不等式的解集是

.參考答案：14.參考答案：6415.設，，，則由小到大的順序為

．參考答案：16.執行右圖的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y的值為

．

參考答案：17.已知雙曲線C的方程為﹣=1，其左、右焦點分別是F1，F2．已知點M坐標為（2，1），雙曲線C上點P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）滿足=，則S﹣S=

．參考答案：2【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】利用，得出∠MF1P=∠MF1F2，進而求出直線PF1的方程為y=（x+3），與雙曲線聯立可得P（3，），由此即可求出．【解答】解：∵，∴||cos∠MF1P=||cos∠MF1F2，∴∠MF1P=∠MF1F2，∵cos∠MF1F2=∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=∴tan∠PF1F2=∴直線PF1的方程為y=（x+3）與雙曲線聯立可得P（3，），∴|PF1|=，∵sin∠MF1F2=∴=×××=，∵==，∴=2，故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在圓x2+y2=9上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點M在線段DP上，滿足，當點P在圓上運動時，設點M的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）若直線y=m（x+5）上存在點Q，使過點Q作曲線C的兩條切線互相垂直，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；軌跡方程．【分析】（Ⅰ）設出P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），由點M在線段PD上，且滿足DM=DP，M的坐標用P的坐標表示，代入圓的方程得答案；（Ⅱ）設過點Q（x0，y0）的橢圓的切線方程為y﹣y0=k（x﹣x0），由y=kx﹣kx0+y0，，整理得：（4+9k2）x2+18k（﹣kx0+y0）x+9（﹣kx0+y0）2﹣36=0，由△=324k2（﹣kx0+y0）2﹣36（4+9k2）[（﹣kx0+y0）2﹣4]=0，整理得：（9﹣）k2+2kx0y0+4﹣=0．由k1k2=?，點Q是圓x2+y2=9與y=m（x+5）的公共點，∴O（0，0）到直線y=m（x+5）的距離d即可．【解答】解：（Ⅰ）設P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），∵點M在線段PD上，且滿足滿足=，∴x0=x，y0=y，又P在圓x2+y2=9上，∴x02+y02=9，∴x2+y2=9，曲線C的方程為：．（2）假設在直線y=m（x+5）上存在點Q（x0，y0），設過點Q（x0，y0）的橢圓的切線方程為y﹣y0=k（x﹣x0），即y=kx﹣kx0+y0．由y=kx﹣kx0+y0，，整理得：（4+9k2）x2+18k（﹣kx0+y0）x+9（﹣kx0+y0）2﹣36=0，由△=324k2（﹣kx0+y0）2﹣36（4+9k2）[（﹣kx0+y0）2﹣4]=0，整理得：（9﹣）k2+2kx0y0+4﹣=0．故過點Q（x0，y0）的橢圓的兩條切線斜率k1，k2分別是：（9﹣）k2+2kx0y0+4﹣=0的兩解故k1k2=?，∴點Q是圓x2+y2=9與y=m（x+5）的公共點，∴O（0，0）到直線y=m（x+5）的距離d即可．解得12m2≤13，即﹣，實數m的取值范圍：[]．【點評】本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法求曲線的軌跡方程，橢圓的切線問題，屬于難題．19.19．（本小題滿分14分）已知，為橢圓的左右頂點，為其右焦點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；（Ⅱ）過點的直線與橢圓的另一個交點為（不同于，），與橢圓在點處的切線交于點．當直線繞點轉動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并加以證明．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，半焦距為，因為、為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，所以，．又因為，所以．故橢圓的方程為，離心率為．……5分（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切.證明如下：由題意可設直線的方程為，則點坐標為，中點的坐標為．由得．設點的坐標為，則．所以，．因為點坐標為，當時，點的坐標為，點的坐標為，直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．當時，則直線的斜率.所以直線的方程為．點到直線的距離．又因為

所以．故以為直徑的圓與直線相切．綜上得，當直線繞點轉動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分

略20.（本小題滿分12分）已知集合，.（Ⅰ）求集合和集合；（Ⅱ）若，求的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）集合=

2分集合=

4分（Ⅱ）由得(6分)

7分或者（9分）

10分綜上所述，的取值范圍為或12分21.(本小題滿分13分)已知數列，的通項，滿足關系，且數列的前項和．(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)求數列的前項和．參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).22.已知在數列{an}中，設a1為首項，其前n項和為Sn，若對任意的正整數m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．（1）設數列{an}為等差數列，且公差為d，求的取值范圍；（2）設數列{an}為等比數列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范圍．參考答案：(1)＜﹣3；（2）a1q＞0【分析】（1）根據已知條件，由于數列是等差數列，運用等差數列的求和公式，建立不等式，進一步求出相應的結果；（2）根據已知條件，由于數列是等比數列，運用等比數列的求和公式，建立不等式，進一步求出相應的結果．【詳解】在數列{an}中，設a1為首項，其前n項和為Sn，若對任意正整數m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，（1）設{an}為等差數列，且公差為d，則：2ma1+d+2na1+d＜2[（m+n）a1+d]，整理得：（m﹣n）2d