山西省臨汾市星杰中學2021-2022學年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等比數列中，、是方程的兩個根，則的值為(

)A. B. C. D.參考答案：B2.已知銳角的終邊上一點P（，），則等于

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C3.過點（－1，1）的直線l與曲線f（x）＝－－2x＋1相切，且（－1，1）不是切點，則直線l的斜率為A．2

B．1

C．－1

D．－2參考答案：C略4.過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有（）條.

A.2B.4C.6D.8參考答案：C略5.“是定義在（0，+∞）上的連續函數”是“直線和直線互相垂直”的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A6.已知向量，若與垂直，則等于（A）

（B）0

（C）1

（D）2參考答案：答案：C7.函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內極值點有【

】

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個參考答案：C8.設集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.設集合，，現有下面四個命題：p1：，；p2：若，則；p3：若，則；p4：若，則．其中所有的真命題為（

）A．p1，p4 B．p1，p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p2，p4參考答案：B由題設可得，，則當時，有，所以命題正確；若時，，則，所以命題錯誤；若，則，所以命題正確；若時，成立.故正確答案為B.

10.設不等式組所表示的平面區域是Ω1，平面區域是Ω2與Ω1關于直線3x﹣4y﹣9=0對稱，對于Ω1中的任意一點A與Ω2中的任意一點B，|AB|的最小值等于（）A． B．4 C． D．2參考答案：B考點：簡單線性規劃的應用．分析：本題考查的知識點是線性規劃，處理的思路為：根據已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域Ω1，根據對稱的性質，不難得到：當A點距對稱軸的距離最近時，|AB|有最小值．解答：解：由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區域Ω1中的點到直線3x﹣4y﹣9=0的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區域，如圖所示，可看出點（1，1）到直線3x﹣4y﹣9=0的距離最小，故|AB|的最小值為，故選B．點評：利用線性規劃解平面上任意兩點的距離的最值，關鍵是要根據已知的約束條件，畫出滿足約束約束條件的可行域，再去分析圖形，根據圖形的性質、對稱的性質等找出滿足條件的點的坐標，代入計算，即可求解．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，且，則點D的坐標是__________；參考答案：設,則由得，即，解得，即D的坐標是。12.已知，其中，若是遞增的等比數列，又為一完全平方數，則___________.參考答案：試題分析：，，所以.，因為為一完全平方數，所以.考點：1.對數運算；2.數列.【思路點晴】本題涉及很多知識點，一個是對數加法運算，用的是公式.然后是遞增的等比數列，可得，接下來因為為一完全平方數，比小的完全平方數只有，故可以猜想，通過計算可得.有關幾個知識點結合起來的題目，只需要對每個知識點逐個擊破即可.13.若（﹣）n的二項展開式中的第五項是常數，則自然數n的值為．參考答案：12【考點】二項式系數的性質．【分析】利用二項展開式的通項公式，r=4時x的指數為0，列方程求出n的值．【解答】解：（﹣）n的二項展開式中，通項公式為Tr+1=??=（﹣2）r??，當r=4時，=0，解得n=12；所以自然數n的值為12．故答案為：12．14.平面上的向量若向量

的最大值為

。參考答案：15.設的最大值是

，最小值是

。參考答案：16.將函數的圖像向右平移個單位后得到函數的圖像，

若對滿足的、，有，則

▲

．參考答案：17.對正整數n，設曲線y=（2﹣x）xn在x=3處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列的前n項和等于．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】先求出x=3時曲線表示函數的導函數，進而可知切線方程，令x=0進而求得數列的通項公式，再由等比數列的求和公式，求得答案．【解答】解：∵y=（2﹣x）xn的導數為y′=﹣xn+n（2﹣x）xn﹣1，y'|x=3=﹣3n﹣n?3n﹣1=﹣3n﹣1（n+3），∴切線方程為：y+3n=﹣3n﹣1（n+3）（x﹣3），令x=0，切線與y軸交點的縱坐標為an=（n+2）?3n，所以=3n，則數列{}的前n項和Sn==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設（且）．（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）若，證明：時，成立．參考答案：解：（Ⅰ）函數的定義域為，，當時，，∴函數在上是增函數；當時，，由得；由得，，∴函數在上是增函數；在上是減函數．……………4分（Ⅱ）當時，，要證時成立，由于，∴只需證在時恒成立，令，則，設，，∴在上單調遞增，∴，即∴在上單調遞增，∴∴當時，恒成立，即原命題得證．……………12分略19.如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的動點(含端點)，記∠BAD＝α，∠ADC＝β.（I）求的最大值；（II）若BD＝1，，求△ABD的面積．參考答案：(1)由△ABC是等邊三角形，得β＝α＋，0≤α≤，故2cosα－cosβ=2cosα－cos(α＋)＝sin(α＋)，故當α＝，即D為BC中點時，原式取最大值.(2)由cosβ＝，得sinβ＝，故sinα＝sin(β－)＝sinβcos－cosβsin＝，由正弦定理＝，故AB＝BD＝×1＝，故S△ABD＝AB·BD·sinB＝××1×＝.20.在極坐標系中，圓C的方程為，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為（t為參數），判斷直線l和圓C的位置關系．參考答案：解：消去參數t，得直線l的直角坐標方程為y=2x+1；圓C的方程，即ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐標方程為：（x﹣1）2+（x﹣1）2=2，圓心C到直線l的距離，所以直線l和⊙C相交略21.（12分）某校高三（1）班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據此解答如下問題：（1）求全班人數，并計算頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高；（2）若要從分數在[80，100]之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，則在抽取的試卷中，求至少有一份分數在[90，100]之間的概率．參考答案：【考點】：古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖；莖葉圖．【專題】：概率與統計．【分析】：（1）由莖葉圖先分析出分數在[50，60）之間的頻數，結合頻率分布直方圖中該組的頻率，可由樣本容量=，得到全班人數，再由莖葉圖求出數在[80，90）之間的頻數，結合頻率分布直方圖中矩形的高==，得到頻率分布直方圖中[80，90]間的矩形的高；（2）先對分數在[80，100]之間的分數進行編號，并統計出從中任取兩份的所有基本事件個數，及至少有一份分數在[90，100]之間的所有基本事件個數，代入古典概型概率計算公式可得答案．解：（1）由莖葉圖知，分數在[50，60）之間的頻數為2，頻率為0.008×10=0.08，∴全班人數為=25人．又∵分數在[80，90）之間的頻數為25﹣2﹣7﹣10﹣2=4頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為=0.016．

（7分）（2）將[80，90）之間的4個分數編號為1，2，3，4，[90，100]之間的2個分數編號為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15個，其中，至少有一個在[90，100]之間的基本事件有9個，故至少有一份分數在[90，100]之間的