學習是一件很有意思的事2020年第二學期徐匯區學習能力診斷卷高三數學

2021.4一填題本題有12題，分54分，第1-6題題4分第7-12題每）考應答紙相位直填結．1．集合

{|

0}

，{|x，則A

B

=．2．已知函數f

x

，則方程

f

的解

=．3．等比數列

nN*），若

，a，則a

.4．若方程2

的兩個根為和

，則

．5．函數f()A

的部分圖像如右圖所示，則f(

．6

x49

．7.在項式

(1)

(a

的展開式中x

的系數為

an

2

3

n

)

的值是__________.8．已知正四棱柱

CD11

的八個頂點都在同一球面上，若AB，,則、C兩間的球面距離是.AA9在ABC中，已知AB，，若y

cos

sin

，則的最小值是.10已三行三列的方陣

a1112a212223aa31

中有9個

(i取三ij個數則且僅有兩個數位于同或同（注意不能同時出現既有兩數同行、又有兩數同列的情況）的概率是結果用分數表)徐匯區高三數學

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11．中AM

學習是一件很有意思的事1ABANAC，與CM交點E，a，

，則

=

（用

a

、

b

表示）12．知實數b使不等式

ax

x對意x

都成立，在平面直角坐標系xOy

中，點a)

形成的區域記為若

x

上的任一點都在，則r

的最大值為

.二選題本題有4，分20分，題分每有只一正確項考應答紙相位，代正選的方涂．13．

:

且，:

，則是成的----------------------------（）A.充非必要條件B.要非充分條件C.充條件D.既非充分又非必要條件14．設z、為數，下列命題一定成立的----------------------------）12A.如z

2

，那么

zz01B.如

1

2

，那么

z

C.如

1

，

是正實數，那么

aD.如

1

，

是正實數，那么a1

15若

f()

是上奇函數f(x)在[0,單遞增則列結論yfx)|

是偶函數對意xR都f)f(x)③yf(x)f(在(上調遞

增；④反數

yf

存在且在(上調遞增．其中正確結論的個數為（）A．B．

C．．4．已知

n

是公差為

的等差數列，若存在實數

x,x,x3

滿足方程組xxxxasinxsin25,129

則d

的最小值為（）A.

8B.C.D.945徐匯區高三數學

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學習是一件很有意思的事三解題本題有題，滿76分）答列題須答紙相位寫出要步.本滿14分，（1小6分第2小分如圖，在直三棱柱

AB中，BC，11BABCBB1

.（）異面直

1

與

AC1

所成角的大小；（）M是棱

的中點求到面

AB1

的距離18（題分14分，（1小6分第2）題8分）已知函數

(x)1

.（1若

a

2

，求函數

f

的零點；（2針對實數

的不同取值，討論函數

f

的奇偶性.19.（題分14分，（1小6分第2小題分）元宵節是中國的傳統節日之一要將一個上底為正方形ABCD的方體狀花燈掛起兩等長長大于AC點距離的子兩頭分別拴住A、C；、，用一根繩子與述兩根繩子連結并吊在天花板上，使花燈呈水平狀態，如花燈上底面到天花板的距離設計為米底面邊長為

米PAC=θ有繩子總長為

米打處的繩長忽略不)(1)將表成θ函數，并指出定義域；(2)要繩子總長最短，請你設計出這三根繩的.精確到0.01米（本滿16分，（1）小4分第2小6分第3小6分徐匯區高三數學

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學習是一件很有意思的事已知橢圓

x26

上有兩點

，直線

lykx

與橢圓交于A

、B兩點，與線段

交于點

（異于P

、

）.(1)當

k

且

PC

時，求直線l

的方程；(2)當時，求四邊形PAQB

面積的取值范圍；(3)記線PA

、PB

、QA

、QB

的斜率依次為k、k、、k.當b且段134

的中點M在線y

上時，計算

k1

2

的值，并證明：22k1234

.21.（題分18分，（1小4分第2小題分，（）題8分若數集

M

至少含有3個數，且對于其中的意3個同數

ac

(

)，

a

都不能成為等差數列，則稱M為集”(1)判斷集合

{1,2,4,8,

,

n

}(N

*

,n

)是否是集說明理由；(2)已知

kN*

.集合

A是集合{1,2,3,k}

的一個子集，設集合Bx

A

是

集，則

B

也是

集；(3)設集合C,,3

22n,nn

是否是

集，證明你的結論2020年第二學期徐匯區學習能力診斷卷徐匯區高三數學

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1111學習是一件很有意思的事1111數學學科參考答案及評分標準2021.4一．填題本大共題滿分第1-6題題4分，題題5分1．

2．3．4．

3

5．

67．

8．9．

2．11．55

12．

29二選題本題有4題滿分分，題分）13．14．15B16C三

解題本題5題，分74分）本滿14分，（1小6分第2小分【解】由于

AC//AC，以CAB（其補角）即為異面直線與AC所成角2分111連接，在AB中由于ABBC2，以1111

是等邊三角形，所以CAB

，所以異面直線

1

與

AC1

所成角的大小為.-------6分（）圖所示建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為C0,2A分1

0

設平面

AC１１

的法向量為,

，則

CBA１1

.CB11

且

w0nn，u得平面

AC１

的一個法向量為

n分且

n

2，MB

，于是點M到面ABC１

的距離d

nn

02

12所以M到平面C11

的距離等于

.-------------------------------------14分解二過M作MN交CB于，由AMN面11111CB11

.在，由

，CM，

，徐匯區高三數學

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4min學習是一件很有意思的事4min所以，點M到面A11

的距離等于

.（解法三：利用等體積法，.．本滿分第1題分6分，2小題滿)【解1）數

f

的定義域為

由

a

2

，得

2

，化簡得

2x

x

，即

0

，所以，函數

f

的零點為

x

.------------------------------------6分（注意：不求定義域扣1分）（）數

f

的定義域為

f

為奇函數，則必有

f代入得

a

于是

無解，所以函數

f

不能為奇函數-------9分若函數

f

為偶函數，由

f

得

解得

a

；---------12分又當a時fx)x1

，則

f(1

x1

2

對任意

x

都成立-------------------------------------------------13分綜上，當時函數

為偶函數，當時函數

為非奇非偶函數--14分．本滿分第1題分6分，2小題滿)【解】設底中心為，則AM|=0.42，tan

θ，|PA|=

θ

，故2sinθ)y=4|PA|+|OP|=4|PA|+|OM|-|PM|=θ=cosθcosθ

,---------------5分θ

.------------------------------------------------------------------------------------6分(2)記A=

θθ

，則sinθ+Acos即A

sin(θ+)=4

，由sin(θ)

π,得A15，號成立時θarctan0,arctan2

54

，分從而y=0.4

30+1

3.19(米，分此時這三根繩子長分別約為米1.17米，米------------------------------------14分徐匯區高三數學

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9學習是一件很有意思的事9．本滿分第1題分4分，2小題滿，3小滿6分)【解】(1)設C(a,b)，則CQ)

，由

PC

，得a(2),2解1b(),b2所以，直線l

的方程為

2)3

，即

x

.--------------------4分(2)直線l

的方程為

，代入橢圓方程，整理得9x

(*)--5分則|AB|=

2

(8)

2

36(22b

2

)

,-----------------------6分由l

與線段PQ相交，有

，5

，----------------7分由k

PQ

，

kl

知kPQl

，所以PQ

且

5

，故四邊形PAQB的積S=

||

b

2

，-------------9分10其取值范圍為,

.------------------------------------------------10(3)將直線l的程

l

，代入橢圓方程，整理得(1+2k)x+4kbx+2b-6=0(*)11分設A(x),B(x,y)，則AB中坐標為

y121

，且x,x為程*)的兩根，則x+x=

kb

2

.由條件，有

122

，即+x+y+y=0分又y=kx+b，y=kx+b，有1+k)(x+x，即

(1)(

kb

2

)b

，解得b=0（）或k=.-----------------------13徐匯區高三數學

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y22y+1y+12k1=y22y+1y+12k1=3當

4時，x+x=，xx=

3

，則k1

=

(xxx(xx22

bx()b2xx)221

，----------------------------------14又由于

1+1(x+1)(xxx(x)b24x-2x-2(-2)(x-2)x-2()1

，由

k1

2

，利用基本不等式有k1

22

k34

成立.----------------------------16分．本滿分分第小題分4分第小題滿分第小滿8分【解】(1)任三個不同元素2<2<2其中

i<j<k

n)，若此三數成等差數列，則2+2=2但2+2>2

2=2此三個數不能成等差數.所以，集合

{4,8,2}(n*

)是集.----------------------4分(2)反證法假設A不是“集B中在三個不同元素x<y<z，使成差數列，則x+z=2y.------------------------------------------5分因為

A

是“

集以，x,y,z不全在A中----------------------------6分如果x,y,z全在B中則x-(2k-1)]+[z-(2k-1)]=2[y-(2k-1)]依然成立，且，y-(2k-1)，z-(2k-1)在中，說明存在三個數構成等差數列，即A不“集條矛盾，因此也不能全在中---------------7分由于B中小可能元素（為2k大于A中最大可能元素（為所以必有

A

B.----------------------------------------------------8分從而，同樣，

(x+z)[k+k+(2k-1)]=2k-<2k，故y(x+z)[1+1+(2k-1)]=k+>k，這與y

矛，故也是”.-----------------------------10分徐匯區高三數學

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學習是一件很有意思的事(3)集C是“集明如下：記

ak

2

akk

2k2kk(2)

，故aaa.-----------------------------------------12分13n任取(其中1，a.ijijk當k時aiji

j

aj

j

j

j

j

(這是由于j，即2ik

j

分當時若,ij

成等差數列，則a2aik

j

，即i

j+1

j

，化簡得

j

……(*)----------------15分從而

j

的正整數倍，由于j

與

j

互質(為兩個連續正整)，因此j

是

j

的正整數倍或

j

是

j

的正整數倍，-----------------16分若j是

j

的正整數倍，則j

j

，而

jj

，則(式成立；若j是j的整數倍，則

j

j

，而j

，(*)仍不成立綜上可知，

a,a,ij

不能成等差數列，即證明了集合

是“

集”.----------18分徐匯區高三數學

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學習是一件很有意思的事堅希一天，一個瞎子和一個瘸子結伴去尋找那種仙果，他們一直走呀走，途中他們翻山越嶺。歷經千辛萬苦，頭發開始斑白。有一天，那瘸子對瞎子說：“天哪！這樣下去哪有盡頭？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不遠了，會找到的，只要心中存有希望，會找到的。”子說。可瘸子執意要留在途中的山寨中，瞎子便一個人上路了。由于瞎子看不見，不知道該走向何處，他碰到人便問，人們也好心地指引他，他身上捉襟見肘，遍體鱗傷，可他心中的希望未曾改變。終于有一天，他到達了那座山，他全力以赴向上爬，快到山頂的時候，他感覺自己渾身充滿了力量，像年輕了幾十歲，他向身旁摸索，便摸到了果子一樣的東西，放在嘴里咬一口，天！他復明，什么都看見了，綠綠的樹木，花兒鮮艷，小清澈。果