山西省臨汾市侯馬祥平中學2021-2022學年高二數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知正項等比數列{a}滿足：，，若，則的最小值為A．

B．

C．

D．不存在參考答案：A2.設函數f（x）=ex﹣2x，則（）A．x=為f（x）的極小值點 B．x=為f（x）的極大值點C．x=ln2為f（x）的極小值點 D．x=ln2為f（x）的極大值點參考答案：C【考點】6D：利用導數研究函數的極值．【分析】求出函數的導數，利用導函數為0，判斷函數單調性，然后求解函數的極值，得到選項．【解答】解：由函數f（x）=ex﹣2x，得f′（x）=ex﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2時，f′（x）＜0，x＞ln2時，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2時取得極小值．故選：C．3.甲乙兩名同學分別從“愛心”、“文學”、“攝影”三個社團中隨機選取一個社團加入，則這兩名同學加入同一個社團的概率是（）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知是定義在上的非負可導函數，且滿足，對任意正數，若，則的大小關系為A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點E，F，且，則下列結論中錯誤的是

A.

B.

C.三棱錐的體積為定值

D.異面直線所成的角為定值參考答案：DA正確，易證B顯然正確，；C正確，可用等積法求得；D錯誤。6.75名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法有（

）A.150種

B.180種

C.200種

D.280種

參考答案：A略7.已知雙曲線的離心率為,則的漸近線方程為 （）A． B．

C．

D．參考答案：C略8.用到這個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.在直角坐標系中，直線的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.是等差數列的前項和，,則（

）

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.當以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1時，橢圓長軸的最小值為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由題設條件可知bc=1．推出，由此可以求出橢圓長軸的最小值．【解答】解：由題意知bc=1．∴，∴．∴，故答案為：．【點評】本題考查橢圓的性質及其應用，解題時要熟練掌握公式的靈活運用．注意字母的轉化．12.若直線與拋物線交于、兩點，若線段的中點的橫坐標是，則______。參考答案：得，當時，有兩個相等的實數根，不合題意當時，13.將函數的圖象C1沿ｘ軸向右平移2個單位得到C2，C2關于ｙ軸對稱的圖象為C3，若C3對應的函數為，則函數=

.參考答案：(或等價形式)

14.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn+1(x)是fn(x)的導函數，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2014(x)＝________.參考答案：cosx-sinx15.7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區公益活動．若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種(用數字作答)。參考答案：14016.若關于的不等式的解集中整數恰好有3個，則實數的取值范圍是

▲．參考答案：17.記為數列的前項和，若，當時有成立，則的所有可能值組成的集合為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：平面ANB⊥平面PCD；（2）若直線PB與平面PCD所成角的正弦值為，求二面角的正弦值.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）通過證明面，可證得面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，設由向量的夾角公式先求解線面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.【詳解】如圖，取中點，連接，.（1）證明：∵，，為中點，∴，，∴是平行四邊形，，又∵，，∴面，∴面面.∵，為中點，面，∴面，∵面，∴平面平面.（2）建立如圖所示坐標系，，，，，，，.由（1）知面，∴，.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴由得.設為面的法向量，則，.由得，，∵面，，設二面角為，為銳角，則，∴.【點睛】本題主要考查了線面和面面垂直的判斷及性質，利用空間直線坐標系，通過空間向量求解線面角及二面角，屬于中檔題.19.（本小題滿分12分）已知函數．（1）若，求的單調區間；（2）若恒成立，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ），其定義域是

…………1分

令，得，（舍去）。

……………..

3分當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；即函數的單調區間為，。

………………..

6分（Ⅱ）設，則，

…………7分當時，，單調遞增，不可能恒成立，

當時，令，得，（舍去）。當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

故在上的最大值是，依題意恒成立，……………9分

即，…又單調遞減，且，………10分故成立的充要條件是，所以的取值范圍是………12分20.(1)已知命題

“不等式的解集為”,命題

“是減函數”．若“或”為真命題,同時“且”為假命題,求實數的取值范圍;(2)若,且,求證:．參考答案：(1)若命題為真,解得,若命題為真,解得,由“或”為真命題,同時“且”為假命題,可知,與一真一假.當真假時,有且,無解;當假真時,有且,即.故實數的取值范圍為.(2)要證,只需證即

,因要只需證即,因為,則因為,所以從而,即,所以．分析：本題主要考查的是命題的真假判斷和不等式的證明,意在考查學生的邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力.(1)由絕對值的意義可得,由指數函數的單調性可得,從而求得當這兩個命題只有一個是真命題時的取值范圍;(2)用分析法證明不等式的成立.21.某高中嘗試進行課堂改革.現高一有A，B兩個成績相當的班級，其中A班級參與改革，B班級沒有參與改革.經過一段時間，對學生學習效果進行檢測，規定進步超過10分的為進步明顯，得到如下列聯表.

進步明顯進步不明顯合計A班級153045B班級104555合計2575100

（1）是否有95%的把握認為成績進步是否明顯與課堂是否改革有關？（2）按照分層抽樣的方式從A，B班中進步明顯的學生中抽取5人做進一步調查，然后從5人中抽2人進行座談，求這2人來自不同班級的概率.附：（其中）.0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879

參考答案：（1）沒有95%的把握認為成績進步是否明顯與課堂是否改革有關.（2）【分析】（1）計算出的觀測值，并根據臨界值表找出犯錯誤的概率，即可對題中的結論進行判斷；（2）先計算出班有人，分別記為、、，班有人，分別記為、，列舉出所有的基本事件，確定基本事件的總數，并確定事件“其中人來自于不同班級”所包含的基本事件數，再利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率。【詳解】（1）的觀測值，所以沒有95%的把握認為成績進步是否明顯與課堂是否改革有關；（2）按照分層抽樣，班有3人，記為，班有2人，記為，則從這5人中抽2人的方法有，共10種.其中2人來自于不同班級的情況有6種，所以所求概率是【點睛】本題第（1）問考查獨立性檢驗，要理解臨界值表的含義，第（2）問考查古典概型概率的計算，關鍵要列舉出基本事件，考查運算求解能力，屬于中等題。22.在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若B是A，C的等差中項，是的等比中項，求證：△ABC為等邊三角形；（2）若△ABC為銳角三角形，求證：．參考答案：（1）見解析（2）見解析【分析】（1）由是的等差中項可得，由是的等比中項，結合正弦定理與余弦定理即可得到，由此證明為等邊三角形；（2）解法1：利用分析法，結合銳角三角形性質即可證明；解法2：由為銳角三角形以及三角形的內角和為，可得，利用公式展開，進行化簡即可得到。【詳解】（1）由成等差數列，有

①

因為為的內角，所以

②由①②得

③

由是的等比中項和正弦定理得，是的等比中項，所以

④

由余弦定理及③，可得

再由④，得即，因此

從而

⑤由②③⑤，得所以為等邊三角形．

（2）解法1：要證只需證