山東省青島市膠州第十四中學2022-2023學年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某高中生共有2400人，其中高一年級800人，高二年級700人，高三年級900人，現采用分層抽樣抽取一個容量為48的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取人數分別為（）A.15，21，12

B.16，14，18

C.15，19，14

D.16，18，14參考答案：B由分層抽樣在各層中的抽樣比為,則在高一年級抽取的人數是人,在高二年級抽取的人數是人,在高三年級抽取的人數是人,故選B.

2.已知直線l的傾斜角為α，且60°＜α≤135°，則直線l斜率的取值范圍是（） A．B．C．D．參考答案：C【考點】直線的斜率． 【專題】計算題；轉化思想；分析法；直線與圓． 【分析】直接利用直線傾斜角的范圍求得其正切值的范圍得答案． 【解答】解：∵60°＜α≤135°， ∴tanα或tanα≤﹣1， 又α為直線l的傾斜角， ∴k∈（﹣∞，﹣1]∪（）． 故選：C． 【點評】本題考查直線的傾斜角，考查了直線傾斜角和斜率的關系，是基礎題． 3.在一次反恐演習中，我方三架武裝直升機分別從不同方位對同一目標發動攻擊（各發射一枚導彈），由于天氣原因，三枚導彈命中目標的概率分別為0.9，0.9，0.8，若至少有兩枚導彈命中目標方可將其摧毀，則目標被摧毀的概率為（

）A．0.998

B．0.954

C．0.002

D．0.046參考答案：B略4.下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知函數滿足，且是偶函數，當時，，若在區間內，函數有三個零點，則實數k的取值范圍是（

）A.

B．

C．

D.參考答案：C略6.設函數f（x）在定義域內可導，y=f（x）的圖象如圖所示，則導函數y=f￠（x）可能為參考答案：D略7.直線是曲線的一條切線，則實數的值為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知函數，則的值是（）A． B．9 C．﹣9 D．﹣參考答案：A【考點】函數的值．【分析】由已知條件利用分段函數的性質求解．【解答】解：∵，∴f（）==﹣2，∴=3﹣2=．故答案為：．故選：A．9.如圖，是由一個圓、一個三角形和一個長方形構成的組合體，現用紅、藍兩種顏色為其涂色，每個圖形只能涂一種顏色，則三個形狀顏色不全相同的概率為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A略10.若雙曲線的離心率是，則實數（

）． A． B． C． D．參考答案：A解：雙曲線，，，∴，，∴．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點M的坐標為（5，θ），且tanθ=﹣，＜θ＜π，則點M的直角坐標為．參考答案：（﹣3，4）【考點】G9：任意角的三角函數的定義．【分析】根據三角函數的定義即可求出【解答】解：∵tanθ=﹣，＜θ＜π，∴cosθ=﹣，sinθ=，∴x=5cosθ=﹣3，y=5sinθ=4，∴點M的直角坐標為（﹣3，4），故答案為：（﹣3，4）12.=

。參考答案：略13.設，，全集，則右圖中陰影表示的集合中的元素為

。參考答案：14.下列4個命題：①“若a、G、b成等比數列，則G2=ab”的逆命題；②“如果x2+x﹣6≥0，則x＞2”的否命題；③在△ABC中，“若A＞B”則“sinA＞sinB”的逆否命題；④當0≤α≤π時，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對?x∈R恒成立，則α的取值范圍是0≤α≤．其中真命題的序號是．參考答案：②③【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】由a=G=b=0，則a、G、b不成等比數列，即可判斷①；寫出命題的否命題，由二次不等式的解法，即可判斷②；運用三角形的邊角關系和正弦定理，即可判斷③；由二次不等式恒成立可得判別式不大于0，解不等式，結合二倍角公式和余弦函數的圖象，即可判斷④．【解答】解：①“若a、G、b成等比數列，則G2=ab”的逆命題為“若G2=ab，則a、G、b成等比數列”，不正確，比如a=G=b=0，則a、G、b不成等比數列，故①錯；②“如果x2+x﹣6≥0，則x＞2”的否命題為“②“如果x2+x﹣6＜0，則x≤2”的否命題”，由x2+x﹣6＜0，可得﹣3＜x＜2，推得x≤2，故②對；③在△ABC中，“若A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”（R為外接圓的半徑）則其逆否命題正確，故③對；④當0≤α≤π時，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對?x∈R恒成立，即有△=64sin2α﹣32cos2α≤0，即有1﹣2cos2α≤0，即為cos2α≥，可得0≤2α≤或≤2α≤2π，解得0≤α≤或≤α≤π，故④錯．故答案為：②③．15.若實數x，y滿足則z=x+2y的最大值是參考答案：216.將一個白球，一個紅球，三個相同的黃球擺放成一排，則白球與紅球不相鄰的放法有

_________種.參考答案：12

17.已知隨機變量X的分布列如下表：X123P

其中a是常數，則的值為_______.參考答案：【分析】根據分布列中概率和為1可構造方程求得，由求得結果.【詳解】由分布列可知：，解得：則本題正確結果：【點睛】本題考查分布列性質的應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數g（x）=+lnx在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；（Ⅲ）設h（x）=，若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點】3F：函數單調性的性質；3R：函數恒成立問題；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）由題意可知．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，結合θ∈（0，π），可以得到θ的值．（2）由題設條件知．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知，由此可知m的取值范圍．（3）構造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．由此入手可以得到m的取值范圍是．【解答】解：（1）由題意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ?x﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ?1﹣1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1．結合θ∈（0，π），得．（2）由（1），得f（x）﹣g（x）=．∴．∵f（x）﹣g（x）在其定義域內為單調函數，∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等價于m（1+x2）≥2x，即，而，（）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等價于m（1+x2）≤2x，即在[1，+∞）恒成立，而∈（0，1]，m≤0．綜上，m的取值范圍是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．（3）構造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．當m≤0時，x∈[1，e]，，，所以在[1，e]上不存在一個x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．當m＞0時，．因為x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上單調遞增，，只要，解得．故m的取值范圍是．19.二手車經銷商小王對其所經營的A型號二手汽車的使用年數x與銷售價格y（單位：萬元/輛）進行整理，得到如下數據：使用年數x234567售價y201286.44.433.002.482.081.861.481.10

下面是z關于x的折線圖：（1）由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關系，請用相關系數加以說明；（2）求y關于x的回歸方程并預測某輛A型號二手車當使用年數為9年時售價約為多少？（b、a小數點后保留兩位有效數字）（3）基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7118元，請根據（2）求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數不得超過多少年？參考數據：，，，，，，，.參考公式：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.，、為樣本平均值.參考答案：（1）；（2）萬元；（3）年.【分析】（1）根據題中所給公式，計算出關于的相關系數，利用相關系數的絕對值來說明關于線性相關性的強弱；（2）利用最小二乘法公式計算出關于的回歸方程，再由可得出關于的回歸方程為，再將代入回歸方程得出的值，可得出結果；（3）令，得出，解出的取值范圍，可得出二手車時車輛的使用年數不得超過的年數.【詳解】（1）由題意，計算，，且，，，所以，所以與的相關系數大約為，說明與的線性相關程度很高；（2）利用最小二乘估計公式計算，所以，所以關于的線性回歸方程是，又，所以關于的回歸方程是.令，解得，即預測某輛型號二手車當使用年數為9年時售價約萬元；（3）當時，，所以，解得，因此預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數不得超過11年．【點睛】本題考查相關系數的計算、非線性回歸方程的求解以及回歸方程的應用，解題時要理解最小二乘法公式及其應用，考查計算能力，屬于中等題.20.已知曲線的極坐標方程是，設直線的參數方程是（為參數）．（Ⅰ）將曲線的極坐標方程和直線的參數方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）判斷直線和曲線的位置關系．參考答案：（1）（Ⅰ）曲線C的極坐標方程可化為：又曲線C的直角坐標方程為：將直線的參數方程化為直角坐標方程得：

．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）曲線C為圓，圓C的圓心坐標為（0,1），半徑則圓心C到直線的距離直線

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分21.已知甲箱中裝有3個紅球，2個黑球，乙箱中裝有2個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同，某商場舉行有獎促銷活動，規定顧客購物1000元以上，可以參與抽獎一次，設獎規則如下：每次分別從以上兩個箱子中各隨機摸出2個球，共4個球，若摸出4個球都是紅球，則獲得一等獎，獎金300元；摸出的球中有3個紅球，則獲得二等獎，獎金200元；摸出的球中有2個紅球，則獲得三等獎，獎金100元；其他情況不獲獎，每次摸球結束后將球放回原箱中.（1）求在1次摸獎中，獲得二等獎的概率；（2）若3人各參與摸獎1次，求獲獎人數X的數學期望；（3）若商場同時還舉行打9折促銷活動，顧客只能在兩項促銷活動中任選一項參與.假若你購買了價值1200元的商品，那么你選擇參與哪一項活動對你有利？參考答案：（1）；（2）；（3）詳見解答.【分析】（1）設“在1次摸獎中，獲得二等獎”為事件，利用互斥事件概率計算公式能求出在1次摸獎中，獲得二等獎的概率；（2）設“在1次摸獎中，獲獎”為事件，求出，每個人獲獎的概率相等，獲獎人數服從二項分布，求出可能值的概率，由此求出的分布列，應用二項分布期望公式即可求出結論；（3）求出中獎的期望，設中獎的的金額為，可能值為，求出相應的概率，列出分布列，進而求出期望，與打9折的優惠金額對比，即可得出結論.【詳解】（1）設“在1次摸獎中，獲得二等獎”為事件，則，所以在1次摸獎中，獲得二等獎的概率；（2）設“在1次摸獎中，獲獎”為事件，則獲得一等獎的概率為，獲得三等獎的概率為，所以，每個人摸獎是相互獨立，且獲獎概率相等，獲獎人數服從二項分布，，分布列為：

；（3）如果選擇抽獎，設中獎的的金額為，可能值為，，，，的分布列為：

，如果購買1200選擇打九折，優惠金額為，選擇打九折更有利.【點睛】本題考查互斥事件概率、離散型隨機變量分布列期望、二項分布期望，考