山東省青島市平度第四中學2021年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，從點P（﹣1，﹣3）發出的光線，經x軸反射后恰好經過圓心C，則入射光線的斜率為（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【考點】與直線關于點、直線對稱的直線方程．【分析】根據反射定理可得圓心C（2，﹣1）關于x軸的對稱點D（2，1）在入射光線上，再由點P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，利用斜率公式求得入射光線的斜率．【解答】解：根據反射定律，圓心C（2，﹣1）關于x軸的對稱點D（2，1）在入射光線上，再由點P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，可得入射光線的斜率為=，故選：C．2.有下列命題：①雙曲線與橢圓有相同的焦點;②“”是“”的必要不充分條件;③若共線,則所在的直線平行;④若三向量兩兩共面,則三向量一定也共面;⑤如圖，空間四邊形ABCD中，M、G分別是BC、CD的中點，則.

其中是真命題的個數有（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B略3.設點F和直線l分別是雙曲線的一個焦點和一條漸近線，若F關于直線l的對稱點恰好落在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A.2 B. C. D.參考答案：C【分析】取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，離心率公式，計算可得所求值．【詳解】如圖所示，取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，直線與線段的交點為，因為點與關于直線對稱，則，且為的中點，所以，根據雙曲線的定義，有，則，即，所以，故選：C．【點睛】本題主要考查了雙曲線的離心率的求法，注意運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．4.已知圓：及直線，當直線被截得的弦長為時，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：5.函數的圖象大致是（

）

參考答案：A6.“”是“”的

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略7.已知關于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集為空集，則T=的最小值為（）A． B．2 C． 2D．4參考答案：D【考點】基本不等式；一元二次不等式的應用．【分析】由題意得：，，得．利用此式進行代換，將T化成，令ab﹣1=m，則m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由題意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，則m＞0，所以．則的最小值為4．故選D．8.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行加熱和冷卻，如果第小時，原油溫度（單位：℃）為，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值為（

）A．8

B．

C．

D．參考答案：D9.“a=1”是函數y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為“π”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既非充分條件也不是必要條件參考答案：A10.過點且平行于直線的直線方程為（

）A．B．C．D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.樣本數據11，8，9，10，7的方差是_▲_．參考答案：212.是兩個不共線的向量，已知，，且A，B，D三點共線，則實數k=．參考答案：﹣8【考點】三點共線；平面向量數量積的性質及其運算律．【分析】先由A，B，D三點共線，可構造兩個向量共線，然后再利用兩個向量共線的定理建立等式，解之即可．【解答】解：∵A，B，D三點共線，∴與共線，∴存在實數λ，使得=；∵=2﹣﹣（+3）=﹣4，∴2+k=λ（﹣4），∵是平面內不共線的兩向量，∴解得k=﹣8．故答案為：﹣8【點評】本題主要考查了三點共線，以及平面向量數量積的性質及其運算律，屬于基礎題．13.下面幾種推理是演繹推理的是：

（1）兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角，則∠A+∠B=1800；（2）泰師附中高二（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高二所有各班級人數超過50人；（3）由平面三角形的性質推出空間四面體的性質。參考答案：演繹推理選1

略14.命題：的否定是

參考答案：略15.復數z=（1+i）+（﹣2+2i）在復平面內對應的點位于第________象限．

參考答案：二【考點】復數的代數表示法及其幾何意義【解析】【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，

∴z在復平面內對應的點的坐標為（﹣1，3），位于第二象限．

故答案為：二．

【分析】利用復數代數形式的加減運算化簡，求出z的坐標得答案．

16.已知在R上是奇函數，且滿足，當時，，則等于

。參考答案：17.過原點的直線l與雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右兩支分別相交于A，B兩點，F（﹣，0）是雙曲線C的左焦點，若|FA|+|FB|=4，=0．則雙曲線C的方程=

．參考答案：【考點】雙曲線的標準方程；雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設|FB|=x，則|FA|=4﹣x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+，|FA|=2﹣，可得a，b，即可得出結論．【解答】解：設|FB|=x，則|FA|=4﹣x，∵過原點的直線l與雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右兩支分別相交于A，B兩點，F（﹣，0）是雙曲線C的左焦點，∴|AB|=2，∵=0，∴x2+（4﹣x）2=12，∴x2﹣4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2﹣，∴2a=|FB|﹣|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴雙曲線C的方程為．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線方程與性質，考查學生的計算能力，確定幾何量是關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=2ax3+bx2﹣6x在x=±1處取得極值（1）討論f（1）和f（﹣1）是函數f（x）的極大值還是極小值；（2）試求函數f（x）在x=﹣2處的切線方程；（3）試求函數f（x）在區間[﹣3，2]上的最值．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；函數在某點取得極值的條件；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）f'（x）=6ax2+2bx﹣6，在x=1處取得極值，則f′（1）=6a+2b﹣6=0；在x=﹣1處取得極值，則f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0；解得a=1；b=0；所以f（x）=2x3﹣6x；由此能導出f（1）是極小值；f（﹣1）是極大值．（2）f′（﹣2）=6×22﹣6=18；在x=﹣2處的切線斜率為18．由此能求出切線方程．（3）f（x）=2x3﹣6x；，f′（x）=6x2﹣6；使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，由此能求出函數f（x）在區間[﹣3，2]上的最值．【解答】解：（1）f'（x）=6ax2+2bx﹣6，在x=1處取得極值，則f′（1）=6a+2b﹣6=0；在x=﹣1處取得極值，則f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0；解得a=1；b=0；∴f（x）=2x3﹣6x；f′（x）=6x2﹣6，由f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1．列表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑極大值↓極小值↑∴f（1）是極小值；f（﹣1）是極大值．（2）f′（﹣2）=6×22﹣6=18；在x=﹣2處的切線斜率為18；而f（﹣2）=2x3﹣6x=﹣4；∴切線方程y=18x+32；（3）f（x）=2x3﹣6x；f′（x）=6x2﹣6；使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，已經知道了f（1）=﹣4是極小值，f（﹣1）=4是極大值，下面考察區間端點：f（2）=2x3﹣6x=4；f（﹣3）=2x3﹣6x=﹣36∴最大值是f（﹣1）=f（2）=4；最小值是f（﹣3）=﹣36．19.已知展開式中第6項為常數．（1）求n的值；（2）求展開式中系數最大項．參考答案：【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】（1）根據通項公式即可求出n的值，（2）設展開式系數最大項為第r+1項，則得到關于r煩人不等式組，解得r，問題得以解決【解答】解：（1）展開式的通項公式為Tr+1=2﹣n+2r?Cnrx，∵展開式中第6項為常數，∴r=5，即為=0，解得n=15，（2）設展開式系數最大項為第r+1項，則有2﹣15+2r?C15r≥2﹣13+2r?C15r+1，2﹣15+2r?C15r≤2﹣17+2r?C15r﹣1，解得r=12故第13項的系數最大為2﹣15+24?C1512x=29C153x【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．20.如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1，A1A的中點，（1）求的長；

（2）求.參考答案：（1）以射線建立空間直角坐標系

―――――――――――――――――――――1分則B（0，1，0）

―――――――6分

―――――――6分

――――――――12分

略21.已知數列的前n項和Sn滿足，.（1）求證數列為等比數列，并求an關于n的表達式；（2）若，求數列的前n項和Tn.參考答案：（1）證明見解析；；（2）.【分析】（1）根據題意，用遞推公式表示，利用遞推關系及下標縮放即可求得與之間的關系，即可證明數列為等比數列；根據等比數列的通項公式即可求得；（2）根據（1）中所求，利用錯位相減法求前項和即可.【詳解】（1）由題可知，即.①當時，，得，當時，，②①－②，得，即，所以所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，故（2）由（1）知，則，兩式相減得所以.【點睛】本題考查利用遞推