應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)主講:劉劍平古典概型

設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間，若①（有限性）Ω只含有限個(gè)樣本點(diǎn)，②（等概性）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，則稱E為古典概型。古典概型概率的公式1.2.隨機(jī)事件的概率及性質(zhì)概率的統(tǒng)計(jì)定義：頻率的穩(wěn)定值。

設(shè)P(A)為事件的實(shí)函數(shù),若P(A)滿足①非負(fù)性

0≤P(A)≤1;②規(guī)范性

P(Ω)=1,P(φ)=0;③可加性

則稱P(A)為概率的公理化定義.(3)概率的公理化定義加法原理乘法原理(4)概率的重要性質(zhì)(1)P(φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立.(2)若AB=φ,則P(A+B)=P(A)+P(B),可推廣到有限個(gè)互斥事件的情形.即:若A1,A2,…,An兩兩互斥,則

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),(4)P(Ω-A)=1-P(A).(5)若B是A的子事件,則P(A-B)=P(A)-P(B)；P(B)≤P(A);(6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

可推廣到有限個(gè)事件的情形.(5)幾何概型的概率公式第1.3節(jié)條件概率與乘法公式例14

在10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品,3個(gè)次品,按不放回抽樣,每次一個(gè),抽取兩次,已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。解設(shè)第一次取到次品為事件A,第二次又取到次品為事件B,記所求概率為P(B|A),則1.條件概率與乘法公式注意

(1)P(B|A)是在改變了的樣本空間下考慮概率值.(2)條件概率P(B|A)滿足概率的三條公理.(3)P(B|Ω)=P(B);P(B|B)=1;(4)若B1，B2互不相容,則有:P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A)(5)P(|A)=1-P(B|A)定義

對于兩個(gè)事件A、B,若P(A)＞0,則稱

P(B|A）=P（AB）/P（A）為事件A出現(xiàn)的條件下，事件B出現(xiàn)的條件概率。在計(jì)算條件概率時(shí),一般有兩種方法:(1)由條件概率的公式;(2)由P(B|A)的實(shí)際意義,按古典概型計(jì)算.(1)條件概率

例15

一批產(chǎn)品100件70件正品30件次品甲廠生產(chǎn)40件乙廠生產(chǎn)30件甲廠生產(chǎn)20件乙廠生產(chǎn)10件從中任取1件,記A=“取到正品”,B=“取到甲廠產(chǎn)品”,試計(jì)算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解

對于兩個(gè)事件A與B，

若P(A)>0,則有P(AB)=P(A)P(B|A),

若P(B)>0,則有P(AB)=P(B)P(A|B),推廣情形對于n個(gè)事件A1,A2,…,An,若P(A1A2…An-1)>0，則有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)若P(AB)＞0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

乘法法則一般用于計(jì)算n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率(2)乘法公式例16

設(shè)袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，每次取一球，求（1）第二次才取到白球的概率；（2）第三次才取到白球的概率；（3）第二次取到白球的概率。解設(shè)由題意得：課堂練習(xí)解

1.1.P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P(|A)=0.4,則P(B)=(

).所以,P(AB)=0.36,又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6例17

設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中不放回取兩次，每次一件，求第二件為不合格品的概率為多少？解設(shè)A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,則

=(4/10)×(3/9)+(6/10)×(4/9)=6/15=4/101.4.全概率公式和Bayes公式全概率公式

設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,事件組A1,A2,…,An滿足：則對于任何一個(gè)事件B，有

P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)證明

=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)例18市場上某種商品由三個(gè)廠同時(shí)供貨,其供應(yīng)量為:甲廠是乙廠的2倍,乙、丙兩個(gè)廠相等,且各廠產(chǎn)品的次品率分別為2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品的次品率.(1)設(shè)Ai表示取到第i個(gè)工廠產(chǎn)品,i=1,2,3,B表示取到次品,

由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:=0.025即市場上該種商品的次品率為2.5%.解例19

市場上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨,其供應(yīng)量為:甲廠家是乙廠家的2倍,乙.丙兩個(gè)廠家相等,且各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品的次品率.(2)若從市場上的商品中隨機(jī)抽取一件,發(fā)現(xiàn)是次品,求它是甲廠生產(chǎn)的概率.解(2)分析所求為條件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).=0.4即抽取到的次品是甲廠生產(chǎn)的概率為0.4.

(2)貝葉斯(Bayes)公式

設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,事件組A1,A2,…,An滿足，則對于任何一個(gè)正概率事件B，有

例20

每箱產(chǎn)品有10件,其中次品數(shù)從0到2是等可能的.開箱檢驗(yàn)時(shí),從中依次抽取兩件(不重復(fù)),如果發(fā)現(xiàn)有次品,則拒收該箱產(chǎn)品.試計(jì)算:(1)一箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收的概率;(2)已知該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收,則該箱產(chǎn)品中有2個(gè)次品的概率.解(1)P(B)=P(A0)P(B|A0