第二章振動的運動學第二章振動的運動學更一般的說，從幾何方面研究而不涉及物理原因。

運動學—描述質點或系統的運動形態（位移、速度、加速度、相位等）隨時間變化規律的學科，不涉及受力情況。前邊說的第二類分類方法就是從運動學角度把系統的運動分為簡諧振動、一般周期振動等等。第二章振動的運動學§2—1簡諧振動參量

§2—2諧振動的矢量表示法及復數表示法§2—3簡諧振動的合成§2—4拍（beat）§2—5本章習題第二章振動的運動學§2—1簡諧振動參量

簡諧振動是最簡單的周期振動，其位移方程可以用正弦或余弦函數描述x=Asinωt

。TA0xt第二章振動的運動學其中振動參量有：

x—任一瞬時的振動位移（線位移或角位移），單位毫米或弧度。t—時間，單位秒（time）。A—振幅（最大振動位移）amplitude。T—振動周期，振動一次（一周）所需的時間，單位：秒。ω—圓周率（又稱角頻率），表示振動快慢，單位：弧度/秒（或1/秒）。另外，還有一種自然頻率（又稱頻率）。

f—每秒振動的次數，單位周/秒（赫茲、次/秒）。TA0xt第二章振動的運動學由上式可以看到:速度：也是簡諧函數

（其中Aω——速度幅）單位毫米/秒

加速度：（其中Aω2——加速度幅）單位毫米/秒2

第二章振動的運動學下面介紹兩個同頻率不同相位的簡諧振動

φ——初相位（t＝0時的相位）

x2比x1超前φ相位，即x2比x1提前φ/ω秒達到位移最大值。

注意：只有頻率相同，相位差φ才保持不變。

0A2A1xωtx2(t)x1(t)φíì?+=)sin(22jwtAx=sin11wtAx第二章振動的運動學§2—2簡諧振動的矢量表示法及復數表示法描述簡諧振動的數學表示方法有三種：用三角函數的代數表示法矢量表示方法復數表示第二章振動的運動學1、用三角函數的代數表示法如前所述，但研究兩個同頻率簡諧振動合成時，物理概念不清晰，不直觀。例如：

第二章振動的運動學2、矢量表示方法

用矢量的逆時針旋轉表示簡諧振動是很方便的。以矢量的水平位置為起點t＝0，矢量的模A——振幅，旋轉角速度ω——振動的圓頻率到t瞬時，矢量與水平軸的夾角ωt即相位角，旋轉矢量在垂直軸的投影Asinωt或在水平軸的投影Acosωt都可以代表簡諧振動。自然頻率f就是每秒轉的周數，單位周/秒。顯然

用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉矢量的相對位置關系（即相位關系）。

第二章振動的運動學設簡諧位移方程（代數表示）

x＝Asinωt

用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉矢量的相對位置關系（即相位關系），則：超前于位移

超前位移π矢量表示見圖ωtAωAωAω2t=0第二章振動的運動學3、復數表示我們知道，一個復數z=a+bi可以表示復平面的一個矢量。矢量的長度稱為z的模，即矢量與實軸的夾角θ稱為幅角，記為argz，即我們又知道，復數z的實部和虛部分別是：

Re(z)＝a＝Acosθ；Im(z)＝b＝Asinθ〔注：arg—argument,Re—real,Im—imaginary〕θaAb實(Re)虛(Im)第二章振動的運動學了解上述概念之后，我們用旋轉的復數矢量可以表示簡諧振動。用復數的模表示振幅，仍用A；幅角θ此時代之以相位角ωt，這時幅角將隨時間t變化。就是說，該復數矢量按逆時針方向以ω為角速度旋轉。該旋轉矢量在實軸及虛軸上的投影：

Re(z)＝Acosωt；

Im(z)=Asinωt都可以表示簡諧振動。ωtA(Re)(Im)ω第二章振動的運動學復數可以合成指數形式:z＝Acosωt＋iAsinωt＝Aeiωt。我們約定，用復數旋轉矢量在虛軸的投影表示簡諧振動：x＝Asinωt＝Im(z)＝Im〔Aeiωt〕簡單寫成x＝Aeiωt〔注意：不要理解成振動是復數〕簡諧振動就是指他的虛部（虛部本身是個實數；例如:Im(z)=Asinωt）

注意：振動現象本身是實際存在的，用復數表示簡諧振動指的是用其中的實部或虛部（我們這里用虛部）來表示振動。

第二章振動的運動學

用復數表示振動時，其速度和加速度為：

可以看到，每求一次導數，就在前邊乘上一個iω，而每乘一個i（按復數乘法可知）就是把這復數矢量逆時針轉，這在求導數運算中帶來了方便。x＝Aeiωt第二章振動的運動學4、小結

簡諧振動有三種表示方法，其中代數方法x＝Asinωt比較符合我們的習慣。但在表示同頻率簡諧振動合成時，矢量表示方法有著物理概念清晰、直觀的優點。復數表示方法在求導運算中帶來了方便。這里再重復一遍，用矢量表示簡諧振動，說的是當矢量逆時針旋轉時，它在垂直軸（或水平軸）上的投影的變化可以代表簡諧振動；用復數表示簡諧振動，說的是當復數矢量逆時針旋轉時，它在虛軸（或實軸）上投影，即虛部（或實部）的變化可以代表簡諧振動。振動的運動學第二章振動的運動學如果一質點的振動包含兩個頻率相同而有相位差φ的簡諧振動：§2—3簡諧振動的合成

我們來求它的合成運動，用代數方法雖然可求，但很煩瑣，用矢量相加方法求這個合成運動很方便。第二章振動的運動學合成后的位移矢量為：

矢量的模即合成后的振幅可由余弦定理求得：第二章振動的運動學結論：兩個具有相同頻率但不同相位的簡諧振動合成后仍是簡諧振動，其振幅及初相位公式如上。但是，兩個頻率不同的簡諧振動合成后不再是簡諧振動。合成后振動矢量比超前φ角顯然，合成后的振動就是矢量在垂直軸上的投影x＝Asin（ωt＋φ）第二章振動的運動學〔特例〕，兩個簡諧振動具有相同頻率，但相位差90o，即兩旋轉矢量互相垂直。合成振動仍寫成這里就是說—這種情況以后經常用到。???íì=+==tbtbxtaxwpwwcos)2sin(sin21第二章振動的運動學兩個具有不同頻率的簡諧振動的合成運動不再是簡諧振動。我們研究下面兩個簡諧振動的合成問題。

其中ω1≠ω2但相差很小，這時合成運動就是一種特殊的振動—拍

。§2—4拍（beat）第二章振動的運動學令ω2＝ω1＋?ω則：x=x1+x2=asinω1t+bsin(ω1+Δω)t=asinω1+b(sinω1tcos?ωt+cosω1tsin?ωt)=(a+bcosΔωt)sinω1t+bsin?ωt·cosω1t=A1(t)sinω1t+A2(t)conω1t；

這里?íìD=D+=tbA(t)tbatAwwsincos)(21第二章振動的運動學合成運動可寫成x＝A（t）sin(ω1t+φ)其中:

用旋轉矢量加法，但要注意，這里矢量的模隨時間變化，于是合成矢量的模也隨時間變化。tabbawD++=cos222tbtbawwD+D+=)sin()cos(22A2A2t+=)(A21第二章振動的運動學這就是說，合成運動是這樣一種振動：其振動頻率是ω1但振幅本身又隨著時間變化。變化的頻率是?ω（＝ω1－ω2）。我們把這種振動現象叫做拍。因?ω比ω1小得多，故振幅變化速度是緩慢的。我們研究一下運動規律：?ω=2a=6b=5ω=12第二章振動的運動學當?ωt＝0時Amax＝a+b；當?ωt＝π時，Amin＝a－b

赫茲，拍的園頻率，頻率及周期分別用ωb，fb，Tb表示，則：

ωb＝?ω＝ω1－ω2弧度/秒，秒第二章振動的運動學

拍——兩個頻率有微小差別的簡諧振動合成時，其合成振幅時而加強時而減弱的現象叫做拍。

拍的周期——合成振動的振幅由加強到減弱再到加強所經過的時間叫拍的周期。

拍頻——合振動在單位時間內加強或減弱的次數稱為拍頻（fb）。第二章振動的運動學

例：一質點同時做兩個振動x1=3sin40t，x2=4sin41t，求合成運動的最大、最小振幅及拍的頻率？x=A(t)sin(40+ψ)

弧度/秒，Amax=3+4=7cm，Amin=4-3=1cm，ωb=41-40=1弧度/秒,秒。

注：可以看到，合成最大本身的園頻率是40弧度/秒，而拍（即振幅變化）的園頻率是1弧度/秒，慢多了。解：第二章振動的運動學本章小結這一章題目是“振動的運動學”，研究振動的形態（位移、速度、加速度等）隨時間變化的規律，而不涉及產生振動的物理原因。我們著重研究了簡諧振動x=Asin(ωt+φ)

。定義簡諧振動的參量〔位移x、時間t、振幅A、園頻率ω、頻率f=ω/(2π)、周期T=1/f等等〕。第二章振動的運動學簡諧振動的三種表示方法：代數表示法；矢量表示法；復數表示法。簡諧振動的合成，其中特別是x=asinωt+bcosωt

這種情況。值得注意的是：同頻率簡諧振動合成后仍是簡諧振動，不同頻率簡諧振動合成后不再是簡諧振動。對于后一種情況，我們研究了一個特例——拍。第二章振動的運動學

習題2-1有一作簡諧振動的物體，它通過距離平衡位置為時的速度分別為

求其振動周期、振幅和最大速度。解：設物體振動規律為

§2—5本章習題.p)2sin()cos(jwwjww++=+=tAtAx&第二章振動的運動學（1）（2）第二章振動的運動學由（1），（2）解得最大速度振幅所以，振動周期最大速度第二章振動的運動學

習題2-2一個機器內某零件的振動規律為

，x的單位是cm。這個振動是否簡諧振動？求出它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋轉矢量表示這三者見的關系。解：

同頻率振動，合成為簡諧振動

第二章振動的運動學振幅：

最大速度：最大加速度：第二章振動的運動學

習題2-3已知