數學物理方法

48學時李清旭數理學院2014.09liqx@,2523課程概況

上課時間、地點(周四9-11節、4215)

教材

數學物理方法，梁昆淼等，高等教育出版社。

參考書1.數學物理方法,姚端正,武漢大學出版社。

2.數學物理方法,吳崇試,北京大學出版社。最終成績=平時成績(30%)+期末考試成績(70%)師資隊伍教師名錄應用物理教學部李清旭教師資料下載QQ:453042413課程內容數學物理方程及其傅里葉解積分變換方法常微分方程的冪級數解球函數和柱函數5第七章

數學物理定解問題6

數學物理方程的研究范圍十分廣泛，本課程主要講述線性偏微分方程，尤其是二階線性偏微分方程的相關內容。這些方程是從各種物理問題中歸納總結出來的。常見的二階線性偏微分方程有如下三類：機械波的波動方程根據牛頓定律可以證明，機械波的波函數應滿足如下波動方程：（一維波動方程）8靜電勢的Laplace方程和Poisson方程由靜電場的性質：或者:在沒有電荷的區域，靜電勢滿足Laplace方程：在有電荷分布的區域，靜電勢滿足Poisson方程：（靜電場方程）穩定問題:與時間無關.9量子力學中的Schr?dinger方程如果勢能函數不顯含時間，則上述方程可簡化為：含時Schr?dinger方程定態Schr?dinger方程101112

微分方程中的疊加原理實際上是物理規律中的疊加原理的反映。我們知道幾個物理量同時存在時的效果常常等價于各個物理量單獨存在時效果的疊加。疊加原理又稱為獨立作用原理。疊加原理是線性問題和非線性問題最本質的區別。在非線性的情況下，疊加原理不成立。13弦的橫振動方程

考察長為l

，兩端固定、水平拉緊的均勻柔軟而有彈性的弦．當它在平衡位置附近作垂直于弦的微小橫振動時，求弦上各質點的運動規律。14根據牛頓第二定律，u方向運動可以描述為：由于弦作微小橫振動，從而有：由得到15弦的自由振動：f

=

0,弦的受迫振動：f≠

0,波速上述弦振動方程的推導過程表明，該方程反映弦振動這一類物理問題所遵循的物理規律。該方程不涉及體系和外界的邊界，也不涉及體系的歷史狀況，從而并沒有確定一個確定的物理體系或者物理過程；通常稱該方程為泛定方程。從數學的角度來說，僅僅振動方程并不能確個確定的振動函數。17邊界條件與初始條件

由物理學規律出發得到的數學物理方程是某一類（或幾類）物理現象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫某一個具體的物理過程。例如從Newton第二定律得到的動力學方程并不能唯一地確定質點的運動；完全確定質點的運動還需要有初始條件。一般地，要完全描寫一個具有確定解的物理問題，在數學上就是要構成一個定解問題。除了微分方程之外，構成定解問題還必須有邊界條件和初始條件。邊界條件用于確定體系和外界的相互作用；初始條件用于確定體系的歷史狀況。18初始條件

初始條件用于確定體系的歷史狀況，當所考察的物理現象隨時間變化時，需要確定體系的初始條件來唯一確定地描述該現象。（穩定問題不需要初始條件）對于傳導或擴散過程，需要確定體系的初始狀態：對于振動過程，初始條件還需要包含速度的信息：19邊界條件

體系的邊界會影響體系的物理狀態,體系的邊界情況由邊界條件確定.邊界條件反應體系和外界的界面上的情況.常見的邊界條件可以分為三類第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件20第一類邊界條件(Dirichlet條件)21第二類邊界條件(Neumann條件)22第三類邊界條件(混合邊界條件)

第三類邊界條件給出未知函數和在邊界上的法線方向的導數的線性組合在邊界上的取值，即如桿的縱振動問題,若一端與一個一端固定的彈簧相連,則相應的邊界條件為23第一、二、三類邊界條件可以統一地寫成24定解問題的分類

數學物理方程（泛定方程）加上相應的定解條件一起構成了定解問題。根據定解條件的不同，又可以把定解問題分為三類：

初值問題：定解條件僅有初值條件；

邊值問題：定解條件僅有邊值條件；

混合問題：定界條件有初值條件也有邊值條件。25定解問題的適定性

定解問題解的存在性、唯一性和穩定性，統稱為定解問題的適定性。存在性：定解問題是否有解.唯一性：定解問題的解是否唯一.穩定性：定解問題的解是否穩定.

只要對實際物理問題的抽象是合理的，初始條件完全、確定地描寫了初始時刻體系內部和邊界上的狀況；邊界條件完全而確定地描寫了邊界上的狀況;

構成的定解問題就一定是適定的，解一定存在且唯一和穩定。261.行波法2.分離變量法3.冪級數解法4.格林函數法

5.積分變換法6.保角變換法7.變分法8.計算機仿真解法9.數值解法數學物理方程的常用解法

在求解常微分方程時，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用給定條件確定通解中的積分常數。對于如上定解問題，這種做法一般情況下是行不通的。原因在于通常很難求出偏微分方程的通解。

這里有一個特例，可以沿用求解常微分