1.12.1

電阻元件、電感元件和電容元件1.12.3RC電路的暫態分析1.12.4

一階電路暫態分析的三要素法1.12.5RL電路的暫態分析1.12電路的暫態分析1.12.2

儲能元件和換路定則

電路的暫態分析前面討論的是電路的穩定狀態。所謂穩態是指電路的結構和參數一定時，電路中電壓、電流在給定條件下已達到某一穩定值。但是，當電路中含有儲能元件(電感或電容)時，由于物質所具有的能量不能躍變，所以在發生換路時(指電路接通、斷開或結構和參數發生變化)，電路從一個穩定狀態變化到另一個穩定狀態一般需要經過過渡狀態才能到達。由于過渡狀態所經歷的時間往往很短，故又稱暫態過程。本章先討論暫態過程產生的原因，而后討論暫態過程中電壓、電流隨時間變化的規律。上式表明電阻將全部電能消耗掉，轉換成熱能。1.電阻元件1.11.1電阻元件、電感元件和電容元件iu+_R圖中u和i參考方向相同，根據歐姆定律得出u=RiR=ui電阻元件的參數電阻對電流有阻礙作用將u=Ri

兩邊同乘以i

，并積分之，則得

R是耗能元件i安(A)韋伯(Wb)亨利(H)N+–u2.電感元件電感L

=iN

在圖示

i、e假定參考方向的前提下，當通過線圈的磁通或

i發生變化時，線圈中產生感應電動勢為d

dt

eL=Ndi

dt=LL+–ui–eL+

L稱為電感或自感。線圈的匝數越多，其電感越大；線圈單位電流中產生的磁通越大，電感也越大。P>0,L把電能轉換為磁場能，吸收功率。P<0,L把磁場能轉換為電能，放出功率。

L是儲能元件根據KVL可寫出電壓電流關系L+–ui–eL+或瞬時功率儲存的磁場能在直流穩態時，電感相當于短路。伏(V)庫侖(C)法拉(F)3.電容元件電容元件的參數iu+–C

當通過電容的電荷量或電壓

發生變化時，則在電容中引起電流在直流穩態時，I=0，電容隔直流，電容相當于開路儲存的電場能

C是儲能元件tuCdd=tqidd=∵

L儲能：不能突變Cu\∵C儲能：由于物體所具有的能量不能躍變而造成在換路瞬間儲能元件的能量也不能躍變若發生突變，不可能！一般電路則1.11.2儲能元件和換路定則1.電路中產生暫態過程的原因(電容電路)作用：換路定則僅用于換路瞬間來確定暫態過程中uC、iL初始值(t=0+)。

設：t=0—表示換路瞬間(定為計時起點)

t=0-—表示換路前的瞬間

t=0+—表示換路后的瞬間（初始值）2.換路定則(電感電路)換路定則用公式表示為：3.初始值的確定求解步驟：作出t=0-的電路，求出

uC

(

0–)

、iL

(

0–)；若C、L已儲能，且電路已處于穩態，則C——開路，L——短路。

2)根據換路定則知：

uC(0+)＝

uC(0-)、iL

(0+)=iL

(0-)將電容以電壓為

uC(0+)的電壓源，電感用電流為

iL

(0+)的電流源代替，作出t=0+的電路，并計算電路中其他量的初始值注意：換路前，若C、L未儲能，且電路已處于穩態，則換路后的瞬間C——短路，L——開路。初始值：電路中各u、i

在t=0+

時的數值。

[例

1]

已知iL(0

)=0，uC(0

)=0，試求S

閉合瞬間，電路中各電壓、電流的初始值。t=0+時的等效電路為uC(0+)=uC(0-)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0-)=0UR1R1u1(0+)=i1(0+)=Uu2(0+)=0uL(0+)=U[解]根據換路定則及已知條件可知，電路中各電壓電流的初始值為SCR2R1t=0–

+ULuC(0+)u2(0+)R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)u1(0+)i1(0+)+–+–U+–+–+–iL(0+)=iL(0–)=0SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi在

t=0時將開關S合到1的位置。上式的通解有兩個部分，特解和補函數特解取電路的穩態值，則補函數是齊次微分方程的通解，其形式為代入上式，得特征方程根據KVL，t≥

0時電路的微分方程為

1.12.3RC電路的暫態分析CuRiU+=CtCuuRC+=ddSCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi其根為特征方程

=RC

單位是秒，所以稱它為RC電路的時間常數。通解設換路前電容元件已有儲能，即uC(0+)=U0

，則A=U0–U，于是得t1-=-1=RCpCCCuuu￠￠+￠=ttAU-+=e1.12.3

RC電路的暫態分析若換路前電容元件沒有儲能，即uC(0+)=0，則上式(*)變為這種初始儲能為零，由外加電源引起的響應，常稱為RC電路的零狀態響應。SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi

這種由外加激勵和初始儲能共同作用引起的響應，常稱為RC電路的全響應。1.12.3

RC電路的暫態分析(*)uR–

USCRt=0–

+12–

++uCi

若在

t=0時將開關S由1合到2的位置，如右圖。這時電路中外加激勵為零，電路的響應是由電容的初始儲能引起的，故常稱為RC電路的零輸入響應。

電容兩端的電壓

uC

由初始值

U0向穩態值零衰減，

這是電容的放電過程，其隨時間變化表達式為

電路中

uR

和電流

i

可根據電阻和電容元件兩端的電壓、電流關系確定。1.12.3

RC

電路的暫態分析tuCuCUOu時間常數

=RC0.632UOuU0t0.368U0零狀態響應SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi零輸入響應uR–

USCRt=0–

+12–

++uCi0.368U越大，曲線變化越慢，達到穩態所需要的時間越長。時間常數的物理意義Ut0uc時間常數

=RC當

t=5

時，過渡過程基本結束，uC達到穩態值。(3)暫態時間理論上認為、電路達穩態工程上認為~

、電容放電基本結束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U1.12.4

一階線性電路暫態分析的三要素法僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,其微分方程都是一階常系數線性微分方程，這種電路稱為一階線性電路。則RC電路響應的一般式可寫為：零輸入響應：據經典法推導結果知：零狀態響應：

全響應：穩態分量暫態分量

——代表一階電路中任一電壓、電流函數

——穩態分量

——

暫態分量若初始值為f(0+),式中,初始值--（三要素）

穩態值--時間常數--在直流電源激勵的情況下，一階線性電路微分方程解的通用表達式為：

在一階電路中，只要求出待求量的初始值、穩態值和時間常數這三個要素，就可以寫出暫態過程的解。“三要素”的確定1)由t=0-

電路求2)根據換路定則求出3)由t=0+時的電路，求所需其它各量的或(1)初始值

的計算

求換路后電路達到穩定后電路中的電壓和電流：若電路中有電源，則其中C——開路,L——短路，

然后求解直流電阻性電路中的電壓和電流。 (2)穩態值的計算注意：在一階線性電路中通常都是先計算儲能元件電容的電壓、電感的電流，再根據電路圖求其它量

1)對于簡單的一階電路，R0=R;

2)對于較復雜的一階電路，R0為換路后的電路除去電源和儲能元件后，在儲能元件兩端所求得的無源二端網絡的等效電阻。(3)時間常數的計算對于一階RC電路對于一階RL電路R0U0+-CR0

R0的計算類似于應用戴維寧定理解題時計算電路等效電阻的方法。即從儲能元件兩端看進去的等效電阻，如圖所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3

[例

1]

在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F

，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出變化曲線。

[解]

先確定uC(0+)uC()和時間常數

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+

t<0時電路已處于穩態，意味著電容相當于開路。2t=0S

[例

2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F

，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出變化曲線。

[解]

先確定uC(0+)

uC()和時間常數

R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

[例

2]

在右圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F

，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出變化曲線。[解]–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1R2t(s)uC

(V)4O2uC(t)

變化曲線

VRt=0–

+U12–

+uR–

+uLiL在

t=0時將開關S合到1的位置，電感的初始電流為I0,則穩態時電流I=U/R.也具有時間的量綱，是RL電路的時間常數。S1.11.5

RL電路的暫態分析三要素法公式：代入得：其