第4章無窮級數無窮級數無窮級數是研究函數的工具表示函數研究性質數值計算數項級數冪級數付氏級數函數項級數2008年12月25日1南京航空航天大學理學院數學系第4章無窮級數第1節常數項級數第2節函數項級數第3節冪級數第4節Fourier級數2008年12月25日2南京航空航天大學理學院數學系第1節常數項級數1.1常數項級數的概念、性質與收斂原理1.2正項級數的審斂準則1.3變號級數的審斂準則2008年12月25日3南京航空航天大學理學院數學系1.3變號級數的審斂準則2008年12月25日4南京航空航天大學理學院數學系1交錯級數及其審斂準則2絕對收斂與條件收斂3DirichletandAbel判別法1.3變號級數的審斂準則4絕對收斂級數的性質2008年12月25日5南京航空航天大學理學院數學系定義1:

正、負項交替出現的級數稱為交錯級數.1交錯級數及其斂散性2008年12月25日6南京航空航天大學理學院數學系證明2008年12月25日7南京航空航天大學理學院數學系滿足收斂的兩個條件,定理證畢.2008年12月25日8南京航空航天大學理學院數學系解2008年12月25日9南京航空航天大學理學院數學系解原級數收斂.2008年12月25日10南京航空航天大學理學院數學系收斂!2008年12月25日11南京航空航天大學理學院數學系存在!存在!2008年12月25日12南京航空航天大學理學院數學系？2絕對收斂與條件收斂2008年12月25日13南京航空航天大學理學院數學系證明注：該定理可由柯西收斂原理證明（見P.273)2008年12月25日14南京航空航天大學理學院數學系定理1.9的作用：任意項級數正項級數2008年12月25日15南京航空航天大學理學院數學系解故由定理知原級數絕對收斂.2008年12月25日16南京航空航天大學理學院數學系解故由定理知原級數條件收斂.2008年12月25日17南京航空航天大學理學院數學系例5以下填寫是絕對收斂,還是條件收斂,還是發散2008年12月25日18南京航空航天大學理學院數學系證明例62008年12月25日19南京航空航天大學理學院數學系例7解2008年12月25日20南京航空航天大學理學院數學系2008年12月25日21南京航空航天大學理學院數學系例8

判別級數的收斂性.

2008年12月25日22南京航空航天大學理學院數學系3DirichletandAbel判別法------判別條件收斂的兩個方法(1).Abel變換(2).Abel引理2008年12月25日23南京航空航天大學理學院數學系(3).Dirichlet判別法證明:由Abel引理和Cauchy收斂原理注意:由Dirichlet判別法可推出Lebuniz判別法2008年12月25日24南京航空航天大學理學院數學系(4).Abel判別法證明:由條件(1)由條件(2)有由Dirichlet判別法注意:2008年12月25日25南京航空航天大學理學院數學系例9解由Dirichlet判別法知所討論的級數收斂!2008年12月25日26南京航空航天大學理學院數學系更一般的情形：

若數列{an}具有性質:都收斂.2008年12月25日27南京航空航天大學理學院數學系所以級數的部分和數列當時有

例如：解

2008年12月25日28南京航空航天大學理學院數學系例10

級數收斂但不絕對收斂.解

由于的絕對值級數2008年12月25日29南京航空航天大學理學院數學系2008年12月25日30南京航空航天大學理學院數學系例11解2008年12月25日31南京航空航天大學理學院數學系解是條件收斂由Abel判別法2008年12月25日32南京航空航天大學理學院數學系小結:任意項級數斂散性判別法2008年12月25日33南京航空航天大學理學院數學系(5)絕對收斂級數的性質1).級數的重排

我們把正整數列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射原數列的重排.相應地稱級數為原級數的重

作稱為正整數列的重排,相應地對于數列

2008年12月25日34南京航空航天大學理學院數學系意重排后所得到的級數絕對收斂且和也為S.定理

設級數絕對收斂,且其和等于S,則任

注

定理只對絕對收斂級數成立.條件收斂級

數重排后得到的新級數,不一定收斂,

即使收斂,也不一定收斂于原來的和.

事實上，條件收斂的級數經過適當重排后,既可以得到發散級數,也可以收斂于任何給定的數.

2008年12月25日35南京航空航天大學理學院數學系將上述兩個級數相加,得到的是上述級數的重排:例如下面的級數是條件收斂的,

設其和為A

2008年12月25日36南京航空航天大學理學院數學系2).級數的乘積若為收斂級數,a為常數,則由此可以立刻推廣到收斂級數與有限項和的乘

積,即那么無窮級數之間的乘積是否也有上述性質?2008年12月25日37南京航空航天大學理學院數學系設有收斂級數將級數(1)與(2)中每一項所有可能的乘積列成下表：

2008年12月25日38南京航空航天大學理學院數學系可以按各種方法排成不同的級數,常用的有按正方形順序或按對角線順序.

上述表中的所有乘積2008年12月25日39南京航空航天大學理學院數學系2008年12月25日40南京航空航天大學理學院數學系2008年12月25日41南京