小學數學題集【一】雞兔同籠：大約在500年前算經》中記載雞同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？意思是：有若干只雞和兔同在一個籠子里，數頭有個數腳有94只求籠中有雞和兔各多少只？※①假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞只兔就變成了“雙腳兔樣）和兔的腳的總數就由94只成94÷2=47只）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多。因此，腳的總數47與頭數35的，就是兔子的只數，即－＝12（只然雞的只數是－＝23只足法令今中外數學家贊嘆不已種思維方法叫化歸法化法就是在解決問題時先對問題采取直接的分而將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，最終把它歸成某個已經解決的問題用“假設法設全部是雞，有個則腳有×，相差只是兔多出的腳，每只兔多2只，兔有÷2=12只雞有3512＝（只用“方程”來解：解設兔頭X只，則雞有35-X只，列式為4X+（）×2=94X=12，雞有－1223只【二】牛頓問題：英國科學家牛頓，曾經寫過一本數學書。書中有一道有名的、關于牛在牧場上吃草的題目，人們把它稱為“牛頓問題場，已知養牛27頭，天把草吃盡；養牛頭天把草吃盡。如果養牛頭，幾天能把牧場上草吃盡？（并且牧場上的草是不斷生長的※一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作。頭牛6天所吃的牧草為×＝162（這包括牧場原有的草和6天長的草頭牛9天所吃的牧草為×＝207（這包括牧場原有的草和9天長的草天新長的草為207162）÷9）15牧場上原有的草為：27－156＝72每天新長的草足夠15頭吃頭牛減去頭剩下6頭吃原牧場的草÷（－15＝÷6＝（天）所養頭牛，12天能把牧場上的草吃盡。【練一練有一牧場如果養25只8天以把草吃盡只羊天草吃盡如果養15只，幾天能把牧場上不斷生長的草吃盡？/8【三】鬼谷算：我國漢代有位大將叫韓信，他每次集合部隊，只要求部下先后按l、～、1～7報，然后再報一下各隊每次報數的余數，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點兵，外國人還稱它為“中國剩余定理了明代，數學家程大位用詩歌概括了這一算法，他寫道行七十稀，五樹梅花廿一枝七團圓月正半，除零五便得知首詩的意思是：用3除得的余數乘上70加上用5所得余數乘以21再加上用7除得余數乘上15結果大于105就減去的數，這樣就知道所求數了。比如，一籃雞蛋，三個三個地數余1，五個五個地數余2個七個地數余籃子里有雞蛋一定52個式1＋2×＋3＝157157－105＝（個）【練一練】四皓小學訂《中國少年報》若干張，如果三張三張地數，余數張；五張五張地數，余數為；七張七張地數，余數為張四小學訂《中國少年報》多少張？【四】電燈泡問題道里依掛著標號是1，，3,……100的燈泡，開始它們都是滅的第個人走過時標號為的數的燈泡的開關拉一下第二個人走過時，他將標號為倍數的燈泡的開關拉一下第個人走過時將號為的倍數的電燈泡的開關拉一下；……如此進行下去，當第一百個人走過時，他將標號為100的倍數的燈泡的開關拉一下。問：當第一百個人走過后，過道里亮著的電燈泡標號是多少？”※此題質是找每個燈泡的因個數。第一個燈泡只有因數1，亮；第二個燈泡有兩個因數、2，等滅；由此可看出因數的個數是奇數時，燈亮；因數的個數是偶數時，燈滅。故當第一百個人走過后，過道里亮著的電燈泡標號14、2536、81【五】巧求六位數位數□□能被4321整，個六位數是多少”※采用“假設──計算──排錯──驗證”的方法。假設六位數為，么943219÷4321＝…，由于余數大于，以不合題意。假設六位數為，有843219÷＝…，余數大于9也不合題意。假設六位數為743219，則÷4321＝172…，數小于9可見符合條件的六位數為－＝743212。當六位數的首位數分別為65、、、2、時經計算均不合題意。綜上分析，要求的六位數為。【練一練位eq\o\ac(□,89)eq\o\ac(□,)□被89除，這個四位是多少？答案）【六】時鐘問題：①“鐘面上有時針與分針，每針轉動的速度是確定的針每分鐘旋轉的速度：°÷60°時針每分鐘旋轉的速度：360°÷×60)＝．°，在鐘/8面上要么是分針追趕時針要么是分針超越時針里的轉動角度用度數來表示相當于行走的路程。因此鐘面上兩針的運動相當于典型的追及問題。例：鐘面上時多少分時，分針與時針恰好重合？※整時，分針在的位置上，時針在3的置上，兩針相隔°。當針第一次重合，就是3時多少分。在整3時兩針重合的這段時間內，分針要比時針多行走3÷12×°，每分鐘分針時針多走6－．5．5()，所用時間為÷5≈16．36(分。例：在鐘面上5時多少分時，分針與時針在一條直線上，而指向相反？※在整時時針與分針相隔360÷12×5=150，然后分針先是追上時針，分針需比時針多行走150，然后超越時針°，共＋180=330°，針每分鐘旋轉的速度：360°÷60＝6每分鐘旋轉的速度°÷×＋÷—0＝分60分6時。例3：鐘面上時30分，針在分后面多少度？※整12針時針重合當在同一起跑線上時30分針走180到達6時位置上時針在30分內也在行走際兩針相隔的度數是在分鐘內針超越時針的度數：—0××3=165(度例：鐘面上時到時間兩針相隔°時，是幾時幾分？※從6時作為起點，此時針成°。當分針在時針后面°時或分針超越針90時，就是所求的時刻。(180÷—．＝÷5．5≈分鐘(180÷(6—05)＝÷5.5≈4909(分鐘）[此題還可采用分率方法來解]【七】最優化問題：既要在盡可能節省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，因此，最優化問題涉及統籌、線性規劃——排序不等式等內容。例貨上卸下若干只箱子，重量為10噸每只箱子的重量不超過噸為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？【分析】因為每一只箱子的重量不超過噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以輛車本是足夠的，是輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例如，設有13只子，所以輛汽車只能運走3只子13只箱子用輛汽車一次運不走。因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要汽車。例用尺長的竹竿來截取尺尺長的甲、乙兩種短竹竿各根至少要用去/8原材料幾根？怎樣截法最合算？【分析】一10尺的竹竿應有三種截法3尺根和一根，最省；（）尺三根，余一尺）4尺兩根，余2尺為了省材料，盡量使用方法1樣根材料可截得100根尺的竹竿和根4尺竹差根的好選擇方3這樣所需原材料最少，只需根即可，這樣，至少需用去原材料75根例3:一銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數，而且是三個連續偶數，它們個位數字的和是倍數，這個三角形的周長最長是多少厘米？【分析】三角形三邊是三個連續偶數，所以它們的個位數字只能是，2，，，8，且它們的和也是偶數，又它們的個位數字的和是的倍數，只是，角形三條邊最大能是86，90周長最長為厘。例把拆成若干個正整數的和，使它們的積最大。【分析】先從較小數形開始實驗，發現其規律：把成3+3，其積為×最大；把成，其積為×22=12最；把成，其積為×32=18最；把成，其積為×33=27最；…這就是說，要想分拆后的數的乘積最大，應盡可能多的出3，而當某一自然數可表示為若干個和時，要取出一個3與重在一起再分拆成兩個和，因此可以拆成，積37×22=8748為大。例A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20米，已知每人最多可攜帶一個人天的食物和水，如果不準將部分食物存放于途，問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千要最后兩人返出發點如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？【分析】設AX天返回A留自己返回時所需的食物剩下的轉給B，此時B共有48-3X天的食物，因為B最攜帶天的食物，所以X=8剩下的天物，只能再向前走8天，留下天食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走天因為每天走千米，所以其中一人最多可以深入沙漠千。如果改變條件則題關鍵為A返回時留給天食物由24天食物可以使B單獨深入沙漠12天路程，而另外天食物要供A、B兩往返一段路，這段路為÷天路程，所以可以深入沙漠天路程，也就是說，其中一人最遠可以深入沙漠360千。/8例6今有圍棋子顆，甲、乙兩人取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規定每次只能取為不超過20的一質數）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？【想】因為×，所以原題可以轉化為：有圍棋子00顆甲、乙兩人流每次取顆誰最后取完誰獲勝。乙有必勝的策略。由于00=4×50或是者可以表示為或4k+3的式k為或正整數采的策略為：若甲取4k+3顆則乙取，，1顆使得余下的棋子仍是的數如此最后出現剩下數為不超過的的倍數，此時甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。[說明]（1）此題中，乙是“后發制人取不定存在必勝的策略，關鍵是看他們所面臨的“情形）我們可以這樣來分析這個問題的解法，將所有的情剩余棋子的顆數分成兩類，第一類是4的數，第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形，那么他可以取或或，使得剩下的是第一類情形，若取棋時面臨第一類情形，則取棋后留給另一個人的一定是第二類情形以誰先面臨第二類情形誰就能獲勝絕部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。例、有一個80人的旅游團，其中人女30，他們住的旅館有11、和的三種房間，男、女分別住不同的房，他們至少要住多少個房間？[分析]為了使得所住房間數最少，安排時應盡量先安排人間，這樣50人的應安排3個11間2個人間和個間個人應安排個間7間和人間，共有10個間。[練習]十個自然數之和等于001則這十個自然數的最大公約數可能取的最大值是多少？（不包括0）在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和8，則三角形的最大面積為多少？個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時間別是分鐘、2分、3分、分和5分，如果有一個水龍頭適當安排他們的打水順序，就能夠使每個人排隊和打水時間的總和最小，那么這個最小值是多少分鐘？某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小注滿。若要求小注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時？有1995少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規完任務后應該在該公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？/8甲乙人輪流在黑板上寫下超過10的然數規是禁止寫黑板上已寫過的數的約數，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？[習題參考答案及思路分]∵1001=7××∴以7為約這樣這十個正整數可以是×2它們的最大公約數為。對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為，則三角形的最面積為44=8。為了使每個人排隊和打水時間的總和最小，有兩種方法隊人盡量少每次排隊的時間盡量少因應讓打水快的人打水能保證開始排隊人多的時候個人等待的時間要少，故共需51+42+33+2×4+5=35分鐘由于甲、乙單獨開放都不可能在1小時注滿水池，因此必須有時間甲乙全放。為了使它們合放的時間最少，應盡量開放甲管（速度快開小時注滿水池的余下只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時。此問題我們可以從最簡單問題入手，尋找規律，從而解決復雜問題，最后集合地點應在中間地點。先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫，5，7，，9，中的一個，把它們分成數對，510果乙寫數對中的某個數，甲就寫數對中的另一個數，則甲必勝。【八】利潤與折扣：工廠和商店有時減價出售商品，通常稱為“打折扣”出售，幾折就是百分之幾十一情況下商從廠家購進的價格稱為本價商家在成本價的基礎上提高價格出售，所賺的錢稱為利潤，利潤與成本的百分比稱之為利潤率。期望利=成本價×期望利潤率。例1某商店將某種按價提高35%，打出“九折優惠酬賓，外送元租車費”的廣告，結果每臺仍舊獲利元那么每臺DVD的價是多少元？※定價是進價的1+35%=135%，打九折后，實際售價是進價的135%×，每臺的際利（的價258（=1200元）例2一種服裝，甲店比乙店的進貨便宜10%，甲店按的利潤定價，乙店按的利潤定價，甲店比乙店的出廠價便宜，甲店的進貨價是多少元？※設乙店的成本價為1乙店的定價是（店的定價（1-10%）×1+20%甲店比乙店的出廠價便宜的對應分率是）-（1-10%）×1+20%=7%11.2÷（元）160×（1-10%）=144元）/8例3原來將一批水果按100%的利潤定價出售，由于價格過高，無人購買，不得不按38%利潤重新定價這出售了其中的40%此因害怕剩余水果會變質不不再次降價，售出了全部水果。結果實際獲得的總利潤是原來利潤3，那么第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾？※要求第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾要求出第二次是按百分之幾的利潤定價。解：設第二次降價是按x%的利潤定價的38%40%＋×，X%=25%）÷1+100%）=62.5%[練習]：某商品按每個元利潤賣出13個錢按每個的利潤賣出個錢一樣多。這種商品的進貨價是每個多少元？租用倉庫堆放3噸物每租金元這貨物原計劃要銷售3個由降低了價格結2個就銷售完了由于節省了租倉庫的租金，所以結算下來，反而原計劃多賺了元問：每千克貨物的價格降低了多少元？張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80。張先生對商店經理說果你肯減價，那么每減價元我就多訂購4件店理算了一下，若減價5％，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多元。問這種商品的成本是多少元？某商店到蘋果產地去收購蘋果價為每千克元產地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千收元。如果在運輸及售過程中的損耗是％，商店要想實現25的利潤率，零售價應是每千克多少元？小明到商店買了相同數量的紅球和白球，紅球原價，白球原價5。新年優惠，兩種球都按1元2個，結果小明少花了元。問：小明共買了多少個球？某廠向銀行申請甲、乙兩種貸款40元每需付利息萬元。