22約數與倍數（）教學目本講主要對課本中的：約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數性質的應用。本講核心目標：讓孩子對數字的本質結構有一個深入的認識，例如）數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數的內在關；（2）整數唯一分解定理讓學生自己初步領任何一個數字都可以表示為eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)的結構，而且表達形式唯”知識點一、

約數、公約數與最大公約數概念(1)約數在正整數范圍內約數又叫因整能整數除叫b的數，就叫做的約數；(2)公約數:如果一個整數同時是幾個整數的數，稱這個整數為它們公約”最大公約數：公約數中最大的一個就是最大公約數；0被除約數與倍數之外1．最大公約數的方法①解因法先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來．例如：，252，以；②除：找出所有共有的約數，然后相乘．例如：，以；③轉除：一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數．用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得第一個余數；再用一個余數除小的一個數，得第二個余數；又用第二個余數除第一個余數，得第三個余數；這樣逐次用后一余數去除前一個余數，直到余數是為．么，最后一個除數就是所求的最大公約數(如果最后的除數是，那么原來的兩個數是互質的．例如，求和的大公約數：；600；2853015；0；以和600最大公約數是152．大公約數的性質幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數；幾個數都乘以一個自然數，得的積的最大公約數等于這幾個數的最大約數乘以n．3．一組分數的最大公約數先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數；出各個分數的分子的最大公約數；

即為所求．4．數、公約數最大公約數的關系約數是對一個數說的；公約數是最大公約數的約數，最大公約數是公約數的倍數1二、倍數的概念與最小公倍數倍數一個整數能夠被另一整數整除，這個整數就是另一整數的倍數公倍數在個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，那么這些倍就叫做它們的公倍數(3)最小公倍數：公倍數中最小的個稱為這些正整數的最小公倍數。1.求最小公倍數的方法①分解質因數的方法；例如：，252

所以

；②短除法求最小公倍數；例如：39

，所以；③[a]

a(b)

．2.最小公倍數的性質兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數．兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積．兩個數具有倍數關系，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較大的數．3.求一組分數的最小公倍數方法步驟先將各個分數化為假分數出個分數分子的最小公倍數求出各個分數分母的最大公約數；即3為所求．例如：[,]4124注意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最小公倍數可以是整例如：34．數、公倍數、最小公倍數的關系倍數是對一個數說的；最小公倍數是公倍數的約數，公倍數是最小公倍數的倍數三、最大公約數與最小公倍數的常用性質．兩個自數別以們的大約，得商質

4如果為、B的大公約數，且ma，，么、b互質，所以B的小公倍數為mab，所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關系：①Amamab，兩個數的最大公數與最小公倍數之積等于這兩個數的積；②最大公約數是A、BA及小公倍數的約數．．兩個數最公和小公的積于兩數乘。即(ab),]，性質比較簡單，學生比較容易掌握。．對于任3連續的然，果個續的偶為)奇奇那這個的積于三數最公數例如：5210，就的小公倍數b)偶偶那這個的積于三數小公數倍22322323例如：6336，而的小公倍數為336168性（不是一個常見考點是也比較有助于學生理解最小公倍數與數字乘積之間的大小關系幾個數最小公倍數一定不會比他們的乘積”。四、求約數個數與所有約數的和1．任一整數約數的個數一個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數后，將每個質因數的指(次數加1后所得的乘積。如1400嚴分解質因數之后為

，所以它的約數(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個。包括1本身約數個數的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在篇講過的數字唯分解定理”形式基之上，結合乘法原理推導出來的，不是很復雜，建議給學生推導并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先訴一個數有多少個約數，然后再結合其他幾個條件將原還原構”出來，者構造出可能的最。2．任一整數的所有約數的和一個整數的所有約數的和是在對其嚴格分解質因數后，將它的每個質因數依次從1加這個質因數的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數的所有約數的和。如：210002，以所有約數的和為(1)(1)(17)74880此公式沒有第一個公式常用，推導過程相對復雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規性的記憶即可。例題精模塊一、求最大公約數【1】把張米3分5厘米、1米5厘米紙成樣小正形塊，沒剩，問能裁最的方紙的長多？可成塊【考點】求最大公約數【度2星【型】解答【解析要一張長方形的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，還不能有剩余，這個正方形紙塊的邊應該是長方形的長和寬的公約數．由于題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長是長方形長和寬的最大公約數1米3米厘＝厘，米5厘米＝米，，方形紙塊的面積為10514175平方厘)，正方形紙塊的面積為(平方厘米)，共可裁成正方形紙塊14175225()．【答案】邊長，裁成63塊【固一個房長450厘，330厘米現劃方磚地問要邊最為少米方多塊(整塊)，能好房地鋪？【考點】求最大公約數【度2星【型】解答【解析要方磚正好鋪滿地面，房間的長和寬都應是方磚邊長的倍數，也就是方磚邊長厘米數須是房間長、寬厘米數的公約數．由于題中要求方磚邊長盡可能大，所以方磚邊長應為房間長與寬的最大約數．450和330的大公約數是30450，，需15()【答案】邊長，需要塊【2】將個和分是厘米423厘米長形割成干正方，正形少（）。（A）（B）（）（D）6【考點】求最大公約數【度2星【型】選擇【關鍵詞】華杯賽，初賽，第3題3【解析】本題是求1與423的大公約數，因為題目沒有強調是相同正方形，所以應該用轉相處法，求商，因為141，所以先切成423的共有剩下方形41423的，以應該還可以切成個所以一共有43=7個選擇B【答案】B【3】如，公有段，＝米，＝米，這段上安路，求A、、C三各一路，鄰個燈的離相，在兩路至少安路___.【考點】求最大公約數

【難度2星【型】填空【關鍵詞】華杯賽，六年級，初賽，第7題【解析】與的最大公約數為25，所以取米兩燈間距＝25×7，＝AB段按＋1＝8盞，BC段按5＋1＝6盞燈，但在B不需重復按燈，故共需安裝＋6＝（盞）【答案】13盞【4】把個梨25個果均給朋分后剩個而蘋還個，一共多多個小友【考點】求最大公約數【度3星【型】解答【解析此相當于梨的總數是人數的整數倍還多2個果數是人數的整數倍還缺2個所以掉2個，補充個果后，18個和27個果就都是人數的整數倍了，即人數是和的公約數，要求最多的人數，即是18和27的大公約數9了．【答案】9【5】有個蘋，個桔，個梨用些果多以成少同的物在份禮中三水各少【考點】求最大公約數【度3星【型】解答【解析此本質上也是要求出這三種水果的最大公約數42,即以分份每中有蘋果8個桔子6個梨．【答案】42份，每份中有蘋果8個桔子個、梨5個【固教師節天某工買個果、個子、個鴨，來問休的職，用些品最可分多份樣禮物(同樣禮指是份物蘋、子、梨個彼此等)？每禮中蘋、子鴨各少？【考點】求最大公約數【度3星【型】解答【解析因，，，所以最多可分份，每份中有蘋果6個子5鴨.【答案】可分份，每份中個果6桔子鴨梨模塊二、約數【6】004的約中比100大比小的數。【考點】約數【難度】【型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第題，5分【解析】2004=3×4×167，以結果為【答案】【7】過了小兔儲了只胡卜小兔儲了120棵大菜為冬里胡卜，小兔十棵白換小兔一胡卜這他儲的糧數相，一大菜可換__________胡卜。【考點】約數【難度】【型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，一試，第13題4【解析】方法：若使他們存儲食的數量相等，需要將小白兔的胡蘿卜給小灰兔（但是本題需要去換，即若干次換完后要多個蘿卜即可，若想用十幾顆大白菜換，而30面只有5這個約數是十幾以需要換次，每換后要多3015=2只1白菜換了2只胡蘿卜方法二：設白菜換x胡蘿卜，灰兔用棵菜換胡蘿卜，則120a，∴a，，x，即1棵白菜換了胡蘿卜【答案】只【8】一自數它最的數次大約的是，這個然是【考點】約數【難度】【型】填空【關鍵詞】華杯賽，六年級，決賽，第題【解析】因為是奇數，而奇數＝奇數＋偶數，所以所求數的最大約數與次大約數必為一奇一偶。而一數的最大約數是其自身，而一個數如有偶約數此數必為偶數，而一個偶數的次大約數應為這個偶的

，設這個次大約數為a，則最大約數為aa＝，求得a，2＝74即所求數為。【答案】【9】一兩數個數且個最的3個約之為10，那此為？【考點】約數【難度】【型】解答【解析最的三個約數中必然包括約數1除去1以另外兩個約數之和為9，由于是奇數，所以這兩個約數的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個是偶數，如果一個數包含偶約數，那么它一定是2的倍數，即是它的約數。于是2是這個數第二小的約數，第三小的約數是，所以這個兩位數是的倍數，由于這個兩位數約數中不含、45、，所以這個數只是或98其中有6約數的是98【答案】98【】如果寫12所約，和12除，會發最的數最約的3倍現一個數，除掉的數1和外剩的數中最約是小數1倍那滿條件整有些【考點】約數【難度】【型】解答【解析設數n除掉約數和外約為a最約數為aaa3都約數a是的掉約數1外最小約數a時60；當時135所以滿足條件的整數有60和135．【答案】n60和135模塊三、公約數與最大公約數綜合【】馬鵬李計甲乙兩兩數乘，鵬甲的位字錯，乘積4；虎甲數十數看了得積407，那甲乙數乘應【考點】公約數與最大公約數綜合【度3星【型】填空【解析乙是473與的公約數.與407的大公約數是11是數它的位數約數只有11所以乙數是又，407所甲數是甲兩數的乘積應為47.【答案】甲、乙兩數的乘積應為：517【】用、、、這個碼成個位和，么、540這個的最公數最可是___________．【考點】公約數與最大公約數綜合【度3星【型】填空【解析540，A、、這三個數的最大公約數是540的數，而的數從大到小排列次為：540、270180、、108、90…由于和B不能被10整，所以540、270、180都是A和B約數．由于和不同時被整除，所以135不是和的約數540約數除去這些數后最大的為，考慮108的三位數倍數，有108、432648756864、5972，其中由、3、4、、6、六個數碼組成的有、432和，易知當A和B一個為756、另一個為或432時A、B、540這個數的最大公約數為，所以、、540這個數的最大公約數最大可能是．【答案】108【】現有個然，們的是1111，這的個然的約中，大可是少【考點】公約數與最大公約數綜合【度3星【型】解答【解析只道三個自然數的和道三個自然數具體是幾無求最大公約數從唯一的條它們的和是1111入分析數的和是1111的約數一定是的約數，它的約數只能是1，101和，由于三個然數的和是，所以三個自然數都小于1111不可能是三個自然數的公約數，而101是能的，比如取三個數為101．所以所求數是101【答案】101【】個非零同然的是，它的大約的大是少【考點】公約數與最大公約數綜合【度3星【型】解答【解析設M為這個零不同自然數的最大公約數，那么這10個不同的自然數分別可以表示為：Ma,Ma,...,Ma，其中aaa)2那么根據題意有：(1001210因為個不同非零自然數的和最小為，所以M最可以為13【答案】13【固100個非自數和于，么們最公數大能是（。【考點】公約數與最大公約數綜合【度3星【型】填空【關鍵詞】華杯賽，決賽，第8題分【解析】2006=2×17×59，在要求最大公約數最，則讓整個一百個數的和除以約數后的商盡可能的小，且還應該為的個約數100個非0自然數的和最小且符合是2006的個約數的為2×。所以，最大公約數的最大可能值為。【答案】17【】三個兩同正數，為126，則們兩大約之的大為．【考點】公約數與最大公約數綜合【度5星【型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，決賽題【解析】假設三個數分別為a，b，，，則，要求的是大值．由于和b最大公約數據轉相除法求最大公約數的過程以知道和a的大公約數，而一個數的約數不可能比這個數大，所以同理可得，由到7；由7由到7三式相加可得7a4故．也就是說要使等號成立，必須使五個不等式

，等號都成立，即bac，即:b:2:4時號成立．在本題中就是a，分為18，36時它們兩兩最大公約數之6和取得最大值72小結：本題的結論14容易猜到，但證明起來較困難．另外可能會有人猜a:b:2:3時到最大值，這是錯誤的．【答案】【】用9這個碼以成362880沒重數的位數求些的大約．【考點】公約數與最大公約數綜