行星的軌道數學實驗和位置上海交通大學

數學實驗行星的軌道 和位置樂經良

他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運動和圖象,慧星的軌道和大海的潮汐. ─Newton墓志銘樂經良

哥白尼(波蘭，1473-1543)日心說

地球－我們的家園 46億歲,赤道半徑6378.14公里，比極半徑長21公里

金星－看起來最亮的行星半徑約為6073公里,表面溫度高達465至485度,自轉方向與其它行星相反

背景介紹16世紀前，人們認為太陽只有6大行星托勒密（古希臘）地心說樂經良

水星－距太陽最近的行星半徑為2440公里,較小，難以觀察

火星－離地球最近、人們最關注的行星：火星上有無生命？

土星－最美麗的行星衛(wèi)星數目最多,23顆.光環(huán)由無數塊冰狀物組成的

木星－行星中的巨無霸赤道半徑約為71400公里，是地球的11.2倍樂經良

行星運行三大規(guī)律

開普勒(1571－1630)(觀察分析數據) 在第谷·布拉赫(1546-1601)的基礎上提出1.行星運行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓;2.從太陽指向某一行星的線段在單位時間內 掃過的面積相同;3.行星運行周期的平方與其運行軌道橢圓長軸 的立方之比值是不隨行星而改變的常數.樂經良(Adams1845,Leverrier1846)

萬有引力定律

“自然哲學的數學原理”(1687牛頓)天王星－樂師(Herschel)發(fā)現的行星(1781)海王星－筆尖上的行星冥王星－離太陽最遠、未知數最多的行星 2006年8月24日國際天文學聯合大會決定： 冥王星降級為“矮行星”(大行星的定義) 太陽只有八大行星！樂經良

二實驗目的

本實驗主要涉及常微分方程。通過實驗復習：微分方程的建模和解法，數值積分的計算。另外，還將介紹：建立數學模型時復坐標系的選取，基于壓縮映像的求根方法，微分方程的Runge-Kutta法樂經良

三實際問題

地球距太陽最遠處(遠日點)距離為 1.521×1011m,此時地球繞太陽運動(公轉)的速度為2.929×104m/s,試求: 1)地球距太陽的最近距離 2)地球繞太陽運轉的周期 3)在從遠日點開始的第100天結束時, 地球的位置與速度樂經良加速度

數學模型

在運動學中常采用復坐標系 設太陽中心所在位置為復平面之原點,在時刻t, 行星位于以下復數代表的點

速度為

四數學模型根據Newton第二定律比較虛實部導出微分方程組四數學模型問題（5.4）~（5.9）就是行星繞太陽運行的軌跡的數學模型。四數學模型四數學模型于是我們得到了行星運動的形式較為簡單的數學模型：四數學模型rdC1tp樂經良

I行星的軌跡請嘗試推導出行星的軌道方程？

p1ecosr2(p,e是常數,根據相關已知數據導出) 改寫前面積分表達式成為210dT1C1 2

1(1-ecos)給出時間T1，要求位置即求出θ1與r，較難！五解析方法五解析方法II行星的周期五解析方法III行星的位置五解析方法hnthtrjsdv0.05331.65001.49401.99592.98190.011681.68001.49331.99792.98340.0053371.685001.49321.99822.98360.00116861.686001.49311.99832.9837

六數值方法

六數值方法

六數值方法

六數值方法

六數值方法

五數值方法

六數值方法樂經良艾薩克?煉金術士造幣廠總監(jiān)較之科學他更多致力于《圣經》的研究

牛頓SirIsaacNewton(英格蘭1643－1727年)

科學史上最有影響力的人 物理學家數學家天文學家 哲學家

專心于科學研究到癡情樂經良性格內向獨身一生牛頓的一句名言

WhatDescartesdidwasagoodstepyouhave addedmuchseveralways&especiallyintaking thecoloursofthethinplatesintophilosophcal consideration IfIhaveseenfurtheritisbystandingonyeshouldersofGiants.hh樂經良III微分方程的Runge-kutte方法以一元為例dx dtf(t,x),xt0x0設步長為h,則tkkh,記xkx(tk)

xk1x(tkh)（Taylor展開）

33!

22!x(tk)x(tk)x(tk)hx(tk)其中x(tk)f(tk,xk)x(tk)ft(tk,xk)fx(tk,xk)x(tk)

ft(tk,xk)fx(tk,xk)f(tk,xk)可以求出各階導數xkh(K1樂經良

計算高階導數代之以f在一些點的值的組合當Taylor展開到四階項，可取16262616K4)K2K3xk1其中K1f(tk,xk)K2f(tkh/2,xkhK1/2)K3f(tkh/2,xkhK2/2)K4f(tkh,xkhK3)Runge-Kutte迭代格式

在Matlab可 以直接調用樂經良

使用Matlab

先定義一階微分方程組函數組functiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;樂經良

再調用Runge‐kutte方法專用程序：functionT=m5_2(h)[t,y]=ode45(@m5_2_fun,[0:h:400*24*3600],[0,1.521e11,0]);n=max(find(y(:,3)<2*pi));%查找小于 2pi所對應的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2))樂經良

軌道圖形將計算所得的數據，利用Matlab作圖可得樂經良

實驗任務任務2.水星距太陽最遠處距離為0.6982×1011m, 此時水星繞太陽運行的線速度為3.886×104m/s,畫出水星繞太陽運行的軌道曲線,試求: 1)水星繞太陽運行的周期 2)水星到太陽的最近距離 3)求從遠日點開始的第50天(地球天) 結束時水星的位置樂經良任務4.冥王星在1989年10月處于近日點距 太陽44.4×1011m,此時其線速度為0.6122×104m