第十三章實數教材分析北大附中李廣麗內容提要一、本章的地位和作用二、本章課時安排三、本章內容和課程學習目標四、幾個值得關注的問題五、具體教學建議六、好題推薦一、本章的地位和作用從《數學課程標準》看，關于數的內容，第三學段主要學習有理數和實數，它們是“數與代數”領域的重要內容。對于有理數和實數，本套教材安排3章內容，分別是7年級上冊第1章“有理數”，8年級上冊第13章“實數”和9年級上冊第21章“二次根式”。本章是在有理數的基礎上認識實數，對于實數的學習，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運算，進一步認識實數的運算。本章的主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的有關概念和運算．通過本章的學習，學生對數的認識就由有理數的范圍擴大到實數范圍，本章之前的數學內容都是在有理數范圍內討論的，學習本章之后，將在實數范圍內研究問題．雖然本章的內容不多，篇幅不大，但在中學數學中占有重要的地位，本章內容不僅是后面學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎，也為學習高中數學中不等式、函數以及解析幾何等的大部分知識作好準備二、本章課時安排

本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：

10．1平方根

3(4)課時

10．2

立方根

2(1)課時

10．3實數2課時

數學活動與

小結

1課時三、本章內容和課程學習目標（一）本章主要內容包括算術平方根、平方根、立方根以及實數的有關概念和運算．（二）本章知識結構框圖

1．本章知識的內在結構如下圖所示：2．本章知識的展開順序如下圖所示：

（二）本章重點、難點重點:算術平方根和平方根的概念和求法難點:平方根和實數的概念．（三）內容與學習目標

1．了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根；2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根；3．了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；了解數的范圍由有理數擴大到實數后，一些概念、運算等的一致性及其發展變化；4．能用有理數估計一個無理數的大致范圍．四、幾個值得關注的問題（一）把握教學要求本冊書對于某些內容采用提前滲透、逐步提高的編寫方式．例如，對于平面直角坐標系，在第6章“平面直角坐標系”中研究了點與有序數對的對應關系，其中點的坐標都是整數，在本章將把點的坐標由整數的情形擴展到實數范圍，并建立點與有序實數對的一一對應關系，為后續學習函數的圖象、函數與方程和不等式的關系等打下基礎．對于平移變換，教課書在第5章“相交線與平行線”中安排了一節“平移”，探討得出“平移前后的兩個圖形的對應點的連線平行且相等”等平移變換的基本性質，又在第6章“平面直角坐標系”中安排了用坐標方法研究平移的內容，從坐標的角度進一步認識平移變換，這時平移中遇到的坐標都是整數的情況．在本章，由于建立了點與有序實數對的一一對應關系，本章又在實數范圍內研究平移的內容，為后續學習利用平移變換探索幾何性質以及綜合運用幾種變換（平移、旋轉、軸對稱、相似等）進行圖案設計等打下基礎．

本章還通過一個例題學習了實數的簡單運算，安排這個例題的目的是要說明有理數的運算法則和運算性質等在實數范圍內仍然成立，關于實數的運算在后面的“二次根式”一章中還要繼續研究．

85頁另外，本章也提前滲透了一些數學思想和方法．比如，本章的數學活動1，涉及到勾股定理的內容，讓學生利用勾股定理，在數軸上畫出表示幾個無理數的點．這里只是結合無理數滲透了勾股定理，關于勾股定理以后還要進行專門的研究．綜上所述，本章教學時要注意把握教學要求，以一種發展的、動態的觀點看待教學要求，不能要求一次到位．

（二）發揮計算器的作用，加強估算能力的培養使用計算器進行復雜運算，可以使學習的重點更好地集中到理解數學的本質上來，估算是一種具有實際應用價值的運算能力．提倡使用計算器進行復雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養學生的運算能力，是本章的一個教學要求．76頁12題任意找一個正數，比如1234，利用計算器對它進行開平（立）方，在對得到的平（立）方根進行開（立）方…如此進行下去，你有什么發現？81頁10題五、具體教學建議

13.1平方根（一）讓學生體會和理解算術平方根的意義

32=？

（？正數）2=9正方形的面積19164/25邊長（二）算術平方根的符號表示1.求算術平方根表示形式：（1）9的算術平方根（2）若x2=9(x>0),求x

（3）2符號的意義：①提供了一種方便表示算術平方根的方法；因為2不是完全平方數，所以它的算術平方根只能用根的符號即來表示②同時也表示一種運算，即對非負數進行算術平方根運算.

3.平方根符號的演變形成公元2世紀,羅馬數學家尼普薩斯用拉丁語Latus(意思為正方形的邊)記平方根,后來L成為歐洲一個常用的平方根符號；16世紀德國數學家魯多爾夫和比利時的數學家斯蒂文使用√表示平方根，1637年笛卡爾使用√作為平方根的符號；1647年英國數學家奧特雷德用√r表示平方根。1721年哈頓用3√表示立方根，4√表示4次方根。1732年盧貝爾用表示25的3次方根。后來各次方根都采用了這種形式，一直沿用至今。（三）非負性

的兩個非負：（1）被開方數（2）例1.中的x取值范圍為例2.已知求a,b

的值例3.已知求x+y值例4.已知求a的取值范圍例5.求的最小值（四）有關本節“探究”的處理和建議問題：怎樣用兩個面積為1的正方形拼成一個面積為2的大正方形？拼法教材給出的方法：可根據情況介紹其它拼法：等于多少?教材給出了兩種求的方法，一種是估算，一種是使用計算器。估算是一種具有實際應用價值的方法，提倡使用計算器進行復雜運算，加強估算，綜合運用筆算、估算和計算器等培養學生的運算能力，是本章的一個教學要求.建議教學中老師應帶領學生經歷估算的過程，使學生了解用夾逼法估算無理數的方法，感受是無限不循環小數這個事實；有些學生可能已經知道,不妨讓學生估算常用的幾個無理數的近似值建議讓學生記?。?/p>

有關71例3的幾點建議和想法1.需向學生解釋的意義；2.給出了一種常見的用有理數估算無理數的方法（用與被開方數最接近的完全平方數來估算它的算術平方根，即當含有根式的數比較大小時，可先比較它們的平方數），應使學生掌握，并感受估算能力是生活中需要的一種能力。3.歸納比大小常用的方法：近似估值法，比平方（立方），作差等例：比較大小4.例3的延伸與開拓小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2，不知能否裁出來？若把此問題中的條件“沿著邊的方向裁出”改為“要剪拼出一塊面積并且使剪裁的塊數盡量少”，問是否可裁出？

方法一②③①①④②④③方法二①①②②方法三①①②②(五)平方根的教學1.本套教材是在算術平方根的基礎上展開了對平方根的討論和學習，介紹了利用乘方和開方互為逆運算來求平方根的方法。并用73頁的圖13.1-2直觀地描述了乘方與開方互為逆運算的關系，揭示了開平方運算的本質。2.讓學生從宏觀上把握開方，理解開方是乘方的逆運算

a2=N(±3)2=？（?）2=9（2）聯系加減、乘除、乘方與開方互為逆運算，使學生在六種運算的整體中認識開方運算；（3）給出具體的例子正確區分的含義；是省略+的寫法需加強此方面的訓練和理解，

76頁11題的處理建議76頁11題的處理建議

1.此題設置的目的是讓學生通過一些具體的例子了解二次根式的兩個行性質；2.教學要求了解，有所感受為以后學習做準備。老師可根據情況來把握要求。

具體數的計算應該掌握。例如

(六)總結算術平方根、平方根的表現形式

1.平方根：（1）9的平方根（2）（3）若，求2.算術平方根：（1）9的算術平方根（2）（3）若求例：解方程：(七)常用完全平方數：

常用完全平方數：13.2立方根(一)對于立方根，教材采用了類似平方根的方法討論。首先也是從典型的實際問題（已知立方體的體積求邊長）出發，引出立方根的概念，介紹了利用乘方與開方互為逆運算求立方根的方法，探討了立方根的特征，最后學習使用計算器求立方根。(二)在立方根的教學中，可對比平方根進行，分析它們的區別與聯系，加強新舊知識的聯系，既鞏固復習了平方根的知識，又利于立方根知識的理解與掌握。1.提出問題:為什么開立方時是一對一，而開平方時一對二？2.推廣與延伸平方根是偶次方根的典型代表，立方根是奇次方根的典型代表；偶次方根、奇次方根具有與它們類似的性質與特征例：(1)16的4次方根是（）（2）-32的5次方根是（）(三)需注意的幾個問題1.讓學生熟悉常用的立方數2.理解立方根的三種的表現形式

8的立方根；；若，求

會利用立方根定義解相關方程，比如3.81頁第9題通過具體的計算讓學生體會和發現立方根的兩個性質讓學生掌握并會運用來進行具體數的計算。(四)歸納平方根與立方根的區別與聯系1.平方根與立方根的特征（1）一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數；負數沒有平方根；0只有一個平方根，它是0本身（2）一個正數有一個正立方根；一個負數有一個負的立方根；

0的立方根是0本身；2.3.平方根與立方根的性質

4.一般地，求一個數的平方根、立方根都有兩種方法（1）根據開方與乘方互為逆運算

（2）用計算器求13.3實數(一)本節內容簡介本節采用與有理數對照的方法引入了無理數的概念，并給出了實數的概念與分類。接著通過探究在數軸上畫出表示和的點，說明了無理數也可以用數軸上的點來表示，并指出數軸上的點與實數是一一對應的，平面上的點與有序實數對是一一對應的。接下來結合具體的例子說明隨著無理數的引入，數域擴展到實數后，在有理數范圍內成立的一些概念和運算在實數范圍內仍然成立。(二)實數的概念與分類1.無限不循環小數又叫無理數；有限小數或無限不循環小數是有理數。2.分數與小數的互化

所有的分數都可化為有限小數或無限循環小數。3.初中階段常見的無理數（1）開方開不盡的數（2）含的式子（3）本身就寫成了無限不循環小數的（4）三角函數(三)為使學生更好地理解無理數和有理數的概念，可簡要向學生介紹它們的由來。

有理數rationalnumber（可寫成兩個整數比的數）無理數irrationalnumber（不能可寫成兩個整數比的數）徐光啟在譯成中文時，因為中文中沒有現成的、可對照的詞，理是比的意思。教參拓展資源中有介紹。(四)無理數在數軸上的表示在83頁的探究活動中用滾動圓和畫正方形的方法介紹了在數軸上畫出的點的方法。建議老師把教材89頁的數學活動提到此節后講。數學活動1介紹了利用勾股定理在數軸上作出一些表示無理數的點。勾股定理以后還要專門研究，本節課只需讓學生知道勾股定理的結論并會運用作出斜邊為等的直角三角形即可。(五)實數有關概念和運算（1）引入無理數后當數從有理數的范圍擴充到實數范圍后，相反數、絕對值的意義同樣適用，有理數的運算律和運算性質仍然成立；使得原有的規律在更大的范圍繼續成立這是數學推廣的一個特征（2）涉及無理數的計算，可以通過取近似值轉化為有理數的計算。例如（精確到0.01）在教學中老師需指出并強調：在計算過程中取的近似值要比結果的要求要多取一位小數。比如此題結果要求精確到百分位，在計算過程中就要取到千分位。六、好題推薦

1.在

中，其中：整數有

；分數有

；正有理數有

；無理數有

;

負實數有

.2.如圖所示，B,C到A的距離相等，A,B在數軸上表示的數分別為1，，設C點表示的數為x，求的值

CABx1

∵CA=CB∴-1=1-xx=2-3.閱讀下面的文字，解答問題.

大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分.

請解答：已知，其中是整數，且，求的相反數和絕對值.

4.已知103823