第3章MATLAB在高等數學中的應用3.1矩陣分析3.2多項式運算3.3數據的分析與統計3.4函數分析與數值積分

3.1矩陣分析

1．矢量范數和矩陣范數

矩陣范數是對矩陣的一種測度。矢量的p范數和矩陣A的p范數分別定為：當p＝2時為常用的歐拉范數，一般p還可取l和∞。這在MATLAB中可利用norm函數實現，p缺省時為p=2。格式：n＝norm(A)功能：計算矩陣A的最大奇異值，相當于n=max(svd(A))。格式：n＝norm(A，p)功能：norm函數可計算幾種不同類型的矩陣范數，根據p的不同可得到不同的范數

2．矩陣求逆及行列式值

⑴矩陣求逆函數inv及行列式值函數det逆矩陣的定義：對于任意階n×n

方陣A，如果能找到一個同階的方陣V，使得滿足：A*V=I。其中I為n階的單位矩陣eye(n)。則V就是A的逆矩陣。數學符號表示為：V=A-1。逆矩陣V存在的條件是A的行列式不等于0。格式：V=inv(A)功能：返回方陣A的逆矩陣V。格式：X=det(A)功能：計算方陣A的行列式值。

⑵偽逆矩陣函數pinv偽逆矩陣的MATLAB定義：從數學意義上講，當矩陣A為非方陣時，其矩陣的逆是不存在的。在MATLAB中，為了求線性方程組的需要，把inv(A′*A)*A′的運算定義為偽逆函數pinv，這樣對非方陣，利用偽逆函數pinv可以求得矩陣的偽逆，偽逆在一定程度上代表著矩陣的逆。格式：C=pinv(A)功能：計算非方陣A的偽逆矩陣。3．線性代數方程求解

寫成矩陣形式可表示為：AX＝B或

XA＝B。其中系數矩陣A的階數為m×n。在MATLAB中，引入矩陣除法求解。

(1)求解方程AX=B

格式：X=A\B

條件：矩陣A與矩陣B的行數必須相等。

(2)求解方程XA=B

格式：

X=B/A

條件：矩陣A與矩陣B的列數必須相等。一般線性方程組的4．矩陣的分解

(1)三角(LU)分解函數lu

所謂三角解就是將一個方陣表示成兩個基本三角陣的乘積(A=LU），其中一個為下三角矩陣L，另一個為上三角形矩陣U，因而矩陣的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩陣分解的兩個矩陣分別可表示為：

格式一：[L,U]=lu(A)

功能：返回一個上三角矩陣U和一個置換下三角矩陣L(即下三角矩陣與置換矩陣的乘積)，滿足A=L*U。格式二：[L,U,P]=lu(A)功能：返回上三角矩陣U，真正下三角矩陣L，及一個置換矩陣P(用來表示排列規則的矩陣)，滿足L*U=P*A；如果P為單位矩陣，滿足A=L*U。(2)正交(QR)分解函數將矩陣A分解為一個正交矩陣與另一個矩陣的乘積稱為矩陣A的正交分解。格式一：[Q,R]=qr(A)功能：產生與A同維的上三角矩陣R和一個實正交矩陣或復歸一化矩陣Q，滿足：A=Q*R，Q’*Q=I。格式二：[Q,R,E]=qr(A)功能：產生一個置換矩陣E，一個上三角矩陣R(其對角線元素降序排列)和一個歸一化矩陣Q，滿足A*E=Q*R；5．奇異值分解

矩陣A的奇異值和相應的一對奇異矢量u、v滿足：同樣利用奇異值構成對角陣，相應的奇異矢量作為列構成兩個正交矩陣U、V，則有：其中AT表示轉置矩陣。由于U和V正交，因此可得奇異值分解：格式一：[U,S,V]=svd(x)功能：返回3個矩陣，使得X=U*S*V’。其中S為與X相同維數的矩陣，且其對角元素為非負遞減。格式二：S=svd(A)功能：返回奇異值組成的向量。6．矩陣的特征值分析

矩陣A的特征值和特征矢量，滿足：以特征值構成對角陣，相應的特征矢量作為列構成矩陣V，則有：如果V為非奇異，則上式就變成了特征值分解：格式一：d=eig(A)功能：返回方陣A的全部特征值所構成的向量。格式二：[V,D]=eig(A)功能：返回矩陣V和D。其中對角陣D的對角元素為A的特征值，V的列向量是相應的特征向量，使得A*V=V*D。7．矩陣的冪次運算:A^p在MATLAB中，矩陣的冪次運算是指以下兩種情況：

1、矩陣為底數，指數是標量的運算操作；

2、底數是標量，矩陣為指數的運算操作。兩種情況都要求矩陣是方陣，否則，將顯示出錯信息。(1)矩陣的正整數冪如果A是一個方陣，p是一個正整數，那么冪次表示A自己乘p次。(2)矩陣的負數冪如果A是一個非奇異方陣，p是一個正整數，那么A^(－p)表示inv(A)自己乘p次。

(3)矩陣的分數冪如果A是一個方陣，p取分數，它的結果取決于矩陣的特征值的分布。(4)矩陣的元素冪、按矩陣元素的冪利用運算符“A.^p”實現矩陣的元素冪或按矩陣元素的冪運算。

8．矩陣結構形式的提取與變換

(1)矩陣左右翻轉函數fliplr()格式：X=fliplr(A)(2)矩陣上下翻轉函數flipud格式：X=flipud(A)(3)矩陣階數重組函數reshape格式一：X=reshape(A,n,m)功能：將矩陣A中的所有元素按列的秩序重組成n×m階矩陣X，當A中沒有m×n個元素時會顯示出錯信息。格式二：X=reshape(A,m,n,p,...)或X=reshape(A,[m,n,p,...])功能：從A中形成多維陣列(m×n×p×...)。(4)矩陣整體反時針旋轉函數rot90()格式一：X=rot90(A)功能：將矩陣按反時針旋轉90o。格式二：X=rot90(A,k)功能：將矩陣按反時針旋轉k*90o，其中k應為整數。(5)對角矩陣和矩陣的對角化函數diag()格式一：X=diag(A,k)功能：當A為n元向量時，可得n+abs(k)階的方陣X，其A的元素處于第k條對角線上；k=0表示主對角線，k>0表示在主對角線之上，k<0表示在主對角線之下。當A為矩陣時，X=diag(A,k)得到列向量X，它取自于X的第k個對角線上的元素。格式二：X=diag(A)功能：當A為n元向量時，等同于k=0時的X=diag(A,k)，即產生A的元素處于主對角線的對角方陣。當A為矩陣時，X=diag(A)相當于k=0。(6)取矩陣的左下三角部分函數tril()格式一：X=tril(A,k)功能：得到矩陣A的第k條對角線及其以下的元素；當k=0時表示主對角線，k>0表示主對角線之上，k<0表示主對角線以下。格式二：X=tril(A)功能：得到矩陣A的下三角陣。(7)取矩陣的右上三角部分函數triu()格式一：X=triu(A,k)功能：得到矩陣A的第k條對角線及其以上的元素；當k=0時表示主對角線，k>0表示主對角線之上，k<0表示主對角線以下。格式二：X=triu(A)功能：得到矩陣A的右上三角陣。(8)利用“：”將矩陣元素按列取出排成一列方法：X=A(:)’3.2多項式運算3.2.1多項式表示及其四則運算1．MATLAB的多項式表示對多項式：可表示成行向量：p=[1,0,–2,5]。用其系數的行向量p=[an,an-1,…,a1,a0]來表示。注意：如果

x的某次冪的系數為零，這個零必須列入系數向量中。例如一個一元3次多項式：

2．多項式的加減運算格式：A=B+C3．多項式相乘運算格式：w=conv(u,v)功能：返回u和v兩向量的卷積，也就是u和v代表的兩多項式的乘積。4．多項式相除格式：[q,r]=deconv(u,v)功能：給出商多項式q和余數多項式r，u為被除多項式

1．多項式求導函數polyder格式一：k=polyder(p)功能：返回多項式p的一階導數。格式二：k=polyder(u,v)功能：返回多項式u與v乘積的導數。格式三：[q,d]=polyer(u,v)功能：返回多項式商u/v的導數,返回的格式為：q為分子,d為分母。2．多項式的根求解多項式的根，即p(x)=0的解。格式：r=roots(p)功能：返回多項式p(x)的根。注意，MATLAB按慣例規定，多項式是行向量，根是列向量。3.2.2多項式求導、求根和求值3．多項式求值函數polyval()利用函數polyval可以求得多項式在某一點的值。格式：y=polyval(p,x)功能：返回多項式p在x處的值。其中x可以是復數，也可以是數組。當多項式的變量是矩陣時，構成的矩陣多項式可以利用polyvalm函數求值。格式：Y=polyvalm(p,X)功能：返回矩陣多項式p在X處的值。4．部分分式展開函數residue()格式一：[r,p,k]=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展開成：其中r代表余數數組，p代表極點數組，ks代表部分分式展開的常數項。當分母多項式的階次數高于分子多項式的階次數時ks=0格式二：[b,a]=residue(r,p,k)功能：格式一的逆作用。3.3.3多項式擬合與多項式插值1．多項式擬合函數polyfit()格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的數據向量x和y所確定的數據點，采用最小二乘法構造出n階多項式去逼近已知的離散數據，實現多項式曲線的擬合。其中p是求出的多項式系數，n階多項式應該有n+1個系數，故p的長度為n+1。2．多項式插值插值和擬合的不同點在于：①插值函數通常是分段的，人們關心的不是函數的表達式，而是插值出的數據點；②插值函數應通過給定的數據點。(1)一維插值函數interpl()格式：yi＝interpl(x,y,xi,'method')功能：為給定的數據對(x,y)以及x坐標上的插值范圍向量xi，用指定所使用的插值方法method實現插值。yi是插值后的對應數據點集的y坐標。插值的方法method有以下6種可供選擇：nearest(最鄰近插值法)、linear(線性插值)、

spline(三次樣條插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值)、v5cubic。（2）二維插值函數格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能：非等距插值。已知的元素值由3個向量來描述：x、y和z。函數返回值為一矩陣zi，其元素的值由x、y和z確定的二元函數插值得到。method可為：‘linear’(默認值)、‘cubic’、‘nearest’、‘v4’。格式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'method')功能：單調節點插值。已知的元素值由3個向量來描述：x、y和z。其中，x、y是已知數據組并且大小相同，z是相對應的已知點上的函數值；xi、yi是用于插值的矢量；zi是根據相應的插值方法并且與(xi,yi)對應的插值結果。插值方法method：‘linear’(默認值)、‘cubic’、‘nearest’、’spline’。(3)高維插值和交互式樣條插值·高維插值函數：三維插值及三維以上的插值稱為高維插值。用于實現高維插值的函數有：interp3(三維插值函數)、interpn(n維插值函數)、ndgrid(n維數據網格)。其調用格式與interp2函數很類似，這里就不再重述了，具體調用格式讀者可利用help來得。·交互式樣條插值函數在MATLAB6.0及以上版本中，樣條工具箱新增加了交互式插值樣條函數splinetool。該函數以對話框的形式為用戶提供了插值過程。格式一：splinetool功能：用于生成各種樣條曲線，這里幾乎包括所有生成樣條曲線方法。在它的初始菜單中提供了各種數據，用戶可以選擇一種生成的樣條曲線。格式二：splinetool(x,y)功能：用戶輸入數組x、y，并在用戶圖形界面下生成樣條曲線。

3.3數據分析與統計3.3.1數據基本操作1．求最大值函數max格式一：xM＝max(x)功能：如果x是向量，返回x中最大值元素；如果x是矩陣，則將矩陣每列作為處理向量，返回一個行向量，其元素為矩陣每列中的最大元素；如果x為多維數組，則沿第一個非單元素維進行處理，求得各向量的最大值。格式二：xM=max(x,y)功能：返回一個與x和y一樣大小的數組，其元素取x或y中最大的一個。格式三：xM=max(x，[]，dim)功能：返回數組(矩陣)x由標量dim所指定的維數(或行)中的最大值。格式四：[xM，I]＝max(…)功能：返回最大值同時，返回一個下標向量。如果輸入數據x為復數，max函數返回復數最大模：max(abs(x))。2．求最小值函數min

min函數的調用格式與max函數的調用格式相同，只是功能與max函數相反，所得結果為最小值。如果輸入數據x為復數，min函數返回復數最小模：min(abs(x))3．求平均值函數mean格式：M＝mean(x)功能：如果x為向量，則返回向量x的平均值；如果x為矩陣，則將矩陣每列當作向量處理，返回一個平均值行向量；如果A為多維數組，則沿第一個非單元素維進行處理，返回一個平均值數組。4.求中間值函數median

格式：M=median(x)功能：如果x為向量，則返回向量x的中間值；如果x為矩陣，則將矩陣每列當作為處理向量，返回一個中間值行向量；如果A為多維數組，則沿第一個非單元素維進行處理，返回一個中間值數組。5．求元素和函數sum格式：s=sum(x)功能：如果x為向量，則返回向量x的元素和；如果x為矩陣，則將矩陣每列當作向量處理，返回一個元素分別為各列和的行向量；如果A為多維數組，則沿第一個非單元素維進行計算，返回一個元素和數組。6．求標準偏差函數std與方差函數var對于向量有兩種標準差定義方法：其中

為樣本的元素個數。格式一：s=std(x)功能：x為向量，則返回用s1計算的標準偏差s。如果x是服從正態分布的隨機樣本，則s2為其方差的最佳無偏估計；如果x為矩陣，則返回矩陣每列標準差的行向量；如果x為多維數組，則沿x第一個非單元素維計算元素的標準偏差。格式二：s=std(x,

flag)功能：如果flag=0，與s=std(x)一樣；如果flag=1，則返回用s2計算的標準差。7．排序函數sort格式一：A=sort(x)功能：沿數組的不同維，以升序排列元素。元素可以為實數、復數和字符串。如果x是一個復數，其元素按其模的大小進行排列，如果模相等，則按其在區間[-pi,pi]上的相角進行排序。格式二：[A,index]=sort(x)功能：同時返回一個下標數組index。8．元素乘積函數prod格式一：A=prod(x)功能：如果x為向量，則計算其所有元素的乘積；如果x為矩陣，則每列作為向量處理，回一個每列元素積的行向量；如果x為多維數組，則沿第一個非單元素維進行處理，返回元素積數組。格式二：A=prod(x,dim)

功能：沿dim指定維，返回元素積。9．列元素累乘積函數cumprod()格式一：A=cumprod(x)功能：沿數組不同維，返回累乘積，返回值A與x大小一樣，與元素全乘積不同，它只將x中相應元素與其之前的所有元素相乘。當x是向量，返回x的元素累計積向量；如果x為矩陣，返回一個與x大小相同的每列累乘積的矩陣；如果x為多維數組則沿第一個非單元素維計算累乘積。格式二：A=cumprod(x,dim)功能：返回沿dim指足的維的元素的累乘積。10．累計和cumsum函數格式一：A=cumsum(x)功能：沿數組不同維，返回累乘和。當x是向量，返回x的元素累計和；如果x為短陣，返回一個與x大小相同按列累計和的矩陣；如果x為多維數組則沿第一個非單元素維計算累計和。格式二：A=cumsum(x,dim)功能：沿dim指定的維計算元素的累計和。3.3.2協方差與相關系數1．求協方差函數cov()協方差函數定義為：其中E表示數學期望；

格式一：C=cov(x)功能：如果x為向量，則返回向量元素的方差；如果x為矩陣，每列產生一個方差向量，cov(x)是一個協方差矩陣，diag(cov(x))為每列的方差向量，sqrt(diag(cov(x)))是一個標準差向量。格式二：C=cov(x,y)功能：返回x、y的協方差。x、y為長度相同的列向量。也可用C=cov([x,y])。格式二：S=corrcoef(x,y)功能：返回列向量x和y的相關系數，也可用S=corrcoef([xy])。2．求相關系數函數corrcoef()格式一：S=corrcoef(x)功能：根據輸入矩陣x，返回一個相關系數矩陣，相關系數S的矩陣與協方差矩陣C=cov(x)有關，由下式確定：3.3.3有限差分1．求元素之差函數diff()格式一：A=diff(x)功能：計算x中相鄰元素之間的差值或近似導數。如果x為向量，則返回一個比x少一個元素的向量，其元素值為[x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，…，x(n)-x(n-1)]；如果x為矩陣，則返回一個列間差值的矩陣：[x(2:n,:)-x(1:n-1,:)]。格式二：A=diff(x,

n)功能：使用diff函數遞歸

n次，計算第n階差值。例如，diff(x,2)=diff(diff(x))。格式三：A=diff(x,n,dim)功能：沿dim指定的維數計算第n階差值。如果n大于或等于dim維的長度，則返回空數組。2．求數值梯度函數gradient()

兩變量函數F(x,y)的梯度定義為

對N個變量函數

F(x,y,z,…)其梯度為

梯度可看作指向F增加方向的向量集。

格式一：Fx=gradient(F)功能：F為一向量，返回F的一維數值梯度，Fx與

一致，表示x方向的差分。

格式二：[Fx,

Fy]=gradient(F)功能：F為一矩陣，返回二維數值梯度的x和y分量。Fx與

表示x(列)方向的差分

Fy與

一致，表示y(行)方向的差分。每個方向點間距離設為1。3.4函數分析與數值積分3.4.1函數在MATLAB中的表示與函數的繪圖1．函數的表示與計算2．函數的繪制(1)單變量函數繪畫命令fplot

fplot()函數的功能能確保在輸出的圖形中表示出所有的奇異點。格式一：fplot(‘fun’,[xmin,xmax])功能：變量在[xmin,xmax]范圍，繪制指定函數’fun’的圖形。格式二：fplot(‘fun’,[xmin,xmax],tol)功能：在[xmin,xmax]范圍，以給定的精度tol<1，繪制指定函數’fun’的圖形，tol的缺省值為2e-3。(2)簡易的函數繪圖命令ezplot()格式一：ezplot(f,[a,b])功能：當f=f(x)時，繪制函數f=f(x)在a<x<b范圍函數曲線，并且所繪圖上還自動進行標注；當只輸入函數文件名，而沒有規定自變量的范圍，其默認的自變量范圍為當只輸入函數文件名，而沒有規定自變量的范圍，其默認的自變量范圍為、格式二：ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])

功能：在xmin<x<xmax、ymin<y<ymax范圍繪制f(x,y)=0的曲線。格式三：ezplot(x,y,[tmin,tmax])功能：在tmin<t<tmax范圍繪制x=x(t)和y=y(t)的曲線。范圍缺省是變量t的范圍為0<t<2*pi。當f=f(x,y)時，則繪制a<x<b、a<y<b范圍內f(x,y)=0的函數曲線；3.4.2函數的極點、零點分析

1．極值分析函數(1)單變量函數求極小值函數fminbnd()格式：x=fminbnd(‘fun’,x1,x2)功能：返回函數fun(x)在區間[x1,x2]內的局部極小值。(2)多變量函數求極小值函數fminsearch()fminsearch函數與fminbnd函數類似，但是它面向多變量函數。格式：x=fminsearch(‘fun’,x0)功能：返回x0附近，函數fun的局部極小化向量x。x0可以是標量、向量或矩陣。2．單變量函數的零點分析格式：x=fzero(‘funname’,x0)功能：在x0附近，尋找函數funname的零點。funnamce為一個函數名的字符串，函數為單變量實值函數。Funnamce可以為函數句柄，也可以是inline對象。函數返回值的附近函數變號。如果x為兩元素向量,則認為x0為區間，f(x0(1))的符號與f(x0(2))的符號相反，否則返回NaN。如果找到Inf、NaN，或復數值，則停止在查找區間內的搜索。3.4.3函數的數值積分與微分1．函數的數值積分(1)低階數值積分函數quad格式一：q=quad(‘fun’,a,b)功能：采用自適應的Simpson積分方法，返回函數‘fun’在上限a和下限

b之間的數值積分。當給定一個輸入值向量，‘fun’必須返回一個輸出向量。函數‘fun’可以是函數名、函數句柄或字符串。格式二：q=quad(‘fud’,a,b,tol)功能：按指定絕對誤差tol返回數值積分值,tol

缺省值為1e-6。(2)高階數值積分函數quadl

(3)梯形面積法的積分函數trapz()格式一：T=trapz(Y)功能：以單位間隔，采用計算若干梯形面積的和來計算某函數的近似積分。如果Y為向量，計算Y的積分；如果Y是矩陣，得一個每列積分的行向量；如果Y為多維數組，則沿第一個非單元素維計算。格式二：T=trapz(X,Y)功能：用梯形積分法，依據X計算Y的積分。如果X為矢量，則Y必須是同大小的矢量；如果X是一列向量，并且數組Y第一非單元素維長度為length(X)，則在該維中計算。(4)雙重積分函數dblquadMATLAB提供了一個求雙重積分的函數dblq