選修1-1第三章3.1.1、2一、選擇題1．(2023·山東棗莊高二月考)在物體運(yùn)動(dòng)變化過程中，自變量的改變量Δx的取值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600527)()A．Δx>0 B．Δx<0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案]D[解析]Δx可正也可負(fù)，但是不可以為0，故選D.2．對(duì)于函數(shù)y＝eq\f(1,x)，當(dāng)Δx＝1時(shí)，Δy的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600528)()A．1 B．－1C． D．不能確定[答案]D[解析]函數(shù)值的改變量是指函數(shù)在某一點(diǎn)附近的改變量，因而要求Δy必須指明在哪一點(diǎn)處．3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600529)()A．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx) B．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)[答案]A[解析]B中eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函數(shù)值的變化量的極限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函數(shù)值的變化量；D中eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)表示函數(shù)的平均變化率．4．(2023·山西臨汾高二質(zhì)檢)一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s＝5－3t2，若該質(zhì)點(diǎn)在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600530)()A．－3 B．3C．6 D．－6[答案]D[解析]當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，－3Δt－6趨近于－6，即t＝1時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度是－6.5．已知f(x)＝x2－3x，則f′(0)＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600531)()A．Δx－3 B．(Δx)2－3ΔxC．－3 D．0[答案]C[解析]f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx2－3Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx－3)＝－3.故選C.6．設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600532)()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b[答案]C[解析]∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.二、填空題7．已知函數(shù)y＝x3－2，當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600533)[答案](Δx)2＋6Δx＋12[解析]∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.8．在自由落體運(yùn)動(dòng)中，物體位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系式s＝eq\f(1,2)gt2(g＝9.8m/s2)，試估計(jì)t＝3s時(shí)物體下落的瞬時(shí)速度是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600534)[答案]29.4m/s[解析]從3s到(3＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝(3＋Δt)2－×32＝Δt＋(Δt)2，從而，eq\f(Δs,Δt)＝＋Δt.當(dāng)Δt趨于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)趨于29.4m/s.9．已知函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600535)[答案]8[解析]eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)×2]＝2eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)＝2×三、解答題10．一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600536)[解析]由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－Δt－Δt2,Δt)＝－1－Δt.∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－1－Δt)＝－1.∴物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為－1.一、選擇題1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝2t2＋5，則在時(shí)間(3,3＋Δt)中，相應(yīng)的平均速度等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600537)()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2Δt D．12[答案]C[解析]eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([23＋Δt2＋5]－2×32＋5,Δt)＝12＋2Δt.2．(2023·山東聊城高二月考)做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s和時(shí)間t的關(guān)系是：s＝3t－t2，則它的初速度是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600538)()A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案]B[解析]初速度即為t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝3－Δt2.當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)趨近于3，故它的初速度為3.3．(2023·浙江臺(tái)州檢測(cè))若f(x)在x＝x0處存在導(dǎo)數(shù)，則eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600539)()A．與x0，h都有關(guān) B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān) D．與x0，h都無關(guān)[答案]B[解析]由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)，故選B.4．(2023·安徽淮北高二檢測(cè))設(shè)f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，則a＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600540)()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]∵f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx－13＋a,Δx)＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故選C.二、填空題5．已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是S＝－4t2＋16t(S的單位為m；t的單位為s)，則該物體在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600541)[答案]0m/s[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，∴eq\f(ΔS,Δt)＝eq\f(－4Δt2,Δt)＝－4Δt，∴v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(ΔS,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－4Δt)＝0.∴物體在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/s6．球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600542)[答案]eq\f(28π,3)[解析]∵Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28π,3).三、解答題7．求函數(shù)f(x)＝3x－eq\f(2,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600543)[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－eq\f(2,1＋Δx)－1＝2＋3Δx－eq\f(2,1＋Δx)＝3Δx＋eq\f(2Δx,1＋Δx)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx＋\f(2Δx,1＋Δx),Δx)＝3＋eq\f(2,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3＋eq\f(2,1＋Δx))＝5，∴f′(1)＝5.8．一物體的運(yùn)動(dòng)方程如下：(單位：m，時(shí)間：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3,29＋3t－320≤t<3)).求：(1)物體在t∈[3,5]時(shí)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600544)[解析](1)∵物體在t∈[3,5]時(shí)的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]時(shí)的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]時(shí)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．∵物體在t＝0附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度