2021-2022學年湖北省宜昌市縣三斗坪高級中學高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某人從2008年起，每年1月1日到銀行新存入元(一年定期)，若年利率為保持不變，且每年到期存款自動轉為新的一年定期，到2012年1月1日將所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數為（

）(單位為元)A.

B.

C.

D.參考答案：B2.下列說法錯誤的是

（

）A、“”是“”的必要不充分條件B、命題“若a=0，則ab=0”的否命題是：“若a≠0，則ab≠0”；C、若命題p：x∈R，x2-x+1<0，則p：x∈R，x2-x+1≥0；D、函數的單調增區間是

參考答案：D3.給出下述命題：①若則②若則③若則④若則其中不正確的是（

）A．①②

B。①③

C。③

D。③④參考答案：C解析：由可得若

則若則得4.拋物線的焦點坐標是

（

）A．（,0）

B.(－,0)

C．（0,）

D．（0,－）參考答案：A5.已知函數的圖像在點處的切線方程是，則的值是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知命題p：?x∈N*，2x＞x2，則￢p是（）A．?x∈N*，2x＞x2 B．?x∈N*，2x≤x2 C．?x∈N*，2x≤x2 D．?x∈N*，2x＜x2參考答案：C【考點】命題的否定．【分析】欲寫出命題的否定，必須同時改變兩個地方：①：“?”；②：“＞”即可，據此分析選項可得答案．【解答】解：命題p：?x∈N*，2x＞x2，則￢p是?x∈N*，2x≤x2，故選：C．7.過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，O為坐標原點，則的面積與的面積之比為A. B. C. D.2參考答案：D【分析】設點位于第一象限，點，并設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理得出，由拋物線的定義得出點的坐標，可得出點的縱坐標的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【詳解】設點位于第一象限，點，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.【點睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達定理在直線與拋物線綜合問題中的應用，解題的關鍵在于利用拋物線的定義以及韋達定理求點的坐標，并將三角形的面積比轉化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。8.若圓C:關于直線對稱，則由點向圓所作的切線長的最小值是（

）A.2

B.

3

C.

4

D.6參考答案：C9.已知橢圓的兩個焦點為，，是此橢圓上的一點，且，，則該橢圓的方程是A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.千年潮未落，風起再揚帆，為實現“兩個一百年”奮斗目標、實現中華民族偉大復興的中國夢奠定堅實基礎，某中學積極響應國家號召，不斷加大拔尖人才的培養力度，據不完全統計：年份（屆）2014201520162017學科競賽獲省級一等獎及以上學生人數x51495557被清華、北大等世界名校錄取的學生人數y10396108107根據上表可得回歸方程中的為1.35，我校2018屆同學在學科競賽中獲省級一等獎及以上學生人數為63人，據此模型預報我校今年被清華、北大等世界名校錄取的學生人數為（

）A.111

B.115

C.117

D.123參考答案：C，故，即，將代入上式，求得.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數是定義在

R上的奇函數，且當時，，則的值為______．參考答案：－1由題意可得：12.從1,3,5,7,9中任取3個數字,從2,4,6,8中任取2個,一共可以組成

(用數字作答)多少個沒有重復的五位數字。參考答案：720013.已知，，，則與夾角的度數為

.參考答案：14.若正實數x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值是

▲

．參考答案：8當y=2x取得等號，所以的最小值是8

15.設函數f（x）的導數為f'（x），且f（x）=ex+2x?f'（1），則f'（0）=．參考答案：1﹣2e【考點】導數的運算．【分析】首先求出函數的導數f'（x），然后將x=1代入f'（1），再代入x=0，即可求出結果．【解答】解：f'（x）=ex+2f'（1），則f′（1）=e+2f'（1），則f'（1）=﹣e，則f′（0）=1﹣2e，故答案為：1﹣2e．16.表示為，則=

▲

．參考答案：略17.邊長為4的正四面體中，為的中點，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數）為冪函數，且在第一象限單調遞增．（1）求f（x）的表達式；（2）討論函數g（x）=在（﹣，+∞）上的單調性，并證之．參考答案：【考點】3E：函數單調性的判斷與證明；4U：冪函數的概念、解析式、定義域、值域．【分析】（1）由f（x）為冪函數，且在第一象限單調遞增，列出方程組，能求出f（x）的表達式．（2）推導出g（x）=x++3，利用定義法和分類討論思想能求出結果．【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數）為冪函數，且在第一象限單調遞增．∴由題意得：，解得a=2，∴f（x）=x2．（2）g（x）===x++3，任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）=（x1﹣x2）+（）=，①當﹣＜0時，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（﹣，0）上單調遞減．②當0＜時，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，）上單調遞減．③當時，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在[，+∞）上單調遞增．19.已知函數f（x）=x（x2﹣ax+3）．（Ⅰ）若x=是f（x）的極值點，求f（x）在區間[﹣1，4]上的最大值與最小值；（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．專題：導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）先求出函數f（x）的導數，令f′（x）=0，從而求出函數的單調區間，進而求出函數的最值；（Ⅱ）問題轉化為a≤[（x+）]最小值即可，設g（x）=x+（x≥1），求出函數g（x）的最小值，從而求出a的范圍．解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x3﹣ax2+3x，得：f′（x）=3x2﹣2ax+3，由已知得：f′（）=0，解得：a=5，∴f（x）=x3﹣5x2+3x，f′（x）=3x2﹣10x+3，由f′（x）=0，解得：x=或3，f（x）與f′（x）在[﹣1，4]上的變化情況如下：x﹣1（﹣1，）（，3）3（3，4）4f′（x）

+

﹣

+

f（x）﹣9遞增遞減﹣9遞增﹣4∴函數f（x）在[﹣1，4]上的最小值為﹣9，最大值是；（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣2ax+3，由f（x）在[1，+∞）遞增，得：3x2﹣2ax+3≥0，即；a≤（x+），要使上式成立，只要a≤[（x+）]最小值即可，設g（x）=x+（x≥1），由于g（x）在[1，+∞）是遞增，∴g（x）最小值=2，∴a≤3，即a的取值范圍是（﹣∞，3]．點評：本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，函數恒成立問題，是一道中檔題．20.（本小題14分）已知虛數滿足.（1）求；（2）是否存在實數，是為實數，若存在，求出值；若不存在，說明理由；（3）若在復平面內對應的點在第一、三象限的角平分線上，求復數.參考答案：（1）設，由得：化簡得:,所以.…………4分（2），，又且，解得.……8分(3)由及已知得：，即，代入解得：或，故或.………14分21.（本小題滿分12分）如圖,已知點是橢圓的右頂點,若點在橢圓上,且滿足.(其中為坐標原點)（1）求橢圓的方程;（2）若直線與橢圓交于兩點,當時,求面積的最大值.參考答案：因為點在橢圓上，所以

（2）設，

設直線，由，得：則點到直線的距離

當且僅當所以當時