2023學年吉林省吉林市船營區(qū)毓文中學高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．在等差數(shù)列{an}中，若a2=4，a4=2，則a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．62．命題“?x0∈N，x02+2x0≥3”的否定為（）A．?x0∈N，x02+2x0≤3 B．?x∈N，x2+2x≤3C．?x0∈N，x02+2x0＜3 D．?x∈N，x2+2x＜33．是lgx＞lgy的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知a，b，c∈R，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是（）A．若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，則a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，則a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，則a+b+c=35．已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）A．12 B．11 C．3 D．﹣16．若命題p：＜0，命題q：x2＜2x，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=的取值范圍為（）A．[﹣3，3] B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3]8．下列命題錯誤的是（）A．命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”B．若命題p：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件D．若p∧q為假命題，則p、q均為假命題9．若a＞b，x＞y，下列不等式不正確的是（）A．a(chǎn)+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y10．下列各函數(shù)中，最小值為2的是（）A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）C．y= D．11．若不等式x2+ax+1≥0對一切成立，則a的最小值為（）A．0 B．﹣2 C． D．﹣312．若數(shù)列{an}滿足=0，n∈N*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“夢想數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1b2b3…b99=299，則b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，則的最小值為．14．設z=x+y，其中x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為．15．Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若Sn=3n﹣1，則a12+a22+a32+…+an2=．16．已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），則實數(shù)c的值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知等差數(shù)列{an}滿足a2=2，a5=8．（1）求{an}的通項公式；（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}的前n項和Tn．18．在△ABC中，cos2A=cos2A﹣cosA．（I）求角A的大小；（II）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．19．已知a＞0，a≠1，設p：函數(shù)y=loga（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；q：曲線y=x2+（2a﹣3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．20．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n（n+1），（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（2）數(shù)列{bn}的通項公式bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．21．某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其它費用組成，已知該貨輪每小時的燃料費用與其航行速度的平方成正比（比例系數(shù)為），其它費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．（Ⅰ）請將從甲地到乙地的運輸成本y（元）表示為航行速度x（海里/小時）的函數(shù)；（Ⅱ）要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應以多大的航行速度行駛？22．已知數(shù)列{an}滿足3（n+1）an=nan+1（n∈N*），且a1=3，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）若=，求證：≤++…+＜1．

2023學年吉林省吉林市船營區(qū)毓文中學高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．在等差數(shù)列{an}中，若a2=4，a4=2，則a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】直接利用等差中項求解即可．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，若a2=4，a4=2，則a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故選：B．2．命題“?x0∈N，x02+2x0≥3”的否定為（）A．?x0∈N，x02+2x0≤3 B．?x∈N，x2+2x≤3C．?x0∈N，x02+2x0＜3 D．?x∈N，x2+2x＜3【考點】命題的否定．【分析】直接利用特稱命題的否定是求出命題寫出結(jié)果即可．【解答】解：因為特稱命的否定是全稱命題，所以，命題“?x0∈N，x02+2x0≥3”的否定為：?x∈N，x2+2x＜3．故選：D．3．是lgx＞lgy的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由題設條件，可先研究成立時lgx＞lgy成立的與否，確定充分性，再由lgx＞lgy成立時研究是否成立確定必要性，從而選出正確選項【解答】解：時不能保證lgx＞lgy成立，因為當y=0時，lgy沒有意義lgx＞lgy可得出，因為當lgx＞lgy時，可得出x＞y＞0，由不等式的性質(zhì)可得出由上判斷知，是lgx＞lgy的必要不充分條件故選B．4．已知a，b，c∈R，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是（）A．若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，則a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，則a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，則a+b+c=3【考點】四種命題．【分析】若原命題是“若p，則q”的形式，則其否命題是“若非p，則非q”的形式，由原命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”，我們易根據(jù)否命題的定義給出答案．【解答】解：根據(jù)四種命題的定義，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是“若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3”故選A5．已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出線性約束條件表示的可行域，在將目標函數(shù)賦予幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可得目標函數(shù)的最值【解答】解：畫出可行域如圖陰影部分，由得C（3，2）目標函數(shù)z=3x+y可看做斜率為﹣3的動直線，其縱截距越大，z越大，由圖數(shù)形結(jié)合可得當動直線過點C時，z最大=3×3+2=11故選B6．若命題p：＜0，命題q：x2＜2x，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求解不等式得出相應的解集，利用充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：∵，∴0＜x＜1，∵x2＜2x，∴0＜x＜2∵{x|0＜x＜1}?{x|0＜x＜2}∴根據(jù)充分必要條件的定義可判斷得出：命題p是q的充分必要條件故選：A7．設x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=的取值范圍為（）A．[﹣3，3] B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3]【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點D（﹣2，0）的斜率，由圖象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得，即A（﹣1，2），則DA的斜率kDA=，由，解得，即B（﹣1，﹣2），則DB的斜率kDB=，則﹣2≤z≤2，故的取值范圍是[﹣2，2]，故選：C8．下列命題錯誤的是（）A．命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”B．若命題p：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件D．若p∧q為假命題，則p、q均為假命題【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A．寫出命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的逆否命題，再判斷其真假即可；B．利用特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B的正誤；C．△ABC中，利用正弦定理及大邊對大角可判斷C的正誤；D．利用復合命題p∧q一假則假可判斷D的正誤．【解答】解：A．命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”，A正確；B．特稱命題的否定為全稱命題，由于命題p：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，B正確；C．△ABC中，sinA＞sinB?2RsinA＞2RsinB?a＞b?A＞B，故△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件，C正確；D．若p∧q為假命題，則p、q中至少有一個為假命題，不一定均為假命題，D錯誤．故選：D．9．若a＞b，x＞y，下列不等式不正確的是（）A．a(chǎn)+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y【考點】不等關(guān)系與不等式．【分析】這考查有關(guān)不等式的四則運算的知識，主要是不要忽略了a等于零的情況．【解答】解：當a≠0時，|a|＞0，不等式兩邊同乘以一個大于零的數(shù)，不等號方向不變．當a=0時，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．故選C．10．下列各函數(shù)中，最小值為2的是（）A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）C．y= D．【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法則：“一正二定三相等”即可判斷出結(jié)論．【解答】解：A．x＜0時無最小值，不成立；B．∵x∈（0，），∴sinx∈（0，1），∴y＞2，因此不成立；C.+＞2，因此不成立；D．y=+﹣2﹣2=2，當且僅當x=4時取等號，成立．故選：D．11．若不等式x2+ax+1≥0對一切成立，則a的最小值為（）A．0 B．﹣2 C． D．﹣3【考點】一元二次不等式與二次函數(shù)．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在區(qū)間（0，）恒成立，只要f（x）在區(qū)間（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：設f（x）=x2+ax+1，則對稱軸為x=若≥，即a≤﹣1時，則f（x）在〔0，〕上是減函數(shù)，應有f（）≥0?﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0時，則f（x）在〔0，〕上是增函數(shù)，應有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，則應有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0綜上，有﹣≤a．故選：C12．若數(shù)列{an}滿足=0，n∈N*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“夢想數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1b2b3…b99=299，則b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考點】數(shù)列遞推式．【分析】由新定義得到數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的性質(zhì)得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依題意可得bn+1=qbn，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．又，則b50=2．∴，當且僅當b8=b92，即該數(shù)列為常數(shù)列時取等號．故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，則的最小值為．【考點】基本不等式．【分析】把ab寫成，利用基本不等式求出ab的最大值，取倒數(shù)則可求得的最小值．【解答】解：因為a＞0，b＞0，所以，所以．故答案為．14．設z=x+y，其中x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為﹣6．【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，先求出最優(yōu)解，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=x+y得y=﹣x+z，則直線截距最大時，z也最大．平移直線y=﹣x+z由圖象可知當直線y=﹣x+z經(jīng)過點B時，直線y=﹣x+z的截距最大，此時z最大為12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此時B也在直線y=k上，∴k=6，當直線y=﹣x+z經(jīng)過點A時，直線y=﹣x+z的截距最小，此時z最小，由，即，即A（﹣12，6），此時z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案為：﹣615．Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若Sn=3n﹣1，則a12+a22+a32+…+an2=．【考點】數(shù)列的求和．【分析】利用遞推關(guān)系可得an，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：∵，∴當n=1時，a1=2；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1．當n=1時上式也成立，∴an=2×3n﹣1．∴=4×32n﹣2=4×9n﹣1．∴數(shù)列{}是等比數(shù)列，首項為4，公比為9．∴==；故答案為：．16．已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），則實數(shù)c的值為9．【考點】一元二次不等式的應用．【分析】根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的解集可得f（x）=c的兩個根為m，m+6，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，解之即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一個根，即△=a2﹣4b=0則b=不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），即為x2+ax+＜c解集為（m，m+6），則x2+ax+﹣c=0的兩個根為m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案為：9三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知等差數(shù)列{an}滿足a2=2，a5=8．（1）求{an}的通項公式；（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}的前n項和Tn．【考點】等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式．【分析】（1）求{an}的通項公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由an=a5+（n﹣5）d，求出通項公式；（2）設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q（q＞0），利用等比數(shù)列的通項公式可求首項b1及公比q，代入等比數(shù)列的前n項和公式可求Tn．【解答】解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得a1=0，d=2∴數(shù)列{an}的通項公式an=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q（q＞0）由（1）知an=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{bn}的前n項和Tn=2n﹣118．在△ABC中，cos2A=cos2A﹣cosA．（I）求角A的大小；（II）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用條件，結(jié)合二倍角公式，即可求得角A的大小；（II）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的邊，從而可求三角形的面積．【解答】解：（I）由已知得：，…∴．…∵0＜A＜π，∴．…（II）由可得：…∴b=2c…∵…∴…∴．…19．已知a＞0，a≠1，設p：函數(shù)y=loga（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；q：曲線y=x2+（2a﹣3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．【考點】復合命題的真假；二次函數(shù)的性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性我們易判斷出命題p為真命題時參數(shù)a的取值范圍，及命題p為假命題時參數(shù)a的取值范圍；根據(jù)二次函數(shù)零點個數(shù)的確定方法，我們易判斷出命題q為真命題時參數(shù)a的取值范圍，及命題q為假命題時參數(shù)a的取值范圍；由p且q為假命題，p或q為真命題，我們易得到p與q一真一假，分類討論，分別構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．【解答】解：若p為真，則0＜a＜1．若q為真，則△＞0即（2a﹣3）2﹣4＞0解得a＜或a＞．∵p且q為假，p或q為真，∴p與q中有且只有一個為真命題．（a＞0且a≠1）若p真q假，則∴≤a＜1若p假q真，則∴a綜上所述，a的取值范圍為：[，1）∪（，+∞）．20．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n（n+1），（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（2）數(shù)列{bn}的通項公式bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．【考點】數(shù)列的求和．【分析】（1）當n≥2時，由an=Sn﹣Sn﹣1=2n，再求得n=1時a1的值，檢驗是否滿足n≥2時的關(guān)系式，從而可得數(shù)列{an}的通項公式an；（2）利用裂項法可得bn=（﹣），從而可得數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．【解答】解：（1）n=1時，S1=a1=2…，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n…經(jīng)檢驗n=1時成立，…綜上an=2n…（2）由（1）可知…Tn=b1+b2+b3+…+bn=…==…21．某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其它費用組成，已知該貨輪每小時的燃料費用與其航行速度的平方成正比（比例系數(shù)為），其它費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．（Ⅰ）請將從甲地到乙地