2021-2022學年廣東省陽江市春灣中學高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P1，P2分別是線段AB，BD1(不包括端點)上的動點，且線段P1P2平行于平面A1ADD1，則四面體P1P2AB1的體積的最大值是()A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.已知函數則當時，函數在區間(－1,1]內的零點個數為（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C【分析】利用轉化思想將零點問題轉化為分段函數在區間內與過定點的直線的函數圖象的交點，進而作圖分析由數形結合思想即可得答案.【詳解】函數在區間內的零點，可等價于方程的根，進一步轉化為分段函數在區間內與過定點的直線的函數圖象的交點，作出分段函數的在區間內圖象，因為直線過定點且斜率，則直線必然與線段OB相交于一點，故交點個數有2個，所以函數在區間內的零點個數為2.故選：C【點睛】本題考查利用轉化思想與數形結合思想解決函數的零點個數問題，屬于較難題.3.設全集U=R，，那么如圖中陰影部分表示的集合為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題，知陰影部分表示的為，算出集合M、N表示的范圍，根據集合的交集與補集的運算，即可得到本題答案.【詳解】由題，知陰影部分表示的為，由，得，，由，得，，所以，，那么如圖中陰影部分表示的集合為.故選：B【點睛】本題主要考查集合的交集與補集的運算，屬基礎題.4.已知F1、F2是橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF1是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1參考答案：C【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】由題意解出點A，B的坐標，從而求出＜1，從而求出該橢圓離心率．【解答】解：由題意，+=1，從而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是銳角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故選C．5.函數的定義域為----------------------（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知P，Q為圓：上的任意兩點，且，若線段PQ的中點組成的區域為M，在圓O內任取一點，則該點落在區域M內的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：設為弦的中點，如圖所示，由，知，所以中點組成的區域為是由圓與圓組成的圓環，所以在內部任取一點落在內的概率為，故選．7.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數（）A．有極大值，沒有極大值

B．沒有極大值，沒有最大值

C.有極大值，有最大值

D．沒有極大值，有最大值參考答案：A由題意，函數的圖象可知，當時，函數先增后減；當時，函數先減后增，所以函數有極大值，沒有最大值，故選A.

8.已知點M（），若的最小值為3，則的值為（

）A、－4B、4C、－3D、3參考答案：D略9.設是非零向量，則“存在實數，使得”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】由題意結合向量共線的性質分類討論充分性和必要性是否成立即可.【詳解】存在實數，使得，說明向量共線，當同向時，成立，當反向時，不成立，所以，充分性不成立.當成立時，有同向，存在實數，使得成立，必要性成立，即“存在實數，使得”是“”的必要而不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查向量共線的充分條件與必要條件，向量的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10.李冶（1192﹣1279），真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時期的數學家、詩人、晚年在封龍山隱居講學，數學著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現有正方形方田一塊，內部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是（注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步參考答案：B【考點】三角形中的幾何計算．【分析】根據水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，即方田面積減去水池面積為13.75畝，方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，設圓池直徑為m，方田邊長為40步+m．從而建立關系求解即可．【解答】解：由題意，設圓池直徑為m，方田邊長為40步+m．方田面積減去水池面積為13.75畝，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圓池直徑20步那么：方田邊長為40步+20步=60步．故選B．【點評】本題考查了對題意的理解和關系式的建立．讀懂題意是關鍵，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對于，有如下四個命題:

①若，則為等腰三角形;②若，則不一定是直角三角形;③若，則是鈍角三角形;④若，則是等邊三角形。其中正確的命題是_____參考答案：②④12.已知△ABC的三邊分別為a，b，c，所對的角分別為A，B，C，且滿足，且△ABC的外接圓的面積為3π，則f(x)=cos2x+4(a+c)sinx+1的最大值的取值范圍為__________．參考答案：(12,24]由的三邊分別為，，可得：，可知：，，，可知可知當時，則的最大值的取值范圍為(12,24]點睛：本題主要考查了三角函數與解三角形綜合題目，需要學生有一定計算能力，并能熟練運用公式進行化簡求值，在解答此類題目時往往將邊的范圍轉化為求角的范圍問題，利用輔助角公式進行化簡，本題還是有一定難度．13.已知雙曲線的離心率為2，且兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準線交于A，B兩點，O為坐標原點，若，則拋物線的方程為．參考答案：y2=4x【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求出拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，運用代入法，求得AB，再由三角形的面積公式，結合離心率公式和a，b，c的關系，化簡整理，解方程可得p，進而得到雙曲線方程．【解答】解：拋物線y2=2px（p＞0）的準線為x=﹣，雙曲線的漸近線方程為y=±x，把x=﹣代入y=±x，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面積為，∴??=，由e===2，解得=．∴=1，解得p=2．∴該拋物線的標準方程是y2=4x．故答案為：y2=4x．14.若（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，則++…+的值為

．參考答案：﹣1考點：二項式系數的性質．專題：二項式定理．分析：分別在已知的二項式中取x=0和，得到a0=1，，則答案可求．解答： 由（1﹣3x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，取x=0，得a0=1，再取x=，得，∴．故答案為：﹣1．點評：本題考查了二項式系數的性質，關鍵是在已知的二項式中對x值的選取，是基礎題．15.下列說法：

①“”的否定是“”；

②函數的最小正周期是

③命題“函數處有極值，則”的否命題是真命題；

④上的奇函數，時的解析式是，則時的解析式為其中正確的說法是

。參考答案：略16.展開式中常數項為

．參考答案：略17.已知向量，滿足，，，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數f（x）=x2+alnx的圖象在點P（1，f（1））處的切線斜率為10（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個數，證明你的結論．參考答案：【考點】：利用導數研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數判斷．【專題】：導數的概念及應用．【分析】：（Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），根據導數的幾何意義和條件求出a的值；（Ⅱ）由條件設g（x）=f（x）﹣2x，化簡后求出函數g（x）的定義域，求出g′（x）后利用基本不等式判斷出g′（x）＞0，再判斷出g（x）的單調性，根據g（1）和g（e）的符號，判斷出函數零點的個數，即可得到方程f（x）=2x根的個數．解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=x2+alnx，則，因為在點P（1，f（1））處的切線斜率為10，所以f′（1）=2+a=10，解得a=8；（Ⅱ）方程f（x）=2x有一個實數根，由（Ⅰ）得，f（x）=x2+8lnx，設g（x）=f（x）﹣2x=x2+8lnx﹣2x，且定義域是（0，+∞），則≥2=6＞0，所以函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，因為g（1）=1﹣2=﹣1＜0，g（e）=e2﹣2e+8＞0，所以函數g（x）在（0，+∞）上有一個零點，即方程f（x）=2x有一個實數根．【點評】：本題考查求導公式和法則，導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，以及方程的根與函數零點的相互轉化，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）在中，滿足的夾角為

，M是AB的中點（1）若，求向量的夾角的余弦值（2）若，在AC上確定一點D的位置,使得達到最小，并求出最小值參考答案：略20.在平面直角坐標系中，已知曲線為到定點的距離與到定直線的距離相等的動點的軌跡，曲線是由曲線繞坐標原點按順時針方向旋轉形成的．（1）求曲線與坐標軸的交點坐標，以及曲線的方程；（2）過定點的直線交曲線于、兩點，已知曲線上存在不同的兩點、關于直線對稱．問：弦長是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（1）設，由題意，可知曲線為拋物線，并且有，化簡，得拋物線的方程為：．令，得或，令，得或，所以，曲線與坐標軸的交點坐標為和，．

（3分）由題意可知，曲線為拋物線，過焦點與準線垂直的直線過原點，點到的距離為．

（2分）所以是以為焦點，以為準線的拋物線，其方程為：．

（3分）（2）設，，由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，則直線的方程為，

（1分）則得，所以

①

（2分），設弦的中點為，則

因為在直線上，所以，即

②

將②代入①，得，

（4分）設，則．

（1分）構造函數，．由已知，當，即時，無最大值，所以弦長不存在最大值．

（1分）當時，有最大值，即弦長有最大值

（1分）

略21.設計算法求的值．要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的程序．參考答案：解析：這是一個累加求和問題，共99項相加，可設計一個計數變量，一個累加變量，用循環結構實現這一算法．程序框圖如下圖所示

22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點，（1）證明：BD⊥平面PAC（2）若G是PC的中點，求DG與平面APC所成的角的正切值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO為DG與平面PAC所成的角，由此能求出DG與平面APC所成的角的正切值．【解答】證明：（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，設AC與BD的交點為O，∵AB=BC=2，AD=CD=，