2021-2022學年江西省宜春市三陽中學高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如圖所示．左視圖是一個矩形．則這個矩形的面積是(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略2.三世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法．如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內的概率為A． B． C． D．參考答案：A設圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內的概率，故選A.3.約束條件圍成的區域面積為，且z＝2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B作出約束條件所對應的可行域（如圖△ABC及內部），C(,)，A（k，k），B（1-k,k）區域面積為可得（1-2k）（?k）=,解得k=-1(k=2舍去)；

變形目標函數可得y=-2x+z，平移直線y=-2x可知：當直線經過點A（-1，-1）時，直線的截距最小，代值計算可得z取最小值n=-3，當直線經過點B（2，-1）時，直線的截距最大，代值計算可得z取最大值m=3，故m-n=3+3=6，故選：B．

4.已知復數，i為虛數單位，則下列說法正確的是（

）A. B.C. D.z的虛部為－i參考答案：B【分析】利用復數的除法求出后可得正確的選項.【詳解】因為，則，，，的虛部為－1，故選：B.【點睛】本題考查復數的除法，計算時分子、分母同乘以分母的共軛復數，本題屬于容易題.5.已知，若，則實數的值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略6.函數(為自然對數的底數)的圖象可能是

A

B

C

D參考答案：A7. 復數（i為虛數單位）在復平面上對應的點所在的象限為A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略8.直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移１個單位，所得到的直線為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知全集,集合，則

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：【知識點】補集及其運算．A1A

解析：根據補集的定義，?UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構成的集合，由已知，有且僅有0，4符合元素的條件．?UA={0，4}，故選A．【思路點撥】根據補集的定義直接求解：?UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構成的集合．10.某學校2014-2015學年高一、2014-2015學年高二、2015屆高三年級的學生人數分別為900、900、1200人，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從2015屆高三年級抽取的學生人數為(

) A．15 B．20 C．25 D．30參考答案：B考點：分層抽樣方法．專題：概率與統計．分析：根據分層抽樣的定義即可得到結論．解答： 解：三個年級的學生人數比例為3：3：4，按分層抽樣方法，在2015屆高三年級應該抽取人數為人，故選：B．點評：本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件確定抽取比例是解決本題的關鍵，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓，過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，若為銳角，則的取值范圍是______．參考答案：試題分析：由于圓心到直線的距離,當時,,所以,即,注意到,故,即.考點：圓與直線的位置關系及運用．12.閱讀右圖程序框圖．若輸入，則輸出的值為___________．參考答案：13.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.參考答案：214.設是定義在上且周期為2的函數，在區間上，其中．若，則的值為

．參考答案：－1015.已知f(x)是定義在R上的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝x2，當x＞1時，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直線y＝kx與函數y＝f(x)的圖象恰有5個不同的公共點，則實數k的值為

．參考答案：16.已知向量=（3，4），=（2，3），則+在﹣方向上的投影為

．參考答案：6【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據向量的坐標運算和向量投影的定義即可求出【解答】解：∵向量=（3，4），=（2，3），∴+=（5，7），﹣=（1，1），∴（+）（﹣）=57=12，|﹣|=，∴+在﹣方向上的投影為==6，故答案為：6．17.已知點是雙曲線上一點，雙曲線兩個焦點間的距離等于4，則該雙曲線方程是___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數，得到如表資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x（°C）1011131286就診人數y（個）222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗．（1）求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率；（2）若選取的是1月與6月的兩組數據，請根據2至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸方程=bx+a；（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問（2）中所得線性回歸方程是否理想？參考公式：b==，a=．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從6組數據中選取2組數據共有C62種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種，根據古典概型的概率公式得到結果．（2）根據所給的數據，求出x，y的平均數，根據求線性回歸方程系數的方法，求出系數b，把b和x，y的平均數，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程．（3）根據所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原來表中所給的10和6對應的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想．【解答】解：（1）設柚到相鄰兩個月的教據為事件A．因為從6組教據中選取2組教據共有15種情況，每種情況都是等可能出現的其中，抽到相鄰兩個月份的教據的情況有5種，所以．（2）由教據求得，由公式求得，再由．所以y關于x的線性回歸方程為．（3）當x=10時，；同樣，當x=6時，，所以該小組所得線性回歸方程是理想的．19.在等比數列{an}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差數列．（1）求數列{an}的通項公式（2）若數列{bn}滿足b1++…+（n∈N+），{bn}的前n項和為Sn，求證Sn≤n?an（n∈N+）參考答案：【考點】數列與不等式的綜合．【專題】等差數列與等比數列．【分析】（1）通過將a2、a3、a4、a5用公比q表示及條件a3、a2+a4、a5成等差數列，可求出q=2，利用等比數列的通項公式計算即可；（2）當n=1時，b1=a1=1，顯然有S1=1×a1；當n≥2時，利用=an﹣an﹣1可得bn=n?2n﹣2，求出Sn、2Sn，兩者相減，利用錯位相減法解得Sn，計算即可．【解答】（1）解：設數列{an}的公比為q，∵a1=1，∴a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，又∵a3，a2+a4，a5成等差數列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），∴an=2n﹣1；（2）證明：∵數列{bn}滿足b1++…+=an（n∈N+），∴當n=1時，b1=a1=1，此時S1=1×a1；當n≥2時，=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣2n﹣2=2n﹣2，∴bn=n?2n﹣2，∴Sn=1+2×20+3×21+4×22+…+（n﹣1）×2n﹣3+n×2n﹣2，∴2Sn=2×20+2×21+3×22+4×23+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，兩式相減，得﹣Sn=1+21+22+23+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1，∴Sn=n×2n﹣1﹣1﹣（21+22+23+…+2n﹣2）=n×2n﹣1﹣1﹣=（n﹣1）×2n﹣1﹣1=n×2n﹣1﹣（1+2n﹣1）＜n×2n﹣1=n?an，綜上所述，Sn≤n?an（n∈N+）．【點評】本題考查考查等差、等比數列的性質，考查分類討論的思想，考查分析問題的能力與計算能力，利用錯位相減法求Sn是解決本題的關鍵，屬于中檔題．20.熱力公司為某生活小區鋪設暖氣管道，為減少熱量損耗，管道外表需要覆蓋保溫層。經測算要覆蓋可使用20年的保溫層，每厘米厚的保溫層材料成本為2萬元，小區每年的氣量損耗用（單位：萬元）與保溫層厚度（單位：）滿足關系：若不加保溫層，每年熱量損耗費用為5萬元。設保溫費用與20年的熱量損耗費用之和為(1）求的值及的表達式；(2)問保溫層多厚時，總費用最小，并求最小值。參考答案：（1）由題意知(2）當且僅當即時，等號成立。所以保溫層的厚底為厘米時，總費用最小，最小為19萬元。21.為了普及環保知識，增強環保意識，某校從理科甲班抽取60人，從文科乙班抽取50人參加環保知識測試．（Ⅰ）根據題目條件完成下面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為環保知識成績優秀與學生的文理分類有關．

優秀人數非優秀人數總計甲班

乙班

30

總計60

（Ⅱ）現已知A，B，C三人獲得優秀的概率分別為，，，設隨機變量X表示A，B，C三人中獲得優秀的人數，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）0.1000.0500.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用．【分析】（Ⅰ）由題設條件作出列聯表，根據列聯表中的數據，得到．由此得到有99%的把握認為環保知識測試與專業有關．（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）2×2列聯表如下

優秀非優秀總計甲班402060乙班203050總計6050110由算得，，所以有99%的把握認為學生的環保知識成績與文理分科有關…5分（Ⅱ）設A，B，C成績優秀分別記為事件M，N，R，則∴隨機變量X的取值為0，1，2，3…6分，…10分所以隨機變量X的分布列為：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=…12分．22.某商場對A品牌的商品進行了市場調查，預計2014年從1月起前個月顧客對A品牌的商品的需求總量件與月份的近似關系是：（1）寫出第月的需求量的表達式；（2）若第月的銷售量（單位：件），每件利潤元與月份x的近似關系為：，問：該商場銷售A品牌商品，預計第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？（）參考答案：

解：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39；當x≥2時，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（41﹣2x）﹣（x﹣1）x（43﹣2x）=3x（14﹣x）；∴f（x）=﹣3x2+42x（x≤12且x∈N+）；（2）設月利潤為h（x），則h