2021-2022學年廣東省東莞市大嶺山鎮中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在復平面內，復數對應的點位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D2.定義在R上的函數，如果存在函數(k,b為常數），使得對一切實數x都成立，則稱為函數的一個承托函數．現有如下命題：①對給定的函數，其承托函數可能不存在，也可能有無數個．②函數為函數的一個承托函數．③定義域和值域都是R的函數不存在承托函數．其中正確命題的序號是：

(

)A．①B．②C．①③D．②③參考答案：A略3.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為(

)A．4 B． C． D．8參考答案：B考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：由三視圖知幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體，畫出其直觀圖，由三視圖可得SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，SC=4，BE=2．四邊形ABCD為邊長為2的正方形，把數據代入棱錐的體積公式計算可得答案．解答：解：由三視圖知幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體，其直觀圖如圖：其中SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，又SC=4，BE=2．四邊形ABCD為邊長為2的正方形，∴幾何體的體積V=V四棱錐+V三棱錐A﹣BSE=×22×4+××2×2×2=+=．故選B．點評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，判斷幾何體的形狀及數據所對應的幾何量是解題的關鍵4.設A、B是兩個非空集合，定義A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞0}，則A×B=（）A．[0，1]∪（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞） C．[0，1] D．[0，2]參考答案：A【考點】函數的定義域及其求法；交、并、補集的混合運算；函數的值域．【專題】新定義．【分析】根據根式有意義的條件，分別求出結合A和B，然后根據新定義A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，進行求解．【解答】解：∵集合A、B是非空集合，定義A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，A={x|y=}={x|0≤x≤2}B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}∴A∪B=[0，+∞），A∩B=（1，2]因此A×B=[0，1]∪（2，+∞）．故選A．【點評】此題主要考查新定義、根式有意義的條件和集合交、并、補集的混合運算，新定義的題型是常見的題型，同學們要注意多練習這樣的題．5.將函數的圖象向右平移θ（θ＞0）個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則θ的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】三角函數中的恒等變換應用；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】y=cosx+sinx=2cos（x﹣），故將函數平移后得到y=2cos（x﹣﹣θ），由于平移后的新函數是偶函數，得cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立，于是x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解出θ=kπ﹣．【解答】解：∵y=cosx+sinx=2cos（x﹣），∴將函數平移后得到的函數為y=2cos（x﹣﹣θ），∵y=2cos（x﹣﹣θ）的圖象關于y軸對稱，∴cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立．∴x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解得θ=kπ﹣．∵θ＞0，∴當k=1時，θ取最小值．故選：D．6.南宋數學家秦九韶早在《數書九章》中就獨立創造了已知三角形三邊求其面積的公式：“以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減之，以四約之，為實，一為從隅，開方得積.”（即：，），并舉例“問沙田一段，有三斜（邊），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知為田幾何？”則該三角形田面積為（

）A．82平方里

B．83平方里

C．84平方里

D．85平方里參考答案：C由題意可得：代入：則該三角形田面積為84平方里故選C7.設函數f（x）是R上的奇函數，f（x+π）=﹣f（x），當0≤x≤時，f（x）=cosx﹣1，則﹣2π≤x≤2π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6參考答案：A【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】根據函數的奇偶性得到函數的周期是2π，分別求出函數的解析式，利用積分的應用即可得到結論【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），即函數的周期是2π，若﹣≤x≤0，則0≤﹣x≤，即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，∵f（x）是R上的奇函數，∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，∵函數的周期是2π，∴當＜x≤2π時，﹣＜x﹣2π≤0，即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，當＜x≤π時，﹣＜x﹣π≤0，即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，當π＜x≤時，0≤x﹣π≤，即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，綜上：f（x）=，則由積分的公式和性質可知當﹣2π≤x≤2π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．故選A．8.已知向量滿足與的夾角為，，則的最大值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【答案解析】D解析：解：設，以OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系的夾角為，則即表示以為圓心，1為半徑的圓，表示點A，C的距離，即圓上的點與A的距離，因為圓心到B的距離為，所以的最大值為，所以D正確.【思路點撥】根據向量的數量積的兩種形式的轉化，我們看到方程所表達的幾何意義，利用幾何意義求出最大值.9.設、是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個命題：①若

則

②若，，則③若，則

④若，則其中真命題的序號是（

）

A.①④

B.②③

C.②④

D.①③

參考答案：答案:D10.已知的最小值是() A．2

B．2

C．4

D．2參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓C的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，且橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓C的方程為________________

參考答案：12.

函數的部分圖象如左下圖所示，則的值分別為

▲

.參考答案：2，13.用數學歸納法證明：（）時，從“”時，左邊應增添的代數式為_______________.參考答案：2（2k+1）【知識點】數學歸納法M3首先寫出當n=k時和n=k+1時等式左邊的式子，

當n=k時，左邊等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），①

當n=k+1時，左邊等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），②

故從n=k到n=k+1的證明，左邊需增添的代數式是由得到=2（2k+1），【思路點撥】分別寫出n=k時左邊的式子和n=k+1時左邊的式子，用n=k+1時左邊的式子，除以n=k時左邊的式子，得到的代數式即為所求．14.函數y=sinxcosx的最小正周期T=

。參考答案：p15.直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數f(x)的圖象恰好通過k個格點，則稱函數f(x)為k階格點函數.下列函數：①；②；③；④其中是一階格點函數的有

.（填上所有滿足題意的序號）.參考答案：①②④16.已知函數，則函數的最小正周期是

.參考答案：π函數的最小正周期

17.函數的定義域是___

___.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面是的中點（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積。參考答案：（1）略；（2）.

略19.已知函數，曲線在點處的切線方程為：.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）設，求函數在上的最大值.參考答案：（Ⅰ）由切線方程知，當時，∴....................................................1分∵....................................................2分∴由切線方程知，.......................................3分∴..........................................................4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.......................5分∴，.........................................6分?當時，當時，，故單調遞減∴在上的最大值為.........................................7分

②當時∵，∴存在，使當時，，故單調遞減當時，，故單調遞增∴在上的最大值為或....................................9分又，∴當時，在上的最大值為當時，在上的最大值為......................10分?當時，當時，，故單調遞增∴在上的最大值為..................................11分綜上所述，當時，在上的最大值為當時，在上的最大值為.........................12分20.已知點P是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上的點，橢圓短軸長為2，F1，F2是橢圓的兩個焦點，|OP|=，?=（點O為坐標原點）．（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）利用橢圓短軸長為2，求b．利用，|OP|=，?=，可求c，進而求出橢圓方程和離心率．（Ⅱ）將直線方程和橢圓方程聯立，進行消元，轉化為一元二次方程問題，然后利用根與系數之間的關系進行求解．【解答】解：（Ⅰ）設P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0）由|OP|=，得，…由?=得，即…所以c=，又因為短軸長為2，所以b=1，所以離心率e=，…橢圓C的方程為：；…（Ⅱ）由得，設直線MN的方程為y=kx+m，聯立方程組消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0…設M（x1，y1），N（x2，y2），則，…所以．

因為+=λ，λ∈（0，2），所以，，得，于是，…所以…又因為λ＞0，原點O到直線MN的距離為

所以=，當，即時等號成立，S△OMN的最大值為…21.在△