黑龍江省綏化市望奎靈山中學2022高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是雙曲線上關于原點O對稱的兩點，將坐標平面沿雙曲線的一條漸近線折成直二面角，則折疊后線段長的最小值為（

）A．

B．

C．

D．4參考答案：D略2.已知函數

，則等于（

）A．4

B．

C．—4

D．參考答案：B3.已知函數在點處連續，則

。參考答案：4.對、，運算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（

）⑴ ⑵⑶ ⑷A．⑴、⑶ B． ⑵、⑷ C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷

參考答案：B5.已知集合M={}，集合N={}，則MN為

A．(-2，3)

B．(-3，-2]

C．[-2，2)

D．(-3，3]參考答案：C6.如圖，一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的側面積為A．

B．

C．

D．參考答案：C由三視圖可知此四棱錐是底面邊長，一條側棱與底面垂直，其長2，與這條棱相對的另一條棱的長為，剩余兩條側棱長為，可求得這個四棱錐的側面積為，故選C.7.3．已知拋物線y2＝2px（p>0）的準線與圓（x－3）2＋y2＝16相切，則p的值為A. B.1 C.

2 D.

4

參考答案：C8.設全集是實數集,,則（

）A． B．C． D．參考答案：A9.設g（x）是將函數f（x）=cos2x向左平移個單位得到的，則等于(

)A．1 B． C．0 D．﹣1參考答案：D【考點】函數的值；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；三角函數的求值．【分析】根據函數圖象的平移首先得到函數g（x）的解析式，然后直接把代入即可得到答案．【解答】解：將函數f（x）=cos2x向左平移個單位得：f（x+）=，即g（x）=，所以g（）=．故選D．【點評】本題考查了函數圖象的平移問題，函數圖象在x軸上的平移遵循左加右減的原則，是基礎題．10.已知一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為5的正方體密閉容器內可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是A．100

B．96 C．54

D．92參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數在區間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的最大值與最小值的和為__________．參考答案：略12.曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是___________.參考答案：答案：解析：曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.13.一個組合體的三視圖如圖，則其體積為________________

參考答案：略14.如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′和x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為

參考答案：415.設向量滿足，則＝(

)A．2

B．

C．4

D．參考答案：B略16.圖中陰影部分的面積等于

．參考答案：1【考點】定積分．【分析】根據題意，所求面積為函數3x2在區間[0，1]上的定積分值，再用定積分計算公式加以運算即可得到本題答案．【解答】解：根據題意，該陰影部分的面積為=x3=（13﹣03）=1故答案為：117.在等比數列中，，前項和為，若數列也是等比數列，則等于

．參考答案：試題分析：設數列的公比為，則有，解得，所以.考點：等比數列的定義，數列的求和問題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2017?莆田一模）已知數列{an}的前n項和，其中k為常數，a1，a4，a13成等比數列．（1）求k的值及數列{an}的通項公式；（2）設，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】（1）由已知數列的前n項和求得an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首項，驗證首項成立可得數列通項公式，結合a1，a4，a13成等比數列求得k，則通項公式可求；（2）把（1）中求得的通項公式代入，整理后利用裂項相消法求得數列{bn}的前n項和為Tn，放縮可得．【解答】（1）解：由，有an=Sn﹣Sn﹣1=2n+k﹣1（n≥2），又a1=S1=k+1，∴an=2n+k﹣1．∵a1，a4，a13成等比數列，∴，即（2×4+k﹣1）2=（2×1+k﹣1）（2×13+k﹣1），解得k=2．∴an=2n﹣1；（2）證明：∵=．∴．∴Tn=b1+b2+…+bn===．【點評】本題考查數列遞推式，考查了由數列的前n項和求數列的通項公式，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，屬中檔題．19.某高校在2013年自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)，第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)分別求第3，4，5組的頻率；(2)若該校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試。(ⅰ)已知學生甲和學生乙的成績均在第三組，求學生甲和學生乙恰有一人進入第二輪面試的概率；(ⅱ)學校決定在這已抽取到的6名學生中隨機抽取2名學生接受考官L的面試，設第4組中有名學生被考官L面試，求的分布列和數學期望.參考答案：解：(1)

第三組的頻率為0.065=0.3；第四組的頻率為0.045=0.2；第五組的頻率為0.025=0.1.

……3分(2)(ⅰ)設“學生甲和學生乙恰有一人進入第二輪面試”為事件A,第三組應有3人進入面試則:

P(A)=

……6分(ⅱ)第四組應有2人進入面試，則隨機變量可能的取值為0,1,2.

…………7分且，則隨機變量的分布列為:X012P

……10

略20.在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為，若極坐標系內異于O的三點，，都在曲線M上.（1）求證：；（2）若過B，C兩點直線的參數方程為（t為參數），求四邊形OBAC的面積.參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）將代入極坐標方程，求出，利用兩角和與差的余弦公式化簡可得結論；（2）求得，則；又得.四邊形面積為，化簡可得結果.【詳解】（1）由，則；（2）由曲線的普通方程為：，聯立直線的參數方程得：解得；平面直角坐標為：則；又得.即四邊形面積為為所求.【點睛】本題主要考查極坐標方程以及參數方程的應用，考查了極徑與極角的幾何意義的應用，意在考查綜合應用所學知識，解答問題的能力，屬于中檔題.21.設集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若A∩B={9}，求A∪B．參考答案：由9∈A，可得x2=9或2x-1=9，解得x=±3或x=5.當x=3時，A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素違背了互異性，舍去；當x=-3時，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，A∩B={9}滿足題意，故A∪B={-7，-4，-8，4，9}；當x=5時，A={25，9，-4}，B={0，-4，9}，此時A∩B={-4，9}與A∩B={9}矛盾，故舍去.綜上所述，x=-3且A∪B={-8,-4,4,-7,9}.22.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：

喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生

5

女生10

合計

50已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為．（1）請將上面的列聯表補充完整（不用寫計算過程）；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由；（3）現從女生中抽取2人進一步調查，設其中喜愛打籃球的女生人數為ξ，求ξ的分布列與期望．下面的臨界值表供參考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用；等可能事件的概率；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】圖表型．【分析】（1）根據在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率，做出喜愛打籃球的人數，進而做出男生的人數，填好表格．（2）根據所給的公式，代入數據求出臨界值，把求得的結果同臨界值表進行比較，看出有多大的把握說明打籃球和性別有關系．（3）喜愛打籃球的女生人數ξ的可能取值為0，1，2，通過列舉得到事件數，分別計算出它們的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．【解答】解：（1）列聯表補充如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計302050（2）∵K2=≈8.333＞7.879﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為喜愛打籃球與性別有關．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）喜愛打籃球的女生人數ξ的可能取值為0，1，2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣