黑龍江省伊春市宜春寶峰中學2021-2022學年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數列的前項和為,且則公差等于

（

）A.1

B.

C.

2

D.

3參考答案：C2.已知可導函數f(x)(x∈R)滿足f′(x)>f(x)，則當a＞0時，f(a)和eaf(0)的大小的關系為()A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0) C.f(a)＝eaf(0) D.f(a)≤eaf(0)參考答案：B【分析】構造函數，求導后可知，從而可確定在上單調遞增，得到，整理可得到結果.【詳解】令，則又，

在上單調遞增，即

本題正確選項：【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性的問題，關鍵是能夠構造出新函數，通過求導得到函數的單調性，將問題轉變為新函數的函數值之間的比較問題.3.設不等式組表示的平面區域為，在區域內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離小于等于2的概率是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A平面區域的面積為4，到坐標原點的距離小于等于2的點所到區域為，有幾何概型的概率公式可知區域內一個點到坐標原點的距離小于等于2的概率為．4.若,則下列不等式成立的是(

)A-.

B.

C.

D.參考答案：C試題分析：考點：不等式性質5.已知集合A＝{x|}，B＝{x|}，則A∩B＝（

）A．{x|－2<x<1或3<x<5}

B．{x|－2<x<5}C．{x|1<x<3}

D．{x|1<x<2}參考答案：A6.給出下面類比推理命題（其中Q為有理數，R為實數集，C為復數集）：①“若，則”類比推出“，則”；②“若，則復數”類比推出“，則”；③“若，則”類比推出“若，則”；④“若，則”類比推出“若，則”；其中類比結論正確的個數有（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B很明顯命題①②正確，對于命題③，當時，，但是無法比較的大小，原命題錯誤；對于命題④，若，則，但是無法比較z與1,-1的大小，原命題錯誤；綜上可得，類比結論正確個數為2.本題選擇B選項.點睛：在進行類比推理時，要盡量從本質上去類比，不要被表面現象所迷惑；否則只抓住一點表面現象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤．7.甲、乙兩人進行三打二勝的臺球賽，已知每局甲取勝的概率為0．6，乙取勝的概率為0．4，那么最終乙勝甲的概率為（

）

A0.36

B

0.352

C

0.432

D

0.648參考答案：B略8.若則是的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略9.閱讀如圖的程序框圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S的值是（）A．5049 B．5050 C．5051 D．5052參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的S，n的值，當n=1時，滿足條件n＜2，退出循環，輸出S=100+99+98+97+…+3+2=﹣1=5049．【解答】解：執行程序框圖，有n=100S=0不不滿足條件n＜2，S=100，n=99不滿足條件n＜2，S=100+99，n=98不滿足條件n＜2，S=100+99+98，n=97…不滿足條件n＜2，S=100+99+98+97+…+3，n=2不滿足條件n＜2，S=100+99+98+97+…+3+2，n=1滿足條件n＜2，退出循環，輸出S=100+99+98+97+…+3+2=﹣1=5049故選：A．10.下列各式中，最小值等于的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點且與直線垂直的直線方程為____________．參考答案：略12.若是正數，且滿足，用表示中的最大者，則的最小值為__________。參考答案：14、3略13.在一幢10米高的樓頂測得對面一塔吊頂的仰角為，塔基的俯角為，那么這座塔吊的高是

參考答案：米.14.若，則

．參考答案：15.將4名學生分配到3個學習小組，每個小組至少有1學生，則不同的分配方案共有__________種(用數字作答)．參考答案：36_略16.6位同學在一次聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品。已知6位同學之間進行了13次交換，且收到4份紀念品的同學有2人，問收到5份紀念品的人數為_______參考答案：3【分析】先確定如果都兩兩互相交換紀念品，共有次交換，可知有次交換沒有發生；再根據收到份紀念品的同學有人，可知甲與乙、甲與丙之間沒有交換，從而計算得到結果.【詳解】名同學兩兩互相交換紀念品，應共有：次交換現共進行了次交換，則有次交換沒有發生收到份紀念品的同學有人

一人與另外兩人未發生交換若甲與乙、甲與丙之間沒有交換，則甲、乙、丙未收到份紀念品收到份紀念品的人數為：人本題正確結果：【點睛】本題考查排列組合應用問題，關鍵是能夠確定未發生交換次數，并且能夠根據收到份紀念品的人數確定未發生交換的情況.17.以點為端點的線段的中垂線的方程是

；參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）設、．（1）若在上不單調，求的取值范圍；（2）若對一切恒成立，求證：；（3）若對一切，有，且的最大值為1，求、滿足的條件．

參考答案：（1）由題意，；（2）須與同時成立，即，；（3）因為，依題意，對一切滿足的實數，有．①當有實根時，的實根在區間內，設，所以，即，又，于是，的最大值為，即，從而．故，即，解得．②當無實根時，，由二次函數性質知，在上的最大值只能在區間的端點處取得，所以，當時，無最大值．于是，存在最大值的充要條件是，即，所以，．又的最大值為，即，從而．由，得，即．所以、滿足的條件為且．綜上：且略19.（本小題滿分8分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．參考答案：試題分析：（Ⅰ）利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離相互轉化．本題由可得，可求的值，進而確定拋物線方程；（Ⅱ）欲證明以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．可證明點到直線和直線的距離相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明，可轉化為證明兩條直線的斜率互為相反數．試題解析：解法一：（I）由拋物線的定義得．因為，即，解得，所以拋物線的方程為．……3分（II）因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．

由，可得直線的方程為．由，得，解得或，從而．………5分又，所以，，………7分所以，從而，這表明點到直線，的距離相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．………8分

解法二：（I）同解法一．（II）設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．由，可得直線的方程為．由，得，解得或，從而．………5分又，故直線的方程為，從而．又直線的方程為，所以點到直線的距離．這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．………8分考點：1、拋物線標準方程；2、直線和圓的位置關系．20.（12分）（2012春?蚌埠期中）已知a∈（，π），且sin+cos=．（Ⅰ）求cosa的值；（Ⅱ）若sin（α+β）=﹣，β∈（0，），求sinβ的值．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數；二倍角的余弦．

【分析】（1）把已知條件兩邊平方，移項整理，得到要求的α的正弦值．（2）角的變換是本題的中心，把β變換為（α+β）﹣α，應用兩角差的正弦公式，在應用公式同時，注意角的范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴∵∴．（Ⅱ）∵，

∴∵∴∴sinβ=sin[（α+β）﹣α=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=【點評】角的變換是本題的重點，見到以整體形式出現的角一般整體處理，不會把角展開，幾種公式在一個題目中出現，使題目的難度增大，解類似題目時，注意抓住條件和結論的內在聯系．21.已知等差數列{an}滿足a2=2，a5=8．（1）求{an}的通項公式；（2）各項均為正數的等比數列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】等比數列的前n項和；等差數列的通項公式．【專題】綜合題．【分析】（1）求{an}的通項公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由an=a5+（n﹣5）d，求出通項公式；（2）設各項均為正數的等比數列{bn}的公比為q（q＞0），利用等比數列的通項公式可求首項b1及公比q，代入等比數列的前n項和公式可求Tn．【解答】解：（1）設等差數列{an}的公差為d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得a1=0，d=2∴數列{an}的通項公式an=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）設