湖南省懷化市洪江黔陽第五中學2022年高二數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若直線l過點A（0，a），斜率為1，圓x2+y2=4上恰有1個點到l的距離為1，則a的值為（）A．3 B．±3 C．±2 D．±參考答案：B【考點】直線與圓的位置關系．【分析】由題意可得，圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑加1，即圓心（0，0）到直線l的距離等于3，再利用點到直線的距離公式求得a的值．【解答】解：由題意可得，直線l的方程為y=x+a，即x﹣y+a=0．圓x2+y2=4上恰有1個點到l的距離為1，可得圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑加1，即圓心（0，0）到直線l的距離等于3，故有=3，求得a=，故選：B．2.點P是曲線x2－y－2ln＝0上任意一點，則點P到直線4x＋4y＋1＝0的最短距離是()參考答案：B3.設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是（）A．

B．

C．

D．參考答案：

B

略4.已知復數，，若，則（）A．或 B．

C．

D．參考答案：B5.若函數f（x）=無最大值，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：D【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】求出函數f（x）的導數，可得極值點，討論a=﹣1，a＜﹣1，a＞﹣1，結合單調性和f（x）無最大值，可得a的不等式組，解不等式可得a的范圍．【解答】解：函數f（x）=的導數為f′（x）=，令f′（x）=0，則x=±1，當a=﹣1時，可得f（x）在（﹣∞，﹣1]遞增，可得f（x）在x=﹣1處取得最大值2，與題意不符，舍去；則，或，即為或，即為a＜﹣1或a∈?．綜上可得a∈（﹣∞，﹣1）．故選：D．6.若，則下列不等式中不成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖由圖中數據可知身高在[120，130]內的學生人數為（）A．20 B．25 C．30 D．35參考答案：C【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖．【專題】計算題．【分析】由題意，可由直方圖中各個小矩形的面積和為1求出a值，再求出此小矩形的面積即此組人數在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此組的人數【解答】解：由圖知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03∴身高在[120，130]內的學生人數在樣本的頻率為0.03×10=0.3故身高在[120，130]內的學生人數為0.3×100=30故選C【點評】本題考查頻率分布直方圖，解題的關鍵是理解直方圖中各個小矩形的面積的意義及各個小矩形的面積和為1，本題考查了識圖的能力8.函數f(x)的定義域為開區間（a,b），導函數在（a,b）內的圖像如圖所示，則函數f(x)在開區間（a,b）內有極小值點有A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

參考答案：A略9.若,則事件A,B的關系是A．互斥不對立

B．對立不互斥

C．互斥且對立

D．以上答案都不對參考答案：D略10.若直線與直線平行，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，其中為虛數單位，則=___________.參考答案：1略12.已知，且函數在處有極值，則的最大值為______．參考答案：略13.已知△ABC中，頂點B在橢圓上，則___

____參考答案：

14.某同學通過計算機測試的概率為，他連續測試3次，且三次測試相互獨立，其中恰有1次通過的概率為

．參考答案：15.已知單位向量和的夾角為，則=

.參考答案：略16.設P是曲線上的一個動點，則點P到點（0，1）的距離與點P到軸的距離之和的最小值是___參考答案：17.在平面直角坐標系xOy中，已知是雙曲線的一條漸近線方程，則此雙曲線的離心率為

▲

．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，，且．(1)若分別為的中點，求證：；(2)求二面角的余弦值．參考答案：（1）（6分）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系：則D（0，0，0）A（1，0，0）C（0，1，0）P（0，0，1）

B（1，1，0）F（，0，0）

E（，，）∴=（0，-，-）

=（1，0，0）=（0，-1，1）·=0，·=0

∴EF⊥BC，EF⊥PC∵CBCP=C

∴EF⊥平面PBC（2）（6分）由（1）得：（0，1，0）

（-1，0，1）·=y=0·=-x+z=0設平面PAB的法向量：=（x、y、z）則令x=1易得平面PAB的一個法向量為=（0，1，0）同理可求得平面PAC的一個法向量=（1，1，1）∴cos<，>==略19.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，且EF分別是BC，B1C1中點.（1）求證：A1B∥平面AEC1；（2）求直線AF與平面AEC1所成角的正弦值.參考答案：解：（1）證明：連接交于點，連接∵為正方形，∴為中點又為中點，所以為的中位線∴又平面，平面∴平面（2）作于，連接∵，為的中點∴又∵平面平面，且平面平面，平面∴平面，而平面∴平面平面∴平面∴即為直線與平面所成角設，則在中，，∴

20.已知函數．（1）當時，求f（x）在x=0處的切線方程；（2）函數f（x）是否存在零點，若存在，求出零點的個數；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；51：函數的零點．【分析】（1）欲求曲線y=f（x）在其上一點x=0處的切線的方程，只須求出切線斜率，切點坐標即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，利用函數求出切點坐標，進而得切線方程；（2）由于函數f（x）的定義域為（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面對x的范圍進行分類討論：當x∈（a，+∞）時，f（x）在區間（a，+∞）上沒有零點．當x∈（﹣∞，a）時，令g（x）=ex（x﹣a）+1．構造新函數，對新函數求導，做出函數的單調性，得到函數的最小值，從而得到要求的結果．【解答】解：（Ⅰ），，．當時，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1．

…．．則f（x）在x=0處的切線方程為y=﹣3x﹣1．

…．．（Ⅱ）函數f（x）的定義域為（﹣∞，a）∪（a，+∞）．當x∈（a，+∞）時，，所以．即f（x）在區間（a，+∞）上沒有零點．

…．．當x∈（﹣∞，a）時，，令g（x）=ex（x﹣a）+1．

…只要討論g（x）的零點即可．g'（x）=ex（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．當x∈（﹣∞，a﹣1）時，g'（x）＜0，g（x）是減函數；當x∈（a﹣1，a）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數．所以g（x）在區間（﹣∞，a）最小值為g（a﹣1）=1﹣ea﹣1．

…．．顯然，當a=1時，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零點；當a＜1時，g（a﹣1）=1﹣ea﹣1＞0，所以f（x）沒有零點；當a＞1時，g（a﹣1）=1﹣ea﹣1＜0，所以f（x）有兩個零點．

…．．21.（本小題滿分10分）已知曲線y=在x=x0處的切線L經過點P(2，)，求切線L的方程。參考答案：解：設切于點Q(x0，y0)，

y'=x2

則y－y0=x02(x－x0)經過(2，)

………4分x03－3x02+4=0

解得x0=－1，或x0=2

………8分

∴所求的切線方程為12x－3y－16=0或3x－y+2=0………10分略22.如圖，已知中，，斜邊上的高，以為折痕，將折起，使為直角。（1）求證：平面平面；（2）求證：（3）求點到平面的距離；（4）求點到平面的距離；

參考答案：（1）證明：

…