3.1.5

空間向量運算的坐標表示一、向量的直角坐標運算已知＝(3,-2,4)，＝(-2,5,-3)，則二、距離與夾角1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。在空間直角坐標系中，已知、，則（2）空間兩點間的距離公式終點坐標減起點坐標2.兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，反向；（3）當時，。思考：當及時，的夾角在什么范圍內？練習一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：2.求下列兩點間的距離：三、應用舉例例1已知、，求：（1）線段的中點坐標和長度；解：設是的中點，則∴點的坐標是.

（2）到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件。解：點到的距離相等，則化簡整理，得即到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件是例2如圖，在正方體中，，求與所成的角的余弦值。解：設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，則例2如圖，在正方體中，，求與所成的角的余弦值。練習二：練習三：四、課堂小結：1.基本知識：（1）向量的長度公式與兩點間的距離公式；（2）兩個向量的夾角公式。

2.思想方法：用向量計算或證明幾何問題時，可以先建立直角坐標系，然后把向量、點坐標化，借助向量的直角坐標運算法則進行計算或證明。思考題：;算卦hnq913dgk下軍工廠一樣、陰森恐怖。“這些都是……后酵罐。”張鋼鐵介紹到，這里的空氣略顯稀薄，張鋼鐵有些微微氣喘，馬啟明更是氣喘如牛，宛如拉風箱一樣。沿著仄仄的過道，走到發酵罐的最西頭。張鋼鐵與馬啟明便到了一個窄窄的鐵梯前，張鋼鐵說：“從這里上去。”因為洞口較小，剛好一個人能鉆上去。上面樓層較矮，大個子需貓著腰才能前進，轉了幾道彎后仍未到頭。馬啟明覺得由鐵條焊接的通道就像地道戰中的暗道一樣，似乎總沒有盡頭，也像迷宮一樣，他完全迷失了方向，又迷迷糊糊地爬了一個洞，上去，最后迷迷登登終于走到一間有許多長方形水泥池、光線很昏暗的大房間內。在昏黃燈光的映照下，可以看見池子兩邊排列著許多銅管，有的池子是空的，有的池內潔白細膩的泡沫正在上下翻涌著。盡管在房間墻壁上有一排換氣扇不停地轉動著往外鼓風，室內仍舊讓人有種呼吸不暢、快要窒息的感覺，這是因為啤酒發酵產生的二氧化碳釋放到空氣當中的緣故，馬啟明知道。“這些是……前酵池。”張鋼鐵有些氣喘地介紹道，“冷卻麥汁……先在這發酵……8天左右后，再打入剛才看見的……后酵罐進行后熟冷貯30天以上，成熟發酵液……經過過濾，就可以灌裝了。馬上就要進入……生產旺季了，這些池子根本……不夠用，所以廠里計劃再上……200噸的露天發酵大罐，屆時這些設備……就該淘汰了。”言語中滿是依依不舍的感情。畢竟張鋼鐵和這些設備打了二十幾年的交道，每一個發酵池、每一個發酵罐、每一根管子都是在他監督下建起來的，就像是自己的孩子一樣，二十幾年的情感呀，一下子又如何能割舍得下。張鋼鐵依依不舍地盯著眼前的發酵池再沒有出聲，目光還戀戀不舍地與它們糾纏不休。直到馬啟明叫了一聲:“張主任，咱們出去吧。”他才回過神來，輕輕地轉身向外走去，好像發酵罐太累、在睡覺似的，別把它們吵醒了。出了傳統發酵，置身于已有些燥熱的室外。馬啟明開玩笑地說：“傳統發酵與外面天氣真是冰火兩重天，好一個避暑勝地啊！唉！張主任，你剛才在老糖化說的那句話是什么意思？我一個字都沒聽懂，你能再說一次嗎？”“噢，望神尼東絲啊，這是我們這里的土話，就是看什么東西呀？意思是有什么可看的。”張鋼鐵撓了撓頭說。馬啟明搖了搖頭，說道：“一句也聽不懂。我說呢，一個中國人怎么突然說起外國話了。”要是張鋼鐵用“鳥語”罵馬啟明，說：“夯慫！細比養滴！日么么！”馬啟明還以為表揚他呢。言談之間不覺日已過半，已到了吃午飯的