湖南省婁底市外國語學院2021-2022學年高二數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知{an}為等比數列,,,則（）A.7 B.5 C.－5 D.－7參考答案：D【分析】由條件可得的值，進而由和可得解.【詳解】或.由等比數列性質可知或故選D.2.如圖所示，正方形的四個頂點分別為，曲線經過點B，現將一個質點隨機投入正方形中，則質點落在圖中陰影區域的概率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知直線的點斜式方程是，那么此直線的斜率為

(

)A．

B．

C．

D．1參考答案：D4.已知兩點F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡方程是（）A． B．C． D．參考答案：C【考點】橢圓的定義．【分析】根據|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到點P在以F1，F2為焦點的橢圓上，已知a，c的值，做出b的值，寫出橢圓的方程．【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴點P在以F1，F2為焦點的橢圓上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴橢圓的方程是故選C．5.過點（2，3）且與圓x2+y2=4相切的直線有幾條（）A．0條 B．1條 C．2條 D．不確定參考答案：C【考點】直線與圓的位置關系．【分析】切線的斜率存在時設過點P的圓的切線斜率為k，寫出點斜式方程再化為一般式．根據圓心到切線的距離等于圓的半徑這一性質，由點到直線的距離公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所設切線方程即可．切線斜率不存在時，直線方程驗證即可．【解答】解：將點P（2，3）代入圓的方程得22+32=13＞4，∴點P在圓外，當過點P的切線斜率存在時，設所求切線的斜率為k，由點斜式可得切線方程為y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3=0，∴=2，解得k=．故所求切線方程為y﹣3=（x﹣2），即5x﹣12y+26=0．當過點P的切線斜率不存在時，方程為x=2，也滿足條件．故所求圓的切線方程為5x﹣12y+26=0或x=2．故選：C6.下列命題中，真命題是

(

)A．

B．

C．

D．，參考答案：D7.數列的通項公式為，則是數列的第(

)項（A）2（B）3（C）4（D）5參考答案：C8.已知x，y滿足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，則a=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．【解答】解：由約束條件，作出可行域如圖，聯立，得B（a，2﹣a），聯立，得A（1，1），化目標函數z=2x﹣y為y=2x﹣z，由圖可知zmax=2×1﹣1=1，zmin=2a﹣2+a=3a﹣2，由=﹣2，解得：a=．故選：A．【點評】本題考查了簡單的線性規劃考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則b的值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由正弦定理可求得；利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】

由正弦定理可得：又，由余弦定理可得：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的問題，屬于基礎題.10.設（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，則a3等于（）A．C B．C C．2C D．C參考答案：B【考點】DC：二項式定理的應用；8E：數列的求和．【分析】（1+x）3中，含x3的系數為，（1+x）4中，含x3的系數為，…，（1+x）50中，含x3的系數為，利用組合數的性質+=即可得到答案．【解答】解：依題意，a3=+++…+=（+）++…+=（+）++…+=+=．故選：B．【點評】本題考查二項式定理的應用，著重考查組合數的性質+=的應用，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.我們知道：在平面內，點到直線的距離公式為，通過類比的方法，可求得：在空間中，點到平面的距離為

．參考答案：112.在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為

．參考答案：13.執行右邊的程序框圖，輸出的=_____________.參考答案：略14.拋物線的準線方程為，則焦點坐標是

▲

.參考答案：略15.過點M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：相交于A，B，則直線AB的方程

；若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為．參考答案：x+2y﹣3=0，．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由直線的點斜式方程：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：x+2y﹣3=0，由①，②，利用中點坐標公式及作差法，即可求得a與b的關系，則c==b，e===．【解答】解：由題意可知：直線的點斜式方程：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：x+2y﹣3=0，解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則①，②，∵M是線段AB的中點，∴=1，=1，由=﹣∵①②兩式相減可得+=0，即+（﹣）=0，整理得：a=b，c==b∴e===．橢圓C的離心率．故答案為：x+2y﹣3=0，．16.，，則實數的取值范圍為 參考答案：略17.已知命題p：，命題q：，若命題p是命題q的充分不必要條件，則實數m的范圍是______．參考答案：(0,2)【分析】先求出命題和命題的取值范圍，再根據命題和命題的充分不必要條件，利用集合之間的關系，即可求解.【詳解】由題意，可的命題得或，即集合或命題得或，即集合或，因為命題和命題的充分不必要條件，即集合A是集合B的真子集，所以，解得，又，所以，又由當時，命題和命題相等，所以，所以實數的取值范圍是，即.【點睛】本題主要考查了充分不必要條件的應用，其中解答中正確求解命題和命題，轉化為集合之間的關系求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及運算與求解能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分)甲乙兩個學校高三年級分別為1100人，1000人，為了統計兩個學校在地區二模考試的數學科目成績，釆用分層抽樣抽取了105名學生的成績，并作出了部分頻率分布表如下：（規定考試成績在[120，150]內為優秀）甲校.分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數231015[15X31

乙校：分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110][110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數12981010y3（1）計算x,y的值；（2）由以上統計數據填寫下面2X2列聯表，并判斷是否有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異.附：P(k2>k0)0.100.0250.010K2.7065.0246.635

參考答案：19.某工廠對200個電子元件的使用壽命進行檢查，按照使用壽命（單位：h）可以把這一批電子元件分成第一組[100，200]，第二組（200，300]，第三組（300，400]，第四組（400，500]，第五組（500，600]，第六組（600，700]，由于工作不慎將部分數據丟失，現有以下部分圖表：分組[100，200]（200，300]（300，400]（400，500]（500，600]（600，700]頻數B30EF20H頻率CD0.20.4GI（1）求圖2中的A及表格中的B，C，D，E，F，G，H，I的值；（2）求圖中陰影部分的面積．參考答案：【考點】頻率分布表．【分析】（1）根據頻率=頻數/總數，利用圖中第一組的數據即得；（2）根據：“圖中陰影部分的面積”即為400～600之間的概率值，從而解決問題【解答】解：（1）由題意可知0.1=A?100，∴A=0.001，∵頻率=頻數/總數，∴0.1=，∴B=20，∴C=0.1，D=0.15，E=40，F=80，G=0.1，∴H=10，I=0.05．（2）陰影部分的面積0.4+0.1=0.5【點評】本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力．利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．20.在極坐標系中，已知曲線設與交于點（1）求點的極坐標；（2）若動直線過點，且與曲線交于兩個不同的點求的最小值。參考答案：（1）由解得點的直角坐標為因此點的極坐標為（2）設直線的參數方程為為參數），代入曲線的直角坐標方程并整理得設點對應的參數分別為則ks5u當時，，有最小值

略21.某學校高一年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些這些學生的原始成績均分布在[50，100]內，發布成績使用等級制，各等級劃分標準見表，規定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD為了解該校高一年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖所示．（1）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；（2）根據樣本估計總體的思想，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，若在該校高一學生中任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；（3）在選取的樣本中，從A，C兩個等級的學生中隨機抽取了3名學生進行調研，記ξ表示抽取的3名學生中為C等級的學生人數，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．參考答案：【考點】概率的應用；離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）根據頻率分布直方圖和樹形圖求解；（2）至少有一人可從反面出發，用間接法求解；（3）根據分布列的定義和數學期望的計算方法求解即可．【解答】解：（1））由題意可知，樣本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率為0.1，設至少有1人成績是合格等級為事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成績是合格等級的概率為；（3）C等級的人數為0.18×50=9人，A等級的為3人，∴ξ的取值可為0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列為ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=．22.(本小題滿分12分)已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是（1）求的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為，第二次取出的小球標號為（i）記“”為事件,求事件的