湖南省岳陽市市中學2021-2022學年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數f(x)在R上單調遞減,且為奇函數.若f(1)=－1,則滿足的x的取值范圍是A．[-2,2]

B．[-1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]參考答案：D2.已知，動點滿足，則動點的軌跡所包圍的圖形的面積等于A．

B．

C．

D．

參考答案：B略3.已知向量＝(cosa,sina),＝(cosb,sinb)，若|－|＝，則和的夾角為(

)A.60°

B.90°

C.120°

D.150°參考答案：B4.已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|，當m取最大值時|PA|的值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質．【分析】過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結合|PA|=m|PF|，設PA的傾斜角為α，則當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，求出P的坐標，即可求得|PA|的值．【解答】解：拋物線的標準方程為x2=4y，則拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為y=﹣1，過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，設PA的傾斜角為α，則sinα=，當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，設直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故選D．【點評】本題考查拋物線的性質，考查拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，解答此題的關鍵是明確當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．5.設，則＝

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.執行下圖的程序框圖，若輸入的分別為1,2,3，則輸出的=.

.

.

.參考答案：D輸入；時：；時：；時：；時：輸出.

選D.7.曲線在點（2，8）處的切線方程為

A．B．C．D．參考答案：B8.2019年5月22日具有“國家戰略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”.現有4名高三學生準備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游，假設每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游，則恰有一個地方未被選中的概率為A． B． C． D．參考答案：B9.圖1是某高三學生進入高中三年的數學考試成績的莖葉圖，圖中第1次到14次的考試成績依次記為圖2是統計莖葉圖中成績在一定范圍內考試次數的一個算法流程圖.那么算法流程圖輸出的結果是（

）A．

B．

C．

D． 參考答案：D略10.（5分）把函數y=sin3x的圖象適當變化就可以得y=（sin3x﹣cos3x）的圖象，這個變化可以是（）A．沿x軸方向向右平移B．沿x軸方向向右平移C．沿x軸方向向左平移D．沿x軸方向向左平移參考答案：B【考點】：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】：三角函數的圖像與性質．【分析】：由條件根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．解：y=（sin3x﹣cos3x）=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），故把函數y=sin3x的圖象沿x軸方向向右平移個單位，即可得到y=（sin3x﹣cos3x）的圖象，故選：B．【點評】：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線x＋y＋1＝0的傾斜角是

.參考答案：12.若集合A={x|lgx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，則A∩B=．參考答案：（0，1]分析： 由對數函數、正弦函數的性質求出集合A、B，再由交集的運算求出A∩B．解答： 解：由lgx＜1=lg10得，0＜x＜10，則集合A={x|0＜x＜10}=（0，10），由﹣1≤sinx≤1得，集合B={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，所以A∩B=（0，1]，故答案為：（0，1]．點評： 本題考查了交集及其運算，以及對數函數、正弦函數的性質，屬于基礎題．13.給出下列四個命題，其中不正確命題的序號是

。①若；②函數的圖象關于x=對稱；③函數為偶函數，④函數是周期函數，且周期為2。參考答案：答案：1，2，414.函數f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質P．設f（x）在[1，2015]上具有性質P．現給出如下命題：①f（x）在[1，2015]上不可能為一次函數；②若f+f≥2016；③對任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]；④函數f（x）在[1，]上具有性質P．其中真命題的序號是

．參考答案：②③④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】若f（x）在[a，b]上具有性質P，則函數（x）在[a，b]上不是凸函數，進而分析四個結論的真假，可得答案．【解答】解：若f（x）在[a，b]上具有性質P，則函數（x）在[a，b]上不是凸函數，故：①f（x）在[1，2015]上不可能為一次函數，錯誤；②若f+f]≥f+f≥2016，正確；③對任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，正確；④[1，]?[1，2015]，故函數f（x）在[1，]上一定具有性質P．故真命題的序號為：②③④，故答案為：②③④15.若曲線f（x）=3x+ax3在點（1，a+3）處的切線與直線y=6x平行，則a=．參考答案：1【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出f（x）的導數，求出切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a=1．【解答】解：f（x）=3x+ax3的導數為f′（x）=3+3ax2，即有在點（1，a+3）處的切線斜率為k=3+3a，由切線與直線y=6x平行，可得3+3a=6，解得a=1．故答案為：1．16.已知滿足約束條件，那么的最大值為

.參考答案：試題分析：畫出不等式組表示的平面區域如圖,結合圖形可以看出當動直線經過交點時,動直線在軸上的截距最小,此時的值最大,即,故應填.考點：線性規劃等有關知識的綜合運用．【易錯點晴】本題考查的是線性規劃的有關知識及綜合運用.解答時先依據題設條件畫出不等式組表示的平面區域如圖,借助題設條件搞清楚的幾何意義是動直線在軸上的截距,然后數形結合,平行移動動直線,通過觀察可以看出當動直線經過時,動直線在軸上的截距最小,此時的值最大,最大值為.17.若一個圓錐的母線長是底面半徑的倍，則該圓錐的側面積是底面積的

倍.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分10分）設函數.（Ⅰ）若的最小值為3，求值；（Ⅱ）求不等式的解集．參考答案：⑴因為因為,所以當且僅當時等號成立,故為所求.……4分⑵不等式即不等式，①當時，原不等式可化為即所以，當時，原不等式成立.②當時，原不等式可化為即所以，當時，原不等式成立.③當時，原不等式可化為即由于時所以，當時，原不等式成立.綜合①②③可知：不等式的解集為……10分19.已知F是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，O為拋物線的頂點，準線與x軸的交點為M，點N在拋物線上．（1）求直線MN的斜率的取值范圍，記λ=，求λ的取值范圍；（2）過點N的拋物線的切線交x軸于點P，則xN+xP是否為定值？（3）在給定的拋物線上過已知定點P，給出用圓規與直尺作過點P的切線的作法．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）直線，聯立y2=2px，利用判別式求直線MN的斜率的取值范圍，記λ=，并求λ的取值范圍；（2）設切線方程為y﹣yN=k（x﹣xN），聯立y2=2px，利用判別式可得xP=﹣xN，即可確定xN+xP=0；（3）過P做x軸垂線，交x軸于點Q，在x軸負半軸上截取ON=OQ，連接NP即可．【解答】解：（1）直線，聯立y2=2px得，△≥0，解得，∴．（2）設切線方程為y﹣yN=k（x﹣xN），聯立y2=2px得，，∴2k2xN+p=2kyN，即，∴kyN=p，，即xN+xP=0．（3）過P做x軸垂線，交x軸于點Q，在x軸負半軸上截取ON=OQ，連接NP，即為切線．20.已知函數的最小值等于3.（1）求m的值；（2）若正數a、b、c滿足，求的最大值.參考答案：（1）；（2）3.【分析】（1）分、、三種情況討論，分析函數的單調性，可得出函數的最小值，進而可求得的值；（2）利用柯西不等式得出，由此可得出的最大值.【詳解】（1）.當時，，此時，函數單調遞減，則；當時，，此時，函數單調遞減，則；當時，，此時，函數單調遞增，則綜上所述，，解得；（2）由（1）可得，且、、均為正數，由柯西不等式得，即，.當且僅當時，等號成立，因此，的最大值為.【點睛】本題考查含絕對值函數最值的求解，同時也考查了利用柯西不等式求三元代數式的最值，考查分類討論思想以及計算能力，屬于中等題.21.已知函數．(1)若，求的最小值；(2)若f(x)在(0,+∞)上單調遞增，求a的取值范圍；(3)若，求證：．參考答案：（1）；（2）；（3）詳見解析.【分析】（1）先求出，再用求導的方法求出單調區間，極值，從而求出最值；（2）問題轉化為在恒成立，方法有二：解法一：對分類討論，求出；解法二：分離出參數，構造函數，轉化為與函數的最值關系；（3）應用二次求導，先確定，要證，轉為證，利用函數的單調性證轉為證的大小關系，構造函數，通過研究函數的最值，從而得到結論.【詳解】解：(1)函數的定義域為，，

若，記，則

的單調減區間為，單調增區間為.

的最小值為

（2）在上單調遞增,當且僅當在區間恒成立，即在區間恒成立，

(I)

若，由（1）知在定義域上單調遞增，滿足條件

(II)若，令，所以取有，不合題意綜上所述，若在上單調遞增，則的取值范圍是

(2)法二：記，則記,則在上單調遞減(根據洛比塔法則)

.

（3）

若，，∴在上單減，當時，在（0，1）上單增；當時，在（1，+）上單減；令，則其中令當時，在單減，在（0，1）上單增，又在上單調遞減【點睛】本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查分類討論數學思想，合理構造函數是解題的關鍵，屬于難題.22.（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足（a﹣b）（sinA﹣sinB）=csinC﹣asinB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a＞b，且△ABC的面積為，求的值．參考答案：考點： 正弦定理；三角函數中的恒等變換應用．專題： 解三角形．分析： （1）△ABC中，由條件利用正弦定理求得a2+b2﹣c2=ab．再利