湖南省婁底市漣源石陶鄉中學2021-2022學年高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是球的球面上的兩點，為球面上的動點.若三棱錐的體積最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.參考答案：A設球的半徑為R，當平面時三棱錐的體積最大，，球的表面積為，選A.2.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個半圓和兩條線段組成，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據三視圖可確定幾何體為一個底面半徑為的半圓柱中間挖去一個底面半徑為的半圓柱；依次計算出上下底面面積、大圓柱和小圓柱側面積的一半以及軸截面的兩個矩形的面積，加和得到結果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為一個底面半徑為的半圓柱中間挖去一個底面半徑為的半圓柱幾何體表面積：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何體表面積的求解問題，關鍵是能夠通過三視圖確定幾何體，從而明確表面積的具體構成情況.3.圓：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的點到直線x﹣y=2的距離最大值是(

)A．2 B． C． D．參考答案：B【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題．【分析】先將圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0轉化為標準方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明確圓心和半徑，再求得圓心（1，1）到直線x﹣y=2的距離，最大值則在此基礎上加上半徑長即可．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化為標準形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圓心為（1，1），半徑為1圓心（1，1）到直線x﹣y=2的距離，則所求距離最大為，故選B．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，當考查圓上的點到直線的距離問題，基本思路是：先求出圓心到直線的距離，最大值時，再加上半徑，最小值時，再減去半徑．4.與函數y＝|x|為同一函數的是(

)參考答案：B略5.已知函數的圖象在點處的切線為l，若l也與函數，的圖象相切，則必滿足（）A. B.C. D.參考答案：D函數的導數為，圖像在點處的切線的斜率為，切線方程為，設切線與相切的切點為，，即有的導數為，可得，切線方程為，令，可得，由，可得，且，解得，由，可得，令，，在時單調遞增，且，，所以有的根，故選D.6.△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sinA=，b=sinB，則a等于（）A．3 B． C． D．參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】根據正弦定理的式子，將題中數據直接代入，即可解出a長，得到本題答案．【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB，∴根據正弦定理，得解之得a=故選：D7.己知雙曲線E的中心在原點，F（5，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB中點為（9，），則E的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用點差法求出直線AB的斜率，再根據F（5，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為（9，），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．【解答】解：由題意，不妨設雙曲線的方程為E：﹣=1（a＞0，b＞0），∵F（5，0）是E的焦點，∴c=5，∴a2+b2=25．設A（x1，y1），B（x2，y2）則有：x1+x2=18，y1+y2=9，A，B代入相減可得AB的斜率，∵AB的斜率是=∴=，即16b2=9a2將16b2=9a2代入a2+b2=25，可得a2=16，b2=9，∴雙曲線標準方程是=1．故選D．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查點差法解決弦的中點問題，考查學生的計算能力，解題的關鍵是利用點差法求出直線AB的斜率．8.設點是曲線上的點，又點，，下列結論正確的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C9.已知為正實數，且（

）A,

B

C

D參考答案：C10.已知圓C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，從點P（﹣1，﹣3）發出的光線，經x軸反射后恰好經過圓心C，則入射光線的斜率為（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【考點】與直線關于點、直線對稱的直線方程．【分析】根據反射定理可得圓心C（2，﹣1）關于x軸的對稱點D（2，1）在入射光線上，再由點P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，利用斜率公式求得入射光線的斜率．【解答】解：根據反射定律，圓心C（2，﹣1）關于x軸的對稱點D（2，1）在入射光線上，再由點P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，可得入射光線的斜率為=，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.點M，N分別是曲線上的動點，則|MN|的最小值是

。參考答案：112.已知-3+2i是關于x的方程2x2+px+q=0的一個根，（p、q∈R），則p+q=________;參考答案：3813.已知，則

參考答案：14.圓柱的側面展開圖是邊長為和的矩形，則圓柱的體積為

參考答案：或15.某校老年教師90人、中年教師180人和青年教師160人，采用分層抽樣的方法調查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則該樣本的老年教師人數為．參考答案：18【考點】分層抽樣方法．【分析】由題意，老年和青年教師的人數比為90：160=9：16，即可得出結論．【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數比為90：160=9：16，設老年教師為x人則，解得x=18所以老年教師有18人，故答案為：18．16.已知偶函數在單調遞減，.若，則的取值范圍是__________；參考答案：略17.若關于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1），則實數m=．參考答案：【考點】一元二次不等式的應用．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的兩根．根據韋達定理便可分別求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的兩根由韋達定理得：，解得：m=，a=1．【點評】本題考查一元二次不等式的解法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，底面為正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直于底面，D為線段B1C1中點．（Ⅰ）證明：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一點E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，請找出點E所在位置，并給出證明；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）連接AB1，交A1B于點F，連接DF，由DF∥AC1，能證明AC1∥平面A1BD．（Ⅱ）存在點E，為CC1中點，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1．證法1：推導出EF⊥A1B，EF⊥AB1，從而EF⊥平面A1ABB1，由此能證明平面A1BE⊥平面A1ABB1．證法2：取AB中點G，連接EF，CG，FG，推導出四邊形CEFG為平行四邊形，從而CG∥EF，進而CG⊥平面A1ABB1，由此能證明平面A1BE⊥平面A1ABB1．【解答】證明：（Ⅰ）連接AB1，交A1B于點F，連接DF，△AB1C1中，D，F分別為A1B，B1C1中點，所以DF∥AC1．…因為DF?平面A1BD，AC1?平面A1BD，所以AC1∥平面A1BD．…解：（Ⅱ）存在點E，為CC1中點，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1…證明如下：方法1：△A1BE中，因為A1E=BE，且F為A1B中點，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．…因為A1B∩AB1=F，A1B，AB1?平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF?平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…方法2：取AB中點G，連接EF，CG，FG．因為FG∥AA1，且，CE∥AA1，且，所以FG∥CE，且FG=CE，所以，四邊形CEFG為平行四邊形，所以CG∥EF…因為AA1⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以CG⊥AA1．又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB?平面A1ABB1，所以，CG⊥平面A1ABB1…因為CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF?平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…【點評】本題考查線面平行的證明，考查滿足面面垂直的點是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．19.某校高三數學競賽初賽考試后，對90分以上(含90分)的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示．若130～140分數段的人數為2人．（Ⅰ）求90～140分之間的人數；（Ⅱ）求這組數據的眾數M及平均數N；（III）現根據初賽成績從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中共選出兩人，形成幫扶學習小組．若選出的兩人成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．參考答案：解：（1）設90～140分之間的人數是n，由130～140分數段的人數為2，可知0.005×10×n＝2，得n＝40...……3分(2)眾數M＝115...……5分平均數N＝95×0.1＋105×0.25＋115×0.45＋125×0.15＋135×0.05＝113....……8分(3)依題意，第一組共有40×0.01×10＝4人，記作A1、A2、A3、A4；第五組共有2人，記作B1、B2，從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}、{A1，B1}、{A2，B1}、{A2，B2}、{A3，B1}、{A3，B2}、{A4，B1}、{A4，B2}、{A1，B2}、{B1，B2}．設事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”．若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，故P(A)＝....……14分

略20.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.

參考答案：(2)略21.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若，，求m的取值范圍.參考答案：（1）當時，，，則，，故曲線在點處的切線方程為，即.（2），當時，在上單調遞減.當時，若，；若，.∴在上單調遞減，在上單調遞增.當時，若，；若，.∴在上單調遞減，在上單調遞增.（3）∵，∴由（2）知.設，，∵，∴.∴在上單調遞增，∴，∴，故的取值范圍為.22.（1）點P是橢圓+=1上的動點，求點P到直線4x+3y=12的最大距離；（2）已知