第二講第三節一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列說法正確的是()A．垂直于半徑的直線是圓的切線B．垂直于切線的直線必經過圓心C．圓的切線垂直于經過切點的半徑D．垂直于切線的直線必經過切點解析：垂直于半徑且經過半徑外端的直線是圓的切線，A錯誤，B顯然不正確，C正確，D顯然不正確．答案：C2．如圖，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA＝6，PB＝4，則⊙O的半徑是()A．eq\f(5,2) B．eq\f(5,6)C．2 D．5解析：令OA＝OB＝r，∵PA切⊙O于點A，所以PA2＋OA2＝OP2，即62＋r2＝(r＋4)2.解得r＝eq\f(5,2).答案：A3．如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過B點的切線與AD的延長線交于C，若AD＝DC，則sin∠ACO等于()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(2),10)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),4)解析：連接BD，作OE⊥AC于E.∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB為直徑，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，設⊙O的半徑為R，∴OC＝eq\r(BC2＋OB2)＝eq\r(4R2＋R2)＝eq\r(5)＝eq\f(\r(2),2)R.∴sin∠ACO＝eq\f(OE,OC)＝eq\f(\f(\r(2),2)R,\r(5)R)＝eq\f(\r(10),10).答案：A4．如圖所示，AC切⊙O于D，AO的延長線交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝()A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．1∶解析：如圖所示，連接OD、OC，則OD⊥AC．∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∵OB＝OD，OC＝OC，∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC．∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，∴AD＝DC．∴BC＝eq\f(1,2)AC．又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.∴OB＝OD＝eq\f(1,2)AO.∴eq\f(AO,OB)＝eq\f(2,1).答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2023·四川卷)若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是__________________.解析：由題意得OA⊥O1A∴在Rt△OO1A中，eq\f(|AB|,2)＝2，∴|AB|＝4.答案：46．PA、PB切⊙O于A、B，PA＝5，在劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上取一點C，過C作⊙O的切線，分別交PA、PB于D、E兩點，則△PDE的周長等于________.解析：由DC＝DA，CE＝EB，∴△PDE的周長＝PD＋DE＋PE＝PD＋PE＋DC＋CE＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA＋PB，又PA＝PB＝5，∴△PDE的周長為10.答案：10三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖所示，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB＝CD，且AB與小圓相切于點E.求證：CD與小圓相切．證明：如圖所示，分別連接OA、OB、OC、OD、OE，過圓心O，作OF⊥CD．∵AB是小圓的切線，∴OE⊥AB．又∵AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD，∴△AOB≌△COD，∴OE＝OF，∴OF為小圓的半徑．∴CD與小圓相切．8．如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內部，點M是BC的中點．(1)證明：A、P、O、M四點共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．解析：(1)證明：如圖所示，連接OP、OM.∵AP與⊙O相切于點P，∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中點，∴OM⊥BC．∴∠OPA＋∠OMA＝180°.∵圓心O在∠PAC的內部，∴四邊形APOM的對角互補，∴A、P、O、M四點共圓．(2)由(1)得A、P、O、M四點共圓，∴∠OAM＝∠OPM.由(1)得，OP⊥AP.由圓心O在∠PAC的內部，可知∠OPM＋∠APM＝90°.∴∠OAM＋∠APM＝90°.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)(1)如圖①，⊙O與△ABC的三邊都相切，切點分別為D、E、F.如果∠FDE＝70°，那么∠A是多少度？(2)一變：如圖②，⊙O與△ABC的三邊都相切，切點分別為D，E，F，如果∠A＝30°，那么∠FDE是多少度？(3)二變：如圖③，△ABC中，內切圓O和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，你認為∠FDE和∠A有什么數量關系？說明理由．解析：(1)連接OE、OF，則OE⊥AC，OF⊥AB．∠EOF＝2∠FDE＝2×70°＝140°.因為∠A＋∠AFO＋∠FOE＋∠AEO＝360°，所以∠A＝360°－∠FOE－∠AFO－∠AEO＝360°－140°－90°－90°＝40°.(2)連接OF、OE.因為AB、AC與⊙O分別相切于點F、E.所以OF⊥AB，OE⊥AC，所以∠EOF＝360°－∠A－∠AFO－∠AEO＝360°－30°－90°－90°＝150°，所以∠FDE＝eq\f(1,2)∠EOF＝eq