河南省洛陽(yáng)市第四十七中學(xué)2022年度高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)的最小正周期是T，將其圖象向左平移后，得到的圖象如圖所示，則函數(shù)的單增區(qū)間是（

）A. B.C. D.參考答案：A由已知圖象知，的最小正周期是所以解得.由得到，單增區(qū)間是或：因?yàn)樗詫⒌膱D象向左平移后，所對(duì)應(yīng)的解析式為.由圖象知，所以.由得到，單增區(qū)間是點(diǎn)晴：本題考查的是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知函數(shù)的圖象求解析式;(1);(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.確定解析式后，再根據(jù)可得單增區(qū)間是.2.已知，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）則它們的大小順序是（

）A． B． C． D．參考答案：C3.設(shè)數(shù)列:,N*,則

被64除的余數(shù)為A.0

B.2

C.16

D.48參考答案：解析：數(shù)列

模64周期地為2，16，－2，－16，…….又2005被4除余1,故選C4.直線經(jīng)過(guò)A(2,1)，B(1，m2)兩點(diǎn)(m∈R)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()A．[0，π)

B．∪

C．

D．∪參考答案：B5.下列函數(shù)與有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是（

）．A． B． C．（且） D．（且）參考答案：D選項(xiàng)，，與對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故圖象不同，錯(cuò)；選項(xiàng)，定義域?yàn)椋c定義域不同，錯(cuò)；選項(xiàng)，定義域?yàn)椋c定義域不同，故錯(cuò)；選項(xiàng)，與定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩函數(shù)圖象相同，故正確．綜上，故選．6.（3分）=（） A． B． C． D． 參考答案：B考點(diǎn)： 運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．專題： 計(jì)算題．分析： 利用誘導(dǎo)公式，把要求的式子用一個(gè)銳角的三角函數(shù)值來(lái)表示．解答： cos=cos（π+）=﹣cos=﹣，故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，cos（π+α）=﹣cosα，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．7.已知向量，，滿足，，若，則的最小值是（

）A.

B.

C.1

D.2參考答案：A8.若3m=b，則=（）A．2m B． C．m2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】先求出m=log3b，由此能求出的值．【解答】解：∵3m=b，∴m=log3b∴==．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)式求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式的合理運(yùn)用．9.已知函數(shù)y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，則它的圖象是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】先依據(jù)條件判斷a＞0，且c＜0，聯(lián)系二次函數(shù)的圖象特征，開(kāi)口方向、及與y軸的交點(diǎn)的位置，選出答案．【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，得a＞0，且c＜0，∴f（0）=c＜0，∴函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，故選

D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象特征，由二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)確定開(kāi)口方向，由c值確定圖象與y軸的交點(diǎn)的位置．10.在①；②；③；④上述四個(gè)關(guān)系中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則=

.參考答案：3試題分析：設(shè)函數(shù)，代入點(diǎn)，解得，所以，

12.存在使不等式成立，則的取值范圍為

_;參考答案：13.半徑為10cm，面積為100cm2的扇形中，弧所對(duì)的圓心角為．參考答案：214.已知圓的圓心在直線上并且經(jīng)過(guò)圓與圓的交點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。參考答案：15.設(shè)函數(shù)則

參考答案：－4∵，∴。答案：

16.計(jì)算2sin390°﹣tan（﹣45°）+5cos360°=．參考答案：7【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)求值即可得出．【解答】解：原式=2sin30°﹣（﹣1）+5×1=1+1+5=7．故答案為：7．17.植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù),每人植一棵,相鄰兩棵樹(shù)相距10米.開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小,這個(gè)最小值為_(kāi)_______(米).

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，AC=BC，D為邊AC的中點(diǎn)，AB=BD.（Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）若△ABD的外接圓半徑為1，求△BDC的外接圓半徑.參考答案：解：（Ⅰ）連接，在，中由余弦定理得：；（Ⅱ）令，在中有：，則有：（為的外接圓半徑），則有：（為外接圓半徑）.

19.如圖，在平面斜坐標(biāo)系XOY中，∠XOY=60°，平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若（其中，分別為與X軸，Y軸同方向的單位向量），則P點(diǎn)的斜坐標(biāo)為（1）若點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)為(2,－2)，求點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離.（2）求以原點(diǎn)O為圓心且半徑為1的圓在斜坐標(biāo)系XOY中的方程.（3）在斜坐標(biāo)系XOY中，若直線交（2）中的圓于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)t為何值時(shí)，的面積取得最大值？并求此最大值.參考答案：（1）2；（2）；（3）時(shí)，取得最大值.【分析】（1）根據(jù)斜坐標(biāo)的定義可知，通過(guò)平方運(yùn)算求得，即為所求距離；（2）設(shè)坐標(biāo)，可知；利用整理可得結(jié)果；（3）將與（2）中所求方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，又的高為，根據(jù)三角形面積公式構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)值域求解方法可求得所求最大值.【詳解】（1）由點(diǎn)的斜坐標(biāo)為得：，則即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（2）設(shè)所求圓上的任意一點(diǎn)的斜坐標(biāo)為，則由圓的半徑為得：，即即所求圓的方程為：（3）直線是平行于軸的直線當(dāng)時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為：，聯(lián)立與得：，的面積當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算的問(wèn)題，需要充分理解斜坐標(biāo)系的定義，關(guān)鍵是能夠?qū)⑿弊鴺?biāo)系中的距離等價(jià)于向量模長(zhǎng)的求解.20.（1）求直線在矩陣對(duì)應(yīng)變換作用下的直線l的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，求曲線C與直線l交點(diǎn)的極坐標(biāo).參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線上任意一點(diǎn)，在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下的點(diǎn)，然后矩陣的變換列出關(guān)系式，代入原直線方程即可求出變換后的直線.（2）將曲線C和直線方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可.【詳解】（1）設(shè)直線上任意一點(diǎn)，在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下的點(diǎn)則，所以，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以變換后的直線的方程為.（2）已知曲線（α為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為．轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：.由，解得：或轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查矩陣變換公式和點(diǎn)的坐標(biāo)變換，考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互換，屬于基礎(chǔ)題.21.函數(shù)是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）證明函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）為（﹣1，1）上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，則f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因?yàn)椹?＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化為f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）為奇函數(shù)，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）為（﹣1，1）上的增函數(shù)，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；聯(lián)立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集為．22.（本小題滿分12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng),時(shí)，有成立． （Ⅰ）判斷在上的單調(diào)性，并加以證明； （Ⅱ）若對(duì)所有的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案： 解：（Ⅰ）任取x1,x2[－1,1]，且x1＜x2，則－x2[－1,1]．因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)． 所以f（x1）－f（x2）=f（x1）+f（－x2）=·（x1－x2）, 由已知得＞0，x1－x2＜0， 所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在[－1,1]上單調(diào)遞增． （Ⅱ）因?yàn)閒（1）=1,f（x）在[－1,1]上單調(diào)遞增， 所以在[－1