§1.4獨立性條件概率P(AIB)是當知道事件B發生了的條件下對事件A的概率的調整，許多時候這個調整后的P(AIB)與沒有調整過的概率P(A)有差異，這表明事件B的發生對事件A發生的概率是有影響的，也就是說這兩個事件之間存在著一些關聯.但有也一些場合也會出現P(A)=P(AIB)的情形.例如在上一節例1中，如果甲、乙兩車間生產的產品中正品數與次品數之比相等，則有P(A)=P(AIB).再比如：例1一個袋有7個球，其中5個紅球,2個白球.從中依次取2次球,每次取一個，設B="第一次取到紅球"，A="第二次取到紅球”.如果是不放回地取球，那么P(A)豐P(AIB).如果是有放回地取球，那么P(A)=P(AIB).如果出現P(A)=P(AIB)的情形，則意味著事件B的發生對事件A發生的概率沒有影響,這時在概率論上就說A與B是相互獨立的兩事件.注意到:如果P(B)>0,則P(A)=P(AIB)的充要條件是P(AB)=P(A)P(B)而后一式子不受P(B)>0的限制.為了避免這個限制條件，我們可用等式P(AB)=P(A)P(B)來刻劃獨立性.一.兩事件的獨立性定義設A,B為兩事件，若P(AB)=P(A)P(B)稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立,否則稱A與B不獨立或相依。由此定義易得下面結論(1)若A與B相互獨立，則A與B相互獨立；A與B相互獨立；A與B相互獨立.換言之，這4對事件中有一對獨立，則其余3對事件均相互獨立.(2)若P(A)>0,則A與B相互獨立OP(BIA)=P(B).結合(1)可知,若P(A)<1,則A與B相互獨立OP(BIA)=P(B).可見A與B相互獨立時，無論事件A發生還是不發生都不會對B發生的概率產生影響.⑶若P(A)=0,則A與任一事件B獨立.結合(1)可知，若P(A)=1,則A與任一事件B獨立.例2續領獎問題.例3將一顆骰子擲兩次,記事件A="第一次出現1點"，B="第二次出現2點"，C=“兩次點數之和為7"，D="兩次點數之和為5”，A與B獨立否？A與C獨立否？A與D獨立否？C與D獨立否？解:(1)A與B獨立；A與C獨立；A與D不獨立；C與D不獨立.以上結果中，A與B獨立根據背景便可直接判斷.C與D不獨立亦可直接判斷，這里有一個更一般的事實，在A,B的均有正概率的前提下，A與B互斥則A與B不獨立.由此可見獨立與互斥是完全不同的概念.不要混淆.例設P(A)=0.5,P(AuB)=0.8,⑴若A與B互斥，則P(B)=―；(2)若A與B獨立，則P(B)=.二.多個事件的獨立性.若三個事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)那么A,B,C中任兩個事件都獨立，此時我們稱為A,B,C兩兩獨立.若A,B,C兩兩獨立，是否可推AB與C獨立？看下面例子.例4續例3,可以判斷A,B,C兩兩獨立。但AB與C互斥且概率均大于零，故AB與C不獨立。可見上面問題的答案是否定的.因此有下面定義。定義設A,B,C為三個事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)；P(ABC)=P(A)P(B)P(C)稱事件A,B,C相互獨立，否則稱A,B,C不相互獨立.以上定義可推廣至三個以上事件的獨立性。定義設A,A…,A為n個事件，若對任意k=2,3,…,n，及任意k個事件A,A，…,A1 2n /1 弓 ik(i1<i2<???<ij,都有P(AA…A)=P(A)-P(A)i1i2 ik i1 ik稱事件A1,A2…,A，相互獨立.由定義，可以得到下面兩個推論.(1)若事件A1,A2…,A^相互獨立，則其中任一部分事件也相互獨立.(2)若事件A,A…,A相互獨立，則將這幾個事件中任一部分事件換成它們各自的對立事1 2n件,所得的n個事件仍相互獨立獨立性的概念是概率論中極重要的一個概念，它的重要性主要體現在可使概率的計算簡化，一些理論問題的處理也變得簡便。而在實際問題中，我們很少會用事件獨立的定義去驗證是否獨立，而是依據實際背景去判斷事件之間是否相依，若可認為事件之間沒有相依性或相依性很少以至于可以忽略，則可認為這些事件相互獨立，從而可利用獨立性定義及獨立性所賦予的性質去計算一些復雜事件的概率。例5(分獵物問題)甲、乙兩位獵人同時向一獵物射擊，已知甲、乙兩位獵人打中獵物的概率分別為0.5,0.6，(1)獵物被打中的概率；(2)如獵物被打中，獵物該如何分？例6(可靠性問題)系統由多個子系統組成，系統的可靠性(指在一定時間內能正常工作的概率)取決于子系統的可靠性及系統的組成方式假設各個子系統的可靠性均為P，且各個子系統都獨立地工作.試求以下系統的可靠性.三.獨立試驗序列模型獨立試驗序列模型是概率論及數理統計中非常重要的概率模型.定義若試驗E1的任一結果(即任一事件),試驗E2的任一結果，……,試驗En的任一結果都相互獨立,則稱試驗E1,E2,……,E，相互獨立.如果這樣的n個試驗是相同的，每次試驗可能的結果只有兩個A和A(或只考慮兩個結果),并且在每次試驗中結果A發生的概率保持不變,則稱這n次試驗為n重伯努利試驗.在n重伯努利試驗中，若每次試驗中結果A發生的概率均為p,則結果A恰好發生k(k=0,1，…,n)次的概率為p(k)=Ckpkqn-k,q=1-pn n證明：首先考慮事件：某特定的k次試驗出現結果A,另外n-k次試驗不出現結果A.由試驗的獨立性知該事件的概率為pkqn-k，又由于n次試驗結果的序列里，包含k次試驗出現結果A而另外n-k次試驗不出現結果A的序列共有Ck個，且這Ck個序列是兩兩互不相n n容,故結果A恰好發生k(k=0,1, ,n)次的概率為p(k)=Ckpkqn一k以上公式稱為二項概率公式.例如將一骰子擲10次,那么這10次擲骰子的試驗便是10次獨立重復試驗.如果我們關注每次試驗中點數6是否出現,這便是10重伯努利試驗.由于在每次試驗中點數6出現的概率為p=1，那么由二項概率公式可得事件“點數6恰好出現2次”的概率為6TOC\o"1-5"\h\z1 5p(2)=C2"2"8\o"CurrentDocument"10 106 6事件”點數6至少出現2次”的概率為中Ck(1)k(5)10-k106 6k=2或1-(5)10一10義6義(|)9例7連續發送n個碼字，每碼字出錯的概率為p(即誤碼率為p)，那么全部碼字都正確的概率為(1-p)n.至少有一個碼字出錯的概率為1-(1-p)n.例8甲，乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p,且p>1.若采用三局二勝制，甲取勝的概率記為p1，若采用五局三勝制，甲取勝的概率記為p2,如此若采用2n+1局n+1勝制，甲取勝的概率記為pn,(1)求p/p2,并比較p「p2的大小；⑵證明pn+1>pn.解：(1)p=p2+2p2(1-p)=3p2-2p3p=p3+3p3(1-p)+6p3(1-p)2=6p5-15p4+10p3p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1),可見p2>p1；(2)記A表示事件“采用2n+3局n+2勝制時甲取勝”,B1表示事件“甲在前2n+1局勝n局”，B2表示事件“甲在前2n+1局勝n+1局”，B3表示事件“甲在前2n+1局勝n+1局以上”，則p1=P(A)=P(B3)PP(B2)(1—q2)+P(B1)p2pn=P(B3)PP(B2),結合P(B)=Cn+1pn+1qn,P(B)=Cnpnqn+1，可得2 2n+1 1 2n+1p—p=Cnpn+1qn+1(p—q)n+1 n2n+1又p>q,故p1>p.以上考慮的獨立試驗序列是固定了試驗次數還有一類常見的模型:試驗次數事先不固定,而是達到了某種“要求”時才停止試驗,此類問題中我們常關注所需的試驗次數這類問題稱為等待時間的問題.例9連續擲骰子直至6點出現停止試驗,那么需擲3次骰子的概率是多少?如直至6點出現2次停止試驗，那么需擲3次骰子的概率又是多少？解：“直至6點出現，需擲3次”等同于“前2次均不出現6點，而第3次出現6點”，由試驗的獨立性可得事件”直至6點出現，需擲3次”的概率為(5)2義1；6 6“直至6點出現2次，需擲3次”等同于“前2次中6點恰好出現1次，而第3次出現.1516點”，由試驗的獨立性可得事件”直至6點出現2次，需擲3次”的概率為2xxx；666例同時擲兩顆骰子,觀察點數的和，如此試驗連續做，求和為5出現在點數和為7之前的概率.解：令A="前n-1次試驗中5和7都不出現，而第n次試驗出現5”，n那么所求的概率為P(uA)=￡P(A)=￡(1-10)n.1x4n=1n n=1 n n=1 36 36同樣可求得和為7出現在點數和為5之前的概率為5.另解：令A1="第1次的和為5"，A2=”第1次的和為7"A3="第1次的和既不為5也不為7”,A=”和為5出現在點數和為7之前”.由全概率公式有P(A)=P(A1)P(AIA1)+P(A2)P(AIA2)+P(A3)P(AIA3)而P(AIA)=1,P(AIA)=0,P(AIA3)=P(A)所以有4 10P(A)=—+(1-京)P(A)36 36

，…、2解得P(A)=5.例10(賭徒輸光問題)兩個賭徒約定:每一局輸者支付給贏者1元,直至有一方輸光就停止賭局.假設每一局甲贏的概率為a,乙贏的概率為P(a+B=1,即不考慮平局)，且各局輸贏情況互不影響.開始時甲有。元賭資，乙有b元賭資(〃,b為正整數).求甲最后嬴得所有錢的概率.解:記N=a+b,4為甲有i元賭資時最后贏得所有錢的概率,那么有p=ap+pp并且有邊界條件po=0,pN=1.解由于a+p=1,上面等式可變形為p-p=P(p-p)i+1iaii-1由p0=0,可得pp-p=p2 1a1p-p=P(p-p)=(-)2p3 2a2 1a1 p-p=()i-1p-1a1,P"p-p-(—)N-1pnn-1a1將前面i-1等式相加得p-p-p[(-)+(-)2+…+(-)i-1]i1 1aa a即p-p[1+(—)+(—)2+???+(-)i-1]i1aa ap11aw-p11aw-2a1-a再利用邊界條件Pn=1，可得1-I1p，°，21a1/N,a=2所以fB1Ta）aJ1凡