2022年度山西省忻州市神華希望中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以下三個命題中：①為了了解800名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統抽樣，則分段的間隔為40．②線性回歸直線方程=x+恒過樣本中心（，）；③在某項測量中，測量結果ξ服從正態分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）內取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內取值的概率為0.4；其中真命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C考點： 命題的真假判斷與應用．

專題： 概率與統計；簡易邏輯．分析： ①用系統抽樣，則分段的間隔為=20，即可判斷出正誤．②線性回歸直線方程的性質即可判斷出正誤；③由正態分布的對稱性可得：ξ在（2，3）內取值的概率=，代入計算即可判斷出正誤．解答： 解：①用系統抽樣，則分段的間隔為=20，因此不正確．②線性回歸直線方程=x+恒過樣本中心（，），正確；③ξ～N（2，σ2）（σ＞0），由于ξ在（﹣∞，1）內取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內取值的概率==0.4，正確．其中真命題的個數為2．故選：C．點評： 本題考查了簡易邏輯的判定方法、概率與統計性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.已知等比數列的前n項和，且，則=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.不等式組表示面積為1的直角三角形區域，則的值為A.

B.1

C.2

D.3參考答案：B略4.已知平面向量，，且，則A．

B． C．

D．參考答案：D5.若命題：，命題：，則下列命題為真命題的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】命題及其關系A2【答案解析】D

命題：為假命題，命題：假命題，所以為真命題,故選D。【思路點撥】根據命題間的關系判斷真假。6.如果復數為純虛數，那么實數的值為（

）A．－2 B．1 C．2 D．1或－2參考答案：解析：

即，故選擇答案A7.已知a，b∈R，則“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據指數函數，對數函數的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：若“（）a＜（）b”，則根據指數函數的單調性的性質可知a＞b，當a，b由負值或等于0時，log2a＞log2b不成立．若log2a＞log2b，則a＞b＞0．此時“（）a＜（）b”成立．∴“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的充分不必要條件．故選：A8.已知函數的圖象在點處的切線為l,若l也與函數的圖象相切,則必滿足（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C本題考查導數與切線問題,考查轉化與化歸、函數與方程的數學思想以及運算求解能力和推理論能力.由于,所以直線的方程為.因為也與函數的圖象相切,令切點為,所以的方程為,因此有又因為,所以,令，，所以是上的增函數.因為，，所以.9.已知是定義在R上的函數，且恒成立，當時，，則當時，函數的解析式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.若變量x，y滿足約束條件則的最大值是A．2

B．4

C．7

D．8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求值：=

．參考答案：2【考點】對數的運算性質．【分析】利用對數的運算性質lgM﹣lgN=lg以及lgMn=nlgM進行化簡運算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案為：2．12.設滿足約束條件,則的最大值是

．參考答案：【知識點】簡單線性規劃．E5答案5

解析：作出不等式組表示的平面區域，如圖所示

做直線L：2x+y=0，然后把直線L向可行域平移，結合圖象可知當直線過點A時，z最大，由可得A（2，1），即當x=2，y=1時，zmax=5．

故答案為：5【思路點撥】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域內直線在y軸上的截距最大值即可．13.已知矩形ABCD，AB=2，bc=1，則

．參考答案：414.若函數f（x）=x2+a|x﹣1|在[0，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是．參考答案：[﹣2，0]【考點】二次函數的性質．【分析】去絕對值原函數變成：f（x）=，由已知條件知，函數x2+ax﹣a在[1，+∞）單調遞增，x2﹣ax+a在[0，1）單調遞增，所以，解該不等式組即得a的取值范圍【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣1|=；要使f（x）在[0，+∞）上單調遞增，則：，得﹣2≤a≤0；∴實數a的取值范圍是[﹣2，0]．故答案為：[﹣2，0]15.若函數f（x）=﹣﹣ax在（0，+∞）上遞增，則實數a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2]【考點】利用導數研究函數的單調性．【專題】綜合題；轉化思想；轉化法；導數的概念及應用．【分析】求函數的導數，根據函數單調性和導數之間的關系進行轉化求解即可得到結論．【解答】解：要使函數f（x）=﹣﹣ax在（0，+∞）上遞增，則f′（x）≥0恒成立，即x2+﹣a≥0即，x2+≥a，當x＞0時，x2+≥2=2，當且僅當x2=時，取等號，故a≤2，故答案為：（﹣∞，2]【點評】本題主要考查函數單調性的應用，利用函數單調性和導數之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．16.曲線，直線x=1，x=e和x軸所圍成的區域的面積是．參考答案：2e﹣1【考點】6G：定積分在求面積中的應用．【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；52：導數的概念及應用．【分析】確定被積區間及被積函數，利用定積分表示面積，即可得到結論．【解答】解：曲線，直線x=1，x=e和x軸所圍成的區域的面積S=（+2）dx=（lnx+2x）|=lne+2e﹣ln1﹣2=2e﹣1，故答案為：2e﹣1．17.已知的三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為_________．參考答案：設三邊為，則可得所對的邊最大，由余弦定理得。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，,為與的交點，為棱上一點．（1）證明：平面⊥平面；(2)若平面,求三棱錐的體積.參考答案：(1)平面,平面,.………2分四邊形是菱形,,…………………3分又,平面.而平面,………………5分平面⊥平面.

…………………6分（2）平面,平面平面,,……8分是中點,是中點.取中點,連結,四邊形是菱形,,,又,平面,…………10分…………………11分.………………14分19.記關于的不等式的解集為，不等式的解集為．（1）若，求；（2）若，求正數的取值.參考答案：解：（1）由，得．（II）．由，得，又，所以，所以略20.(本小題滿分13分)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求圖中的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（）與數學成績相應分數段的人數（）之比如下表所示，求數學成績在[50，90）之外的人數。

參考答案：（1）

（2）平均分為

（3）數學成績在內的人數為人

數學成績在外的人數為人答：（1）（2）這100名學生語文成績的平均分為

（3）數學成績在外的人數為人。

【解析】略21.已知函數．（Ⅰ）當時，求函數的極值；（Ⅱ）若函數在區間上是減函數，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，求數a的取值范圍參考答案：（Ⅱ），∵函數在區間上單調遞減，∴在區間上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 8分而，則當時，，∴，即，故實數a的取值范圍是． 10分（Ⅲ）因圖象上的點在所表示的平面區域內，即當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可．由，（ⅰ）當時，，當時，，函數在上單調遞減，故成立．（ⅱ）當時，由，令，得或，①若，即時，在區間上，，函數在上單調遞增，函數在上無最大值，不滿足條件；