高二數學寒假銜接天津新東方郭保桐

2013.2.15新東方高中數學部主講教師郭保桐

教師簡介：●南開大學數學科學學院學士、碩士；●初中就讀于耀華中學理科實驗班，并獲全國初中數學競賽一等獎（預賽滿分）；●高中就讀于南開中學理科實驗班，并獲全國高中數學聯賽二等獎（與一等獎差5分），全國中學生物理競賽二等獎，高考物理滿分；●高考以655分的成績考入南開大學數學系（為該系在津招生第一名）并以優異成績免試攻讀碩士研究生。第一講數系的擴充與復數的引入知識回顧對于實系數一元二次方程，當時，沒有實數根．我們能否將實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？

解決這一問題，其本質就是解決一個什么問題呢？一、復數的概念一、復數的概念自然數有理數整數無理數實數復數數系的擴充引入一個新數，叫做虛數單位，并規定：（1）它的平方等于-1，即（2）實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時原有的加、乘運算律仍然成立．一、復數的概念根據對虛數單位i的運算規定易知：形如的數，叫做復數．全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用字母C表示.NZQRCNZQRC復數的表示：通常用字母z表示，即當時，z是實數a．當時，z

叫做虛數．實部虛部復數當

且時，叫做純虛數．復數集C實數集R虛數集I例1：實數m取什么值時，復數是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？解：（1）當，即時，復數z是實數．（2）當，即時，復數z是虛數．（3）當，且，即時，復數z是純虛數．如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．即如果，那么例2：已知，其中，求解：根據復數相等的定義，得方程組所以

從復數相等的定義，我們知道，任何一個復數z=a+bi，都可以由一個有序的實數對(a,b)唯一確定；同時，有序的實數對(a,b)與平面直角坐標系中的點是一一對應的。因此我們可以建立復數集與平面直角坐標系中的點集之間的一一對應。xy0Z(a,b)abz=a+bi

建立平面直角坐標系來表示復數的平面——復平面x軸——實軸y軸——虛軸復數z=a+bi?復平面內的點Z（a，b）按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一確定的點和它對應；反過來，復平面上的每一個點，有唯一確定的復數和它對應。即復數集C和復平面內的點所組成的集合是一一對應的。xy0abz=a+bi例3：實數m取什么值時，復數對應的點（1）位于第一象限？（2）位于第四象限？1.復數加、減法的運算法則：已知兩復數z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是實數）即:兩個復數相加(減)就是實部與實部,虛部與虛部分別相加(減).(1)加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)減法法則：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.二、復數的四則運算注：復數的加法滿足交換律、結合律,即對任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1、計算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)2.復數的乘法法則：注：復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律即對于任何z1,z2,z3∈C,有例2.計算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)3.復數的除法法則分母實數化例3.計算解:設z=a+bi(a,b∈R),那么定義:實部相等,虛部互為相反數的兩個復數叫做互為共軛復數.復數z=a+bi的共軛復數記作不難證明:設z1=a+bi

z2=c+di,則z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)這就是復數加法的幾何意義類似地,復數減法:Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1-OZ2這就是復數減法的幾何意義習題課1.已知方程x2-2x+2=0有兩虛根為x1,x2,求x14+x24的值.解:注:在復數范圍內方程的根與系數的關系仍適用.2.已知復數是的共軛復數，求x的值．

解：因為