第三章二次函數復習（第三課時）復習要求：能綜合利用二次函數及其它函數的圖像和性質，解決相關問題；分類解決二次函數綜合題，注重解題思路和解題方法；知識點復習與練習：知識點1：與二次函數有關的面積問題：（由例題總結方法與思路）例1，（2021·江蘇揚州市）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于點．、，與y軸交于點C．（1）________，________；（2）若點D在該二次函數的圖像上，且，求點D的坐標；若點P是該二次函數圖像上位于x軸上方的一點，且，直接寫出點P的坐標．練習題：1．（2021·山東淄博市）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連接．（1）若，求拋物線對應的函數表達式；在（1）的條件下，點位于直線上方的拋物線上，當面積最大時，求點的坐標；（3）設直線與拋物線交于兩點，問是否存在點（在拋物線上）．點（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．2.（2021·重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求面積的最大值；知識點2：等腰三角形與直角三角形問題;例2，（2021·四川廣安市）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于、、三點，其中點坐標為，點坐標為，連接、．動點從點出發，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為秒．（1）求、的值；（2）在、運動的過程中，當為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．練習題：1、（2020年棗莊市）如圖，拋物線交x軸于，兩點，與y軸交于點C，AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作，垂足為點N．設M點的坐標為，請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2021·四川南充市）如圖，已知拋物線與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ．當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且．在y軸上是否存在點F，使得為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．知識點3：等角、倍角、角平分線問題：例3，（2021·山東泰安市）二次函數的圖象經過點，，與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上一點，連接、，交于點Q，過點P作軸于點D．（1）求二次函數的表達式；（2）連接，當時，求直線的表達式；（3）請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．練習題：1．（2021·廣西貴港市）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A(－3，0)，B兩點，與y軸相交于點C(0，2)，對稱軸是直線x＝－1，連接AC．（1）求該拋物線的表達式；（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；（3）在（2）的條件下，當點D在x軸下方時，連接AD，此時在y軸左側的拋物線上存在點P，使，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．知識點4：線段、線段的和、圖形的周長最大（或最小）值問題例4，（2021·山東）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）點是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求的最小值．練習題：1．（2021·四川瀘州市）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與兩坐標軸分別相交于A，B，C三點（1）求證：∠ACB=90°（2）點D是第一象限內該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．①求DE+BF的最大值；②點G是AC的中點，若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，求點D的坐標．2、（2020年棗莊市）如圖，拋物線交x軸于，兩點，與y軸交于點C，AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作，垂足為點N．設M點的坐標為，請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．知識點5：相似三角形問題：例5，（2021·四川遂寧市）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點，與y軸交于C（0，－3），對稱軸為直線，直線y＝－2x＋m經過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點P，使得以D、E、P為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；（3）直線y＝1上有M、N兩點（M在N的左側），且MN＝2，若將線段MN在直線y＝1上平移，當它移動到某一位置時，四邊形MEFN的周長會達到最小，請求出周長的最小值（結果保留根號）．練習題：1、（2019聊城）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C（0，8），連接BC，又已知位于y軸右側且垂直于x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到B（不含O點和B點），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點P，D，E．（1）求拋物線的表達式；（2）連接AC，AP，當直線l運動時，求使得△PEA和△AOC相似的點P的坐標；（3）作PF⊥BC，垂足為F，當直線l運動時，求Rt△PFD面積的最大值．知識點6：四邊形問題：例6，（2021·四川南充市）如圖，已知拋物線與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ．當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且．在y軸上是否存在點F，使得為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．練習題：1．（2021·內蒙古）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）連接，直線與該拋物線交于點E，與交于點D，連接．當時，求線段的長；（3）點M在y軸上，點N在直線上，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點M，使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2021·黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于