第二十八章綜合能力檢測題時間：120分鐘滿分：120分一、選擇題(每小題3分，共30分)1．(2015·大慶)sin60°等于(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\f(\r(3),2)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則下列等式中正確的是(D)A．cosA＝eq\f(a,c)B．sinB＝eq\f(c,b)C．tanB＝eq\f(a,b)D．以上都不正確3．(2015·南通)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過點(diǎn)(2，1)，則tanα的值是(C)A.eq\f(\r(5),5)B.eq\r(5)C.eq\f(1,2)D．2第3題圖第6題圖第7題圖4．下列等式成立的是(C)A．sin45°＋cos45°＝1B．2tan30°＝tan60°C．2sin30°＝tan45°D．sin45°cos45°＝tan45°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，a＋b＝4eq\r(6)，則c等于(A)A．4eq\r(3)B．4C．2eq\r(6)D．4eq\r(2)6．如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，則壩底AD的長度為(D)A．26米B．28米C．30米D．7．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2eq\r(3)，則AC的長是(A)A.eq\r(3)B．2eq\r(2)C．3D.eq\f(3\r(2),2)8．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點(diǎn)C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D.已知cos∠ACD＝eq\f(3,5)，BC＝4，則AC的長為(D)A．1B.eq\f(20,3)C．3D.eq\f(16,3)第8題圖第9題圖第10題圖9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB邊上一點(diǎn)，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接FB，則tan∠CFB的值等于(C)A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),3)D．5eq\r(3)10．如圖，學(xué)校大門出口處有一自動感應(yīng)欄桿，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動的支點(diǎn)，當(dāng)車輛經(jīng)過時，欄桿AE會自動升起，某天早上，欄桿發(fā)生故障，在某個位置突然卡住，這時測得欄桿升起的角度∠BAE＝127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大門BC打開的寬度為2米，以下哪輛車可以通過？(C)(欄桿寬度，汽車反光交鏡忽略不計(jì))(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，車輛尺寸：長×寬×高)A．寶馬Z4(4200mm×1800mm×1360mm)B．奇瑞QQ(4000mm×1600mm×1520mm)C．大眾朗逸(4600mm×1700mm×1400mm)D．奧迪A4(4700mm×1800mm×1400mm)二、填空題(每小題3分，共24分)11．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝eq\f(1,2)，則∠C的度數(shù)是__75°__．12．將一副三角尺按如圖所示疊放在一起，若AB＝14cm，則陰影部分的面積是__eq\f(49,2)__cm2.第12題圖第14題圖第15題圖13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(5,13)，則tanB的值為__eq\f(12,5)__．14．如圖，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)M，ME＝EF且EF∥MN，則cosE＝__eq\f(1,2)__．15．如圖，等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，BC邊上的點(diǎn)，AD＝BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則sin∠AFG的值__eq\f(\r(3),2)__．16．(2015·德州)如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿的高度均為__7.2__m．(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19第16題圖第17題圖17．一漁船在海島A南偏東20°方向的B處遇險，測得海島A與B的距離為20(eq\r(3)＋1)海里，漁船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西65°方向向海島C靠近，同時，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10°方向勻速航行，20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為__2__海里/分．18．已知：在△ABC中，AC＝1，AB與BC所在直線所成的角中銳角為45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為eq\f(2\r(5),5)(即cosC＝eq\f(2\r(5),5))，則BC邊的長是__eq\f(3\r(5),5)或eq\f(\r(5),5)___．解：點(diǎn)撥：分兩種情況：作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.①在△ABC的內(nèi)部，∠ABD＝45°；②在△ABC外∠ABD＝45°.這兩種情況，解直角△ACD與直角△ABD，得到BC的長．三、解答題(共66分)19．(6分)已知α是銳角，且sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2)，計(jì)算eq\r(8)－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)的值．解：∵sin(α＋15°)＝eq\f(\r(3),2)，∴α＝45°，∴原式＝2eq\r(2)－4×eq\f(\r(2),2)－1＋1＋3＝3.20．(8分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知：c＝8eq\r(3)，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；(2)已知：a＝3eq\r(6)，c＝6eq\r(3)，求∠A，∠B及b的值．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4eq\r(3)；(2)∠A＝∠B＝45°，b＝3eq\r(6).21．(9分)(2015·長春)如圖，海面上B，C兩島分別位于A島的正東和正北方向．一艘船從A島出發(fā)，以18海里/時的速度向正北方向航行2小時到達(dá)C島，此時測得B島在C島的南偏東43°.求A，B兩島之間的距離．(結(jié)果精確到0.1海里)(參考數(shù)據(jù)：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)解：由題意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB＝AC?tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)．故A，B兩島之間的距離約為33.5海里22．(9分)(2014·重慶)如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝eq\f(3,2)，求sinB＋cosB的值．解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(6,AD)＝eq\f(3,2)，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，∴BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝10，∴sinB＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(4,5)，∴sinB＋cosB＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(7,5).23．(10分)一副三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長．解：過點(diǎn)B作BM⊥DF于點(diǎn)M.∵∠BCA＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴∠BCM＝45°.在Rt△BCM中，BM＝BC·sin45°＝12.在Rt△BCM中，∵∠BCM＝45°，∴∠MBC＝45°，∴CM＝BM＝12.在Rt△BMD中，∠BDM＝60°，∴DM＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－DM＝12－4eq\r(3).24．(11分)(2015·上海)如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓，已知點(diǎn)A到MN的距離為15米，BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D，且∠BDN＝30°，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內(nèi)會受到噪音(XRS)的影響．(1)過點(diǎn)A作MN的垂線，垂足為點(diǎn)H，如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點(diǎn)H的距離為多少米？(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板，當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時，它與這一排居民樓的距離QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？(精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.7)解：(1)連接PA.由題意知，AP＝39m．在Rt△APH中，PH＝eq\r(AP2－AH2)＝eq\r(392－152)＝36(米)；(2)由題意知，隔音板的長度是PQ的長度．在Rt△ADH中，DH＝eq\f(AH,tan30°)＝15eq\r(3)(米)．在Rt△CDQ中，DQ＝eq\f(CQ,sin30°)＝eq\f(39,\f(1,2))＝78(米)．則PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－15eq\r(3)≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．故高架道路旁安裝的隔音板至少需要89米．25．(13分)如圖，某小學(xué)門口有一直線馬路，交警在門口設(shè)有一條寬度為4米的斑馬線，為安全起見，規(guī)定車頭距斑馬線后端的水平距離不得低于2米，現(xiàn)有一旅游車在路口遇紅燈剎車停下，汽車?yán)锼緳C(jī)與斑馬線前后兩端的視角分別為∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司機(jī)距車頭的水平距離為0.8米，試問該旅游車停車是否符合上述安全標(biāo)準(zhǔn)？(E，D，C，B四點(diǎn)在平行于斑馬線的同一直線上)(參考數(shù)據(jù)：tan15°＝2－eq\r(3)，eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：∵∠FAE＝15°，∠FAD＝30°，∴∠EAD＝15°.∵AF∥BE，∴∠AED＝∠FAE＝15°，∠ADB＝∠FAD＝30°.設(shè)AB＝x，則在Rt△AEB中，EB＝eq\f(AB,tan15°)＝eq\f(x,tan15°).∵ED＝4，ED＋BD＝EB，∴BD＝eq\f(x,tan15°)－4.在