差數的顯著性檢驗第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日問題一、某區三年級數學考試的平均成績為86．5分，標準差為13．8分，其中某實驗學校三年級152人的數學考試的平均成績為90．5分，問該校三年級數學考試的平均成績與全區的平均成績之間是否有顯著差異?二、某自然課實驗班52名學生自然課考試的平均成績為97．5分，標準差為15．6分，另一非實驗班54名學生自然課考試的平均成績為95分，標準差為17．5分，問自然課實驗是否取得了顯著的效果?第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日第一節平均數差異的顯著性檢驗平均數差異的顯著性檢驗要解決兩個問題：第一個問題:檢驗已知樣本平均數為的總體平均數μ是否等于已知的總體平均數μ0?即檢驗已知樣本平均數與已知總體平均數μ0的差異是否顯著?因為這種檢驗僅考察一個未知總體參數μ，所以稱為單總體檢驗。第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日μ0、、μ關系圖μ0已知μ未知已知第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日第二個問題:

檢驗已知樣本平均數分別為1和2的兩個未知總體平均數μ1和μ2是否相等?即檢驗兩樣本平均數1和2的差異是否顯著?因為這種檢驗考察了兩個未知總體參數μ1和μ2

，所以稱為雙總體檢驗。

根據統計量抽樣分布形態的特點，平均數差異的顯著性檢驗可分為Z檢驗和t檢驗兩種情況。

第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日μ1、1、2、μ2關系圖μ1未知μ2未知2已知1已知第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日一、Z檢驗

(一)平均數的單總體Z檢驗只要下面兩種條件之一能得到滿足，就可以應用平均數的單總體Z檢驗。其一，如果樣本來自正態分布的總體，而且總體的標準差已知，這時無論樣本容量多大，都可以采用平均數的單總體Z檢驗。其二，如果樣本來自未知或者非正態的總體，只要樣本容量充分大(一般要求n≥30)，也可以近似采用平均數的單總體Z檢驗。第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日平均數的單總體Z檢驗的步驟如下：(1)建立虛無假設：

H。：μ=μ0(2)計算Z值：式中，為已知樣本的平均數；μ0為已知總體的平均數；σ為已知總體的標準差；n為已知樣本的容量。第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日(3)選擇顯著性水平α，查標準正態分布表取得臨界值Zα。(4)作出統計判斷；如果|Z|＜Zα，則接受虛無假設H0；如果|Z|＞Zα，則拒絕虛無假設H0。第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日例5．1：某區三年級數學考試的平均成績為86．5分，標準差為13．8分，其中某實驗學校三年級152人的數學考試的平均成績為90．5分，問該校三年級數學考試的平均成績與全區的平均成績之間是否有顯著差異?

解：因為樣本容量n＝152＞30，而且已知總體平均數μ0＝86．5分，標準差σ＝13．8分，樣本平均數＝90．5分，要求判斷與μ0的差異是否顯著。所以應該采用平均數的單總體Z檢驗。檢驗步驟如下：第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日(1)建立虛無假設：

H。：μ=μ0(2)計算Z值

(3)確定顯著性水平α＝0.01，查標準正態分布表得臨界值Z0.01=2．58。

(4)作出統計判斷：因為|Z|＞Z0.01，所以拒絕H0，即認為該校三年級數學考試平均成績與全區相比有極顯著差異。第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日(二)平均數的雙總體Z檢驗要檢驗兩相互獨立的樣本平均數1與2是否差異顯著，只需要下面兩條件之一能滿足，就能進行平均數的雙總體的Z檢驗。其一，兩相互獨立樣本分別來自已知總體標準差為σ1與σ2

的正態總體，無論兩樣本容量大小如何，都能進行平均數的雙總體Z檢驗。其二，兩相互獨立樣本的容量充分大(一般要求大于30)，無論兩樣本來自的總體的分布形態是否正態，都可以近似地進行平均數的雙總體Z檢驗。而且當兩總體標準差σ1與σ2未知時，可以用兩樣本標準差S1與S2來替代。第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日平均數的雙總體Z檢驗的步驟如下：(1)建立虛無假設：

H0：μ1=μ2(2)計算Z值：式中，1與2為兩樣本的平均數；σ1與σ2為兩總體的標準差；n1與n2為兩樣本的容量。第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日(3)選擇顯著性水平α，查標準正態分布表取得臨界值Zα。(4)作出統計判斷；如果|Z|＜Zα，則接受虛無假設H0；如果|Z|＞Zα，則拒絕虛無假設H0。第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日例5．2：某自然課實驗班52名學生自然課考試的平均成績為97．5分，標準差為15．6分，另一非實驗班54名學生自然課考試的平均成績為95分，標準差為17．5分，問自然課實驗是否取得了顯著的效果?

解：因為兩班人數均超過30人，而且兩班分數的取得互不影響，是兩個相互獨立的大樣本，所以滿足平均數的雙總體Z檢驗的條件。由于兩總體標準差σ1與σ2未知，因此需要用兩樣本標準差S1與S2來代替。其檢驗的步驟如下：

第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日(1)

建立虛無假設:Ho：μ1=μ2(2)

計算Z值：

(3)確定顯著性水平α＝0．05，查標準正態分布表得臨界值Z0.05=1．96。

(4)作出統計判斷：因為|Z|＜Z0.05，所以接受虛無假設Ho，即認為兩班自然課考試的平均成績沒有顯著差異，自然課實驗的效果不顯著。普通高中男女生數學學習差異的研究.doc第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日

教育統計與測量RESEARCHIN

EDUCATIONALSTATISTICS

二、t檢驗（TTEST）

——平均數差異顯著檢驗的基本方法第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日t檢驗是利用抽樣分布為t分布的t統計量來進行統計假設檢驗。檢驗過程中需計算t統計量和查t分布表。第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日（一）思考題1．t檢驗與Z檢驗有什么聯系與區別？2．t檢驗有哪類型，各適用于什么情況?3．平均數差異的顯著性檢驗在應用中需要注意哪些問題？

第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日t檢驗與Z檢驗有什么聯系與區別？聯系:(1)Z檢驗和t檢驗都可以用于平均數差異的顯著性檢驗。(2)Z檢驗是t檢驗的特例。區別：(1)標準正態分布曲線只有一條，因此其臨界值僅由顯著性水平α所確定；而t分布曲線卻有無數條，因此其臨界值由指定曲線的自由度df和顯著性水平α共同確定。t分布曲線的自由度df與樣本容量n和統計假設有關。(2)有些情況下不能使用Z檢驗而只能使用t檢驗。第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日（二）內容框架t檢驗

單總體檢驗獨立樣本的雙總體檢驗

相關樣本的雙總體檢驗

第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日（三）過程分析

平均數的單總體t檢驗（MeansTestforOneSamplewithTTEST）檢驗的一般步驟為：(1)建立虛無假設：

H。：μ=μ0(2)計算t值：

(3)確定顯著性水平α，自由度df=n—l，查t分布表得臨界值tα(df)。(4)作出統計判斷：如果|t|＞tα(df)，則拒絕H0；如果|t|＜tα(df)，則接受H0。第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日例5．3：某校五年級舉行數學競賽，已知全年級參加數學競賽學生的數學水平呈正態分布，而且平均成績為85．8分，某實驗班參加數學競賽的8名學生的分數分別為70，75，75，80，80，85，87，96。問該班的數學競賽成績與全年級相比是否有顯著差異?

解：條件分析：總體為正態分布，總體標準差σ未知，樣本容量n＝8＜30。因此要檢驗樣本平均數與總體平均數μ0差異是否顯著，適宜采用平均數的單總體t檢驗。檢驗步驟：(1)建立虛無假設：

H。：μ=μ0第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日(2)計算t值：首先求出樣本平均數和標準差，然后求t值。第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日(3)確定顯著性水平選擇α＝0．05，自由度df=n一1＝8—1＝7，查t分布表得臨界值t0.05(7)＝2．365。(4)作出統計判斷因為|t|＜t0.05(7)，所以接受H0，即認為該實驗班的數學競賽的平均成績與全年級相比沒有顯著差異。第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日EXCEL算法1．語法（1）AVERAGE，STDEV，SQRT，“=”（2）TINV(probability,degrees_freedom)Probability為對應于雙尾學生氏-t分布的概率。Degrees_freedom

為分布的自由度。2．實際操作例5.3（1）計算t值（2）求臨界值t0.05(7)第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日（四）問題討論1．虛無假設在檢驗中有什么作用？2．在檢驗中S與σ有什么不同？3．自由度df對檢驗有什么影響？4．如何選擇顯著性水平α？5．你還有什么疑問？

第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日（五）參考資源1．王孝玲編著，《教育統計學》，華東師范大學出版社，2007年,P94—103。2．張厚粲、徐建平編著，《現代心理與教育統計學》，北京師范大學出版社，2003年。

P258—260第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日（六）參考練習王孝玲編著，《教育統計學》，華東師范大學出版社，2007年。第19和21題。第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日

平均數的雙總體t檢驗（MeansTestforTwoSampleswithTTEST）（一）兩相互獨立樣本的t檢驗（TwoIndependentSampleswithTTEST）1．條件與問題分析設兩個平均數分別為1與2的樣本，來自相互獨立的兩個正態分布總體，當檢驗1與2的差異是否顯著時，可以采用兩相互獨立樣本的t檢驗。這種t檢驗需要根據兩總體的方差σ12與σ22是否相等來選擇相應的檢驗公式。（σ12與σ22

是否相等的推斷方法將在本章的第二節中介紹。）第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日2．檢驗方法

如果兩總體方差σ12=σ22，那么，兩相互獨立樣本t檢驗的步驟如下：(1)建立虛無假設：

H0：μ1=μ2(2)計算t值：

(3)確定顯著性水平α，自由度df＝n1＋n2－2，查t分布表得臨界值tα(df)。

(4)作出統計判斷：如果t＞tα(df)，則拒絕H0；如果|t|＜tα(df)，則接受H0。第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日

例5．4：從甲、乙兩班分別抽取7名和8名學生進行看圖說話測驗，測驗結果甲班7名學生的成績為88、86、84、84、90、87、90；乙班8名學生的成績為86、87、84、89、90、92、92、94。問甲、乙兩班測驗的平均成績有無顯著差異?

解：

1．條件分析假設兩班學生看圖說話的能力服從正態分布，兩總體方差σ２１

=σ２2(下一節介紹檢驗方法)，并且兩樣本相互獨立，因此可以采用σ２１=σ２２時的兩相互獨立樣本的t檢驗。

2．檢驗步驟第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日(1)建立虛無假設：

H0：μ1=μ2(2)計算t值：首先求1、2、S２１和S２２；第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日然后將上述各量數代入公式(5．4)求t值，

(3)確定顯著性水平α＝0．05，計算自由度df＝n1+n2-2=7+8-2=13查t分布表得臨界值t0.05(13)=2.160。

(4)作出統計判斷：因為|t|＜t0.05(13)，所以接受H0，即認為甲、乙兩班測驗的平均成績無顯著差異。第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日EXCEL算法1．語法（1）TTEST(array1,array2,tails,type)Array1

為第一個數據集。Array2

為第二個數據集。Tails

指明分布曲線的尾數。如果tails=1，函數TTEST使用單尾分布；如果tails=2，函數TTEST使用雙尾分布。Type

為t檢驗的類型。1代表成對；2代表等方差雙樣本檢驗；3代表異方差雙樣本檢驗。

（2）TINV(probability,degrees_freedom)Probability為對應于雙尾學生氏-t分布的概率。Degrees_freedom

為分布的自由度。2．實際操作例5．4xls（1）求顯著性水平（2）計算t值第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日（二）兩相關樣本的t檢驗（TwoPairedSampleswithTTEST）在平均數的雙總體t檢驗的假設前提下，如果要檢驗兩相關樣本的平均數1與2的差異是否顯著，可以采用兩相關樣本的t檢驗方法。檢驗步驟如下：

(1)建立虛無假設：

H0：μ1=μ2(2)計算t值：式中，D為兩樣本對應數據之差，即D＝X1-X2；為兩樣本n對應數據之差D的平均數，即＝ΣD／n。第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日(3)確定顯著性水平α，自由度df＝n—l，查t分布表得臨界值tα(df)。

(4)作出統計判斷：如果|t|＞tα(df)，則拒絕H0；如果|t|＜tα(df)，則接受H0。

兩相關樣本的t檢驗一般用于同一組統計對象實驗前后測驗結果的比較；同一組學生兩等值測驗成績的比較；按照成績或者能力等條件將學生一一配對分成兩組測驗成績的比較等。第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日

例5．5：某校在一年級學生中選取了16名學生，按音樂能力大致相當的方式將他們配對分成兩組，每組8人，采取不同的方法教學，教學結束后進行測驗的成績如下表的第一、二兩列，問兩種教學法產生的效果差異是否顯著?

第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日學號X1X2D＝X1-X2D-(D-)219590500290855003908010525485850-525585751052568075500770601052585560-5-10100合計650610400200

第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日解：由于兩樣本是配對形成的，所以是兩相關樣本，假定滿足平均數的雙總體t檢驗的其他條件，那么，可以采用兩相關樣本的t檢驗方法。檢驗步驟如下：

(1)建立虛無假設：H0：μ1=μ2(2)計算t值：首先求1與2，

第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日

(3)確定顯著性水平α＝0．05，自由度df=n—l＝8一l＝7，查t分布表得臨界值t0.05(7)＝2．365。

(4)作出統計判斷：因為|t|＞t0.05(7)，所以拒絕Ho，即認為兩種教學方法產生的教學效果有顯著的差異。例5．5.xls特殊教育教師心理健康狀況的調查研究.pdf特殊教育教師心理健康狀況的調查研究.doc第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日（六）閱讀與練習1．閱讀：王孝玲編著，《教育統計學》，華東師范大學出版社，2007年，P1０6-118，P1２3—1２72．練習：P127第1題，P1２８第4題。2．要求：基本方法理解，數據輸入規范，格式設計美觀，結果顯示清楚。第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日Z檢驗和t檢驗的聯系與區別雖然Z檢驗和t檢驗都可以用于平均數差異的顯著性檢驗，但是在有些情況下不能使用Z檢驗而只能使用t檢驗。比如，當樣本容量n較小，而且總體標準差σ未知時，就只能采用t檢驗方法檢驗平均數差異的顯著性。第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日第二節

其他量數差異的顯著性檢驗

一、方差齊性的顯著性檢驗其他量數差異的檢驗在上一節兩相互獨立樣本的t檢驗中，曾對兩總體方差σ12與σ22是否相等，作過不同的假設。方差σ12＝σ22或者σ12≠σ22的假設實際上可以通過統計假設檢驗來決定，這種對兩正態總體方差的統計假設檢驗稱為方差齊性的顯著性檢驗。檢驗兩總體方差是否相等，需要利用樣本方差S12與S22，其中第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日假設兩樣本相互獨立，且分別來自方差相等的兩正態分布總體，那么，樣本方差S12與S22的比稱為F統計量，記為F＝S12/S22。F統計量構成的抽樣分布稱為F分布。利用F統計量的F分布就可以對兩正態分布總體的方差齊性進行顯著性檢驗。檢驗步驟如下：(1)建立虛無假設：

H0：σ12＝σ22(2)計算F值：實際應用中，為了查F分布表方便起見，特別將S12與S22中的較大者作為分子，記為S2大，較小者作為分母，記為S2小。所以，常用的F統計量的形式為

F＝S大2/S小2(5.6)

第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日(3)確定顯著性水平α，分別計算分子和分母的自由度df大和df小，查F分布表得臨界值Fα(df大，df小)。

F分布的臨界值由Fα(df大，df小)顯著性水平α、自由度df大和df小共同決定。其中df大和df小可分別記為df1和df2，那么，df1＝n1一1，df2＝n2—l，分別列在F分布表的最上端一行和最左端一行。比如，某F統計量分子的自由度df1=9，分母的自由度df2＝7，那么，當顯著性水平α＝0．05時，查F分布表得臨界值F0。05(9，7)＝3．68；當顯著性水平α＝0．01時，查F分布表得臨界值F0。01(9，7)＝6．71。

(4)作出統計判斷：如果F＞Fα(df1，df2)，則拒絕H0；如果F＜Fα(df1，df2)，則接受H0。第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日

例5．6：在例5．4中，我們曾假設兩總體方差σ12＝σ22，現可以采用F檢驗的方法對這一假設進行驗證。為了便于查F分布表，即把方差較大的作為F的分子，較小的作為分母，所以，將兩樣本方差記為S12＝10.57，S22＝6．33，兩樣本容量改記為n1=8，n2=7。

檢驗的步驟如下：

(1)建立虛無假設：

H0：σ12＝σ22(2)計算F值：

F=S12/S22=10.57/6.33≈1.66(3)確定顯著性水平α＝0．05，自由度df1＝n1一1＝8-1=7，df2＝n2-1=7-l＝6，查F分布表得臨界值F0.05(7，6)＝4．2l。

(4)作出統計判斷：因為F＜F0.05(7，6)，所以接受H0，即認為虛無假設σ12＝σ22成立。

第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日二、比例差異的顯著性檢驗

教育工作中，除了需要對平均數差異的顯著性進行檢驗外，優秀率、合格率等比例差異顯著性的檢驗也是經常要遇到的問題。比例差異的顯著性檢驗也可分為單總體檢驗和雙總體檢驗。

(一)比例差異顯著性的單總體檢驗

如果某總體具有某種屬性的個體所占總體的比例為π0，而某樣本具有該屬性人數的比例p,那么，對樣本比例p與總體比例π0差異的顯著性檢驗就稱為比例差異顯著性的單總體檢驗。

第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日

當樣本容量n較大，p不接近0或者1，即np和n(1-p)中數值較小者大于5時，可以利用標準正態分布的Z統計量進行比例差異顯著性的單總體檢驗。檢驗的步驟如下：

(1)建立虛無假設：

H0：π=π0(2)計算Z值：

(5.7)(3)確定顯著性水平α，查標準正態分布表得臨界值Zα。

(4)作出統計判斷：如果|Z|>Zα，則拒絕H0；如果|Z|<Zα，則接受H0。

第五十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日

例5.7：1995年某市小學教師中，具有大專以上學歷的教師的比例為14．5％，而某小學60名教師中具有大專以上學歷的有12人，問該小學教師具有大專以上學歷人數的比例與全市相比是否有顯著差異?

解：已知總體的比例π0＝0．145，樣本的比例p=12／60＝0.2，np=60×0.2＝12和n(1-p)＝60×0.8＝48中的較小者np＞5，所以可以采用公式(6．9)進行比例差異顯著性的單總體檢驗。檢驗步驟如下：

(1)建立虛無假設：

H0：π=π0

(2)計算Z值：

(3)確定顯著性水平α＝O．05，查標準正態分布表得臨界值Z0.05=1．96(4)作出統計判斷：因為|Z|＜Z0.05，所以接受Ho，即認為該小學具有大專以上學歷的教師與全市相比無顯著差異。第五十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日(二)比例差異顯著性的雙總體檢驗檢驗兩樣本比例p1與p2差異的顯著性就稱為比例差異顯著性的雙總體檢驗。根據兩樣本是否相互獨立，可采用不同的檢驗方法。

1．兩樣本相互獨立假設具有比例p1與p2的兩個樣本相互獨立，而且均來自正態分布的總體，只要兩樣本容量n1與n2較大，p1與p2均不接近0或1，即n1p1、n1(1一p1)、n2p2和n2(1一p2)中的最小者大于5，那么，就可以利用標準正態分布的Z統計量進行比例差異顯著性的雙總體檢驗。第五十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日檢驗步驟如下：

(1)建立虛無假設：

H0：π1=π2(2)計算Z值：

(5.8)

式中

(3)確定顯著性水平α，查標準正態分布表得臨界值Zα。（4）作出統計判斷：如果|Z|>Zα，則拒絕H。；如果|Z|<Zα，則接受Ho。

第五十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日

例5.8:甲校50名教師中35歲以下的青年教師占32名，乙校60名教師中35歲以下的青年教師占42名。問甲、乙兩校35歲以下青年教師的比例是否有顯著差異?

解：已知n1=50，p1=32／50＝0.64，n2=60，p2=42／60＝0.7，兩樣本相互獨立，而且n1p1=50×32／50＝32，n1(1-p1)＝50×18／50＝18，

n2p2=60×42／60＝42和n2(1-p2)＝60×18／60＝18中的最小者n1(1-p1)＝18＞5，所以可以采用公式(6.10)進行兩獨立樣本的比例差異的顯著性檢驗。

第五十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日檢驗步驟如下：

(1)建立虛無假設：

H0：π1=π2(2)計算Z值：首先求值和(1-)