四、二次曲面第四節一、曲面方程的概念二、旋轉曲面

三、柱面機動目錄上頁下頁返回結束曲面及其方程

第八章一、曲面方程的概念機動目錄上頁下頁返回結束

在平面幾何中，平面曲線看作平面上動點的幾何軌跡.在空間解析幾何中，空間曲面可以看成是空間中動點的幾何軌跡.水桶的表面、臺燈的罩子面等．曲面的實例：定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).機動目錄上頁下頁返回結束故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機動目錄上頁下頁返回結束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面機動目錄上頁下頁返回結束定義2.一條平面曲線二、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.這條平面曲線稱為旋轉曲面的母線。例如:機動目錄上頁下頁返回結束如何建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程？故旋轉曲面方程為當繞

z軸旋轉時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉到機動目錄上頁下頁返回結束旋轉曲面的方程構成？思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？機動目錄上頁下頁返回結束

類似,xoy面上的曲線f(x,y)=0繞x軸旋轉所得到的旋轉曲面方程為：例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方機動目錄上頁下頁返回結束上式表示的曲面稱為圓錐面，點o稱為圓錐的頂點.例4.

求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞

x

軸旋轉繞

z

軸旋轉旋轉單葉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機動目錄上頁下頁返回結束旋轉雙葉雙曲面旋轉橢球面旋轉拋物面P24第7題三、柱面引例.

分析方程在空間表示怎樣的曲面？的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結束定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準線,l

叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結束雙曲柱面一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準線

xoy

面上的曲線l1.母線準線

yoz面上的曲線l2.母線機動目錄上頁下頁返回結束作業習題8-42，4，8(1,4)

四、二次曲面

空間直角坐標系中的空間曲面用方程F(x,y,z)=0表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些項為零)的，則表示的曲面為平面，也稱平面為一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些項為一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0為三元二次方程，則表示的曲面稱為二次曲面.即：三元一次方程A

x+By+Cz+D=0

所表示的平面被稱為一次曲面．其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面了解空間曲面形狀的兩種常用方法：（1）截痕法

用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．（2）伸縮變形法：1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓機動目錄上頁下頁返回結束與的交線為橢圓：(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數)機動目錄上頁下頁返回結束可視為：由xoz面上的拋物線：繞z軸旋轉一周而得的旋轉拋物面。問：用平面：z=h(h>0),y=h,x=h去截曲面，得到的截痕是什么？2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)特別，當p=q時,方程變為(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)當z=h>0時，截線是雙曲線當z=h=0時，截線是xoy平面上的兩條相交于原點的直線;當z=h<0時，截線是雙曲線，但實軸平行于x軸，虛軸平行于y軸.當x=h=0時，截線是yOz平面上的頂點為原點的拋物線當y=h=0時，截線是xOz平面上的頂點為原點的拋物線，且開口向下.

3.雙曲面(1)單葉雙曲面

(2)雙葉雙曲面4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經x

或y方向的伸縮變換得到)機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉曲面如,曲線繞z

軸的旋轉曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機動目錄上頁下頁返回結束2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:機動目錄上頁下頁返回結束斜率為1的直線平