PAGEPAGE162016年數學一試題分析、詳解和評注填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（1）【分析】本題為未定式極限的求解，利用等價無窮小代換即可.【詳解】.【評注】本題為求未定式極限的基本題型，應充分利用等價無窮小代換來簡化計算.（2）微分方程的通解是【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】原方程等價為，兩邊積分得，整理得.（）【評注】本題屬基本題型.（3）設是錐面的下側，則.【分析】本題不是封閉曲面，首先想到加一曲面：，取上側，使構成封閉曲面，然后利用高斯公式轉化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.【詳解】設：，取上側，則.而＝，.所以.【評注】本題屬基本題型，不論是用球面坐標還是用柱面坐標進行計算，均應特別注意計算的準確性，主要考查基本的計算能力.（4）點到平面的距離.【分析】本題直接利用點到平面距離公式進行計算即可.其中為點的坐標，為平面方程.【詳解】..【評注】本題屬基本題型，要熟記空間解析幾何中的概念和公式.（5）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則2.【分析】將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可.【詳解】由題設，有于是有，而，所以.【評注】本題關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示.類似題2005年考過.（6）設隨機變量相互獨立，且均服從區間上的均勻分布，則.【分析】利用的獨立性及分布計算.【詳解】由題設知，具有相同的概率密度.則.【評注】本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則.二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（7）設函數具有二階導數，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則(A).(B).(C).(D).[Ａ]【分析】題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由知，函數單調增加，曲線凹向，作函數的圖形如右圖所示，顯然當時，，故應選(Ａ).【評注】對于題設條件有明顯的幾何意義或所給函數圖形容易繪出時，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日定理求解：因為，所以單調增加，即，又，則，即.（8）設為連續函數，則等于（Ａ）.（B）.(C).(D).[Ｃ]【分析】本題首先由題設畫出積分區域的圖形，然后化為直角坐標系下累次積分即可.【詳解】由題設可知積分區域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（Ｃ）.【評注】本題為基本題型，關鍵是首先畫出積分區域的圖形.（9）若級數收斂，則級數(A)收斂.（B）收斂.(C)收斂.(D)收斂.[Ｄ]【分析】可以通過舉反例及級數的性質來判定.【詳解】由收斂知收斂，所以級數收斂，故應選(Ｄ).或利用排除法：取，則可排除選項（Ａ），（Ｂ）；取，則可排除選項（Ｃ）.故（Ｄ）項正確.【評注】本題主要考查級數收斂的性質和判別法，屬基本題型.（10）設均為可微函數，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A)若，則.(B)若，則.(C)若，則.(D)若，則.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函數在（是對應的參數的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數，并記對應的參數的值為，則，即.消去，得,整理得.（因為），若，則.故選（Ｄ）.【評注】本題考查了二元函數極值的必要條件和拉格朗日乘數法.（11）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是若線性相關，則線性相關.若線性相關，則線性無關.(C)若線性無關，則線性相關.(D)若線性無關，則線性無關.[C]【分析】本題考查向量組的線性相關性問題，利用定義或性質進行判定.【詳解】記，則.所以，若向量組線性相關，則，從而，向量組也線性相關，故應選(Ａ).【評注】對于向量組的線性相關問題，可用定義，秩，也可轉化為齊次線性方程組有無非零解進行討論.（12）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［Ｂ］【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關系以及初等矩陣的性質可得.【詳解】由題設可得，而，則有.故應選（Ｂ）.【評注】（１）每一個初等變換都對應一個初等矩陣，并且對矩陣施行一個初等行（列）變換，相當于左（右）乘相應的初等矩陣.（２）牢記三種初等矩陣的轉置和逆矩陣與初等矩陣的關系.（13）設為隨機事件，且，則必有(B)(C)(D)[B]【分析】利用事件和的運算和條件概率的概念即可.【詳解】由題設，知，即.又.故應選(Ｃ).【評注】本題考查隨機事件的運算和關系的概念，應牢記.（14）設隨機變量服從正態分布，服從正態分布，且則必有(B)(C)(D)[D]【分析】利用標準正態分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設可得，則，即.其中是標準正態分布的分布函數.又是單調不減函數，則，即.故選(A).【評注】對于服從正態分布的隨機變量，在考慮它的概率時，一般先將標準化，即.三、解答題：15－23小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設區域，計算二重積分【分析】由于積分區域關于軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分，又積分區域為圓域的一部分，則將其化為極坐標系下累次積分即可.【詳解】積分區域如右圖所示.因為區域關于軸對稱，函數是變量的偶函數，函數是變量的奇函數.則，故.【評注】只要見到積分區域具有對稱性的二重積分計算問題，就要想到考查被積函數或其代數和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計算.（16）（本題滿分12分）設數列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計算.【分析】一般利用單調增加有上界或單調減少有下界數列必有極限的準則來證明數列極限的存在.（Ⅱ）的計算需利用（Ⅰ）的結果.【詳解】（Ⅰ）因為，則.可推得，則數列有界.于是，（因當），則有，可見數列單調減少，故由單調減少有下界數列必有極限知極限存在.設，在兩邊令，得，解得，即.（Ⅱ）因，由（Ⅰ）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開式）故.【評注】對于有遞推關系的數列極限的證明問題，一般利用單調有界數列必有極限準則來證明.（17）（本題滿分12分）將函數展成的冪級數.【分析】利用常見函數的冪級數展開式.【詳解】，比較兩邊系數可得，即.而，，故.【評注】分式函數的冪級數展開一般采用間接法.要熟記常用函數的冪級數展開公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.（18）（本題滿分12分）設函數在內具有二階導數，且滿足等式.（=1\*ROMANI）驗證；（=2\*ROMANII）若，求函數的表達式.【分析】利用復合函數偏導數計算方法求出代入即可得（=1\*ROMANI）.按常規方法解（=2\*ROMANII）即可.【詳解】（=1\*ROMANI）設，則.，.將代入得.（=2\*ROMANII）令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.【評注】本題為基礎題型，著重考查多元復合函數的偏導數的計算及可降階方程的求解.（19）（本題滿分12分）設在上半平面內，函數具有連續偏導數，且對任意的都有.證明：對內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有.【分析】利用曲線積分與路徑無關的條件.【詳解】兩邊對求導得.令，則.①設，則.則由①可得.故由曲線積分與路徑無關的定理可知，對內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有.【評注】本題難度較大，關鍵是如何將待求解的問題轉化為可利用已知條件的情形.（20）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解.（Ⅰ）證明方程組系數矩陣的秩；（Ⅱ）求的值及方程組的通解.【分析】（=1\*ROMANI）根據系數矩陣的秩與基礎解系的關系證明；（=2\*ROMANII）利用初等變換求矩陣的秩確定參數，然后解方程組.【詳解】（=1\*ROMANI）設是方程組的3個線性無關的解，其中.則有.則是對應齊次線性方程組的解，且線性無關.（否則，易推出線性相關，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個2階子式，所以.因此.（=2\*ROMANII）因為.又，則.對原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，，故原方程組與下面的方程組同解..選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數.【評注】本題綜合考查矩陣的秩，初等變換，方程組系數矩陣的秩和基礎解系的關系以及方程組求解等多個知識點，特別是第一部分比較新穎.這是考查綜合思維能力的一種重要表現形式，今后類似問題將會越來越多.（21）（本題滿分9分）設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(Ⅰ)求的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣和對角矩陣,使得.【分析】由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應的特征向量.將的線性無關的特征向量正交化可得正交矩陣.【詳解】(Ⅰ)因為矩陣的各行元素之和均為3，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應的特征向量.對應的全部特征向量為，其中為不為零的常數.又由題設知，即，而且線性無關，所以是矩陣的二重特征值，是其對應的特征向量，對應的全部特征向量為，其中為不全為零的常數.(Ⅱ)因為是實對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實對稱矩陣必可相似對角化，得.【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，則要想方設法將題設條件轉化為的形式.（22）（本題滿分9分）設隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數.(Ⅰ)求的概率密度(Ⅱ).【分析】求一維隨機變量函數的概率密度一般先求分布，然后求導得相應的概率密度或利用公式計算.【詳解】（=1\*ROMANI）設的分布函數為，即，則當時，；當時，.當時，.當，.所以