1對稱性的概念：對稱性普遍存在于自然界。例如五瓣對稱的梅花、桃花，六瓣對稱的水仙花、雪花（軸對稱或中心對稱）；建筑物和動物的鏡面對稱；美術與文學中也存在很多對稱的概念。對稱的雪花2345題織錦圖回文春晚落花余碧草，夜涼低月半梧桐。人隨雁遠邊城暮，雨映疏簾繡閣空。空閣繡簾疏映雨，暮城邊遠雁隨人。桐梧半月低涼夜，草碧余花落晚春。蘇軾文學中的對稱674.1對稱元素與對稱操作

對稱操作（symmetryoperation）8910114.1.2旋轉軸Cn(n)和旋轉操作?n

121314154.1.3鏡面（）和反映操作（）鏡面（或對稱面），是平分分子的平面，它把分子圖形分成兩個完全相等的兩個部分，兩部分之間互為鏡中關系。與對稱面相對應的操作是反映，它把分子中的任一點都反映到鏡面的另一側垂直延長線的等距離處。16171819204.1.4對稱中心（i）和反演操作（）

與對稱中心i對應的對稱操作叫反演或倒反。若將坐標原點放在對稱中心處，則反演操作將空間任意一點（x,y,z）變為其負值（-x,-y,-z），反演操作的矩陣表示為：xyi21連續進行兩次反演操作等于不動操作，即，最小周期為2；反演操作和它的逆操作相等，即xyin

為偶數n

為奇數反演操作是虛動作，不可能具體真實操作，只能在想象中實現。224.1.5象轉軸(或映軸Sn

)和旋轉反映操作(?n)這是一個復合動作：先繞軸旋3600/n（并未進入等價圖形），接著按垂直于軸的平面h進行反映（圖形才進入等價圖形）。232425旋轉90°反映CH4的四重象轉軸S4及旋轉反映操作

相互等價仍代表H264.2群的基礎知識4.2.1群的定義274.2.2群的乘法表28群的例子

立正（），向右轉（），向左轉（），向后轉（）構成對稱操作群全體整數對加法構成群，稱為整數加群

封閉性：所有整數（包括零）相加仍為整數

結合律：A(BC)=(AB)C;2+(3+4)=(2+3)+4

單位元素：0;0+3=3+0=3

逆元素：A-1=-A;3-1=-33+(-3)=(-3)+3=029封閉性：實數相乘仍為實數結合律：乘積與次序無關單位元素：1逆元素：A-1=1/A

此群為無限群群的例子

除零外，全體非零實數對乘法構成群（群的乘法即為代數乘法）304.2.3對稱元素的組合規律31323334354.3分子點群4.3.1點群

36分子點群分子中全部對稱操作的集合構成分子點群(pointgroups

).分子點群可以歸為四類:(1)單軸群:包括Cn、Cnh、Cnv;(2)雙面群：包括Dn、Dnh、Dnd;(3)立方群：包括Td、Th、Oh、Ih等;(4)非真旋軸群：包括Cs、Ci、S4等.37對稱元素只有一個n次軸，對稱操作共有n個，即Cn1，Cn2，Cn3，···，Cnn=E，其階次為n。對稱操作為：n階群4.3.2單軸群(軸向群)①Cn群分子中常見的Cn點群有：C1,C2,C3。38C2

群39R2R2R1R1C2

群40Cn群分子實例

C3群414243在Cn的基礎上加上與垂直Cn的h。Cnh群為2n階群，對稱操作為：②

Cnh群44C2h群:反式二氯乙烯C2h群:N2F2Cnh群分子實例

C3h群454647在Cn的基礎上加上n個通過主軸的v，Cnv群為2n階群。對稱操作：分子中常見的Cnv點群有：C2v：H2O,H2S,HCHO,順1,2-乙烯等。C3v：NH3,CH3Cl等三角錐分子。C4v：BrF5（四方錐結構）Cv：HCl,CO,NO,HCN等直線型異核分子。③

Cnv群48C2v

H2O中的C2和兩個σv臭氧菲495051CHCl3NF3C3v525354CO2,HCl等直線分子Cv55在Cn群的基礎上，加上n個垂直Cn的C2軸，Cn群為2n階。對稱操作為：4.3.3雙軸群(雙面群)Dn群5657D2群5859

D3：這種分子比較少見，其對稱元素也不易看出.

[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一實例

唯一的C3旋轉軸從xyz軸連成的正三角形中心穿過,通向Co;xyz何其相似！C3C2C2C2三條C2旋轉軸分別從每個N–N鍵中心穿過通向Co.60在Dn群的基礎上，加上一個垂直主軸的h。Dnh點群的分子實例

Dnh群61D2h群

：N2O4D2h群：乙烯62D3h群

：乙烷重疊型D4h群：XeF4D6h群：苯Dh群：I3-63在Dn群的基礎上加上n個通過主軸且又平分C2副軸夾角的鏡面d，屬于此類點群的分子也較少。Dnd群6465D3d:乙烷交錯型D4d：單質硫66D5d

:交錯型二茂鐵俯視圖67特點是有多個高次軸（n≥3的軸稱為高次軸）。4.3.4立方群含有多個高次軸的對稱元素組合所得的對稱元素系和正多面體的對稱性相對應。68

立方群：包括Td、Th、Oh、Ih等.

Td

群：屬于該群的分子，對稱性與正四面體完全相同。CH4P4

（白磷）69對稱元素有：4個C3軸，3個C2軸，6個d，3個S4（與3個C2重合）；為24階群。對稱操作為：正四面體構型分子都屬于此點群。

如：CH4，PO43-，SO42-

Td群(四面體群)70YX在Td群中,你可以找到一個四面體結構.打開P4分子，對照以下講解自己進行操作：從正四面體的每個頂點到對面的正三角形中點有一條C3穿過,所以共有4條C3,可作出8個C3對稱操作。Z從正四面體的每兩條相對的棱中點有一條S4穿過,6條棱對應著3條S4.每個S4可作出S41、S42、S43三個對稱操作，共有9個對稱操作.但每條S4必然也是C2，S42與C2對稱操作等價，所以將3個S42劃歸C2，穿過正四面體每條棱并將四面體分為兩半的是一個σd,共有6個σd。71CH4P4

（白磷）從正四面體上可以清楚地看出Td

群的對稱性.也可以把它放進一個正方體中去看.不過要記住：你要觀察的是正四面體的對稱性，而不是正方體的對稱性!72

對稱元素有：4個C3，3個C4，6個C2，6個d，3個h，i，3個S4，6個S6。對稱操作有：階次為48階。SF6，[PtCl6]2-，立方烷C8H8均屬Oh群。

Oh群(正八面體群，立方體群)73SF6

立方烷74它的對稱元素包括6個C5，10個C3，15個C2，15個和I等，Ih群的階次120。正五角十二面體和正三角二十面體構型的分子如B12H122-,B12等屬Ih點群。C60由12個五邊形和20個六邊形構成，也屬Ih點群，其五次軸與三次軸的位置如圖所示。

Ih群(十二面體群)75閉合式[B12H12]2-

(骨架為正三角二十面體)76C605次軸俯視圖C603次軸俯視圖（b）777879804.3.2分子所屬點群的判別

要確定某一分子所屬的點群，可根據分子所具有的對稱元