第六講空間桿系結(jié)構(gòu)有限元分析

桿系結(jié)構(gòu)定義：

由桿件組成的空間結(jié)構(gòu)稱(chēng)桿系結(jié)構(gòu)。桿件指細(xì)長(zhǎng)的構(gòu)件，構(gòu)件的幾何特征是一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向的尺寸。桿系結(jié)構(gòu)根據(jù)桿件兩端與其它構(gòu)件連接方式的不同，可以分為桁架和剛架。桁架(桿)——由兩端鉸接的桿件構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)。剛架(梁)——亦稱(chēng)為框架，指由兩端固接的桿件構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)。1§6-1空間桁架結(jié)構(gòu)有限元分析（桁架單元）

由于兩端鉸接，不能承受力矩，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)自由度，在整體參考系有：為方便研究，在單元上取一個(gè)局部參考系，以為原點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn)為軸的正向。在局部參考系中有：一、桁架單元?jiǎng)偠染仃?在單元中假定：利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件可以解出和，代回原式有：其中單元長(zhǎng)度為：3其中為單元截面積，為單元材料楊氏模量。

需要指出，以上單元?jiǎng)偠仁腔诰植繀⒖枷档玫降模捎诓煌膯卧渚植繀⒖枷档姆轿桓鞑幌嗤Ｒ蚨植繀⒖枷抵械膯卧?jié)點(diǎn)位移向量的方向也各不相同，局部參考系中的剛度矩陣不具有可累加性。

這就要求我們將局部參考系下的單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q到整體參考系中。4二、坐標(biāo)變換矩陣局部參考系與整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量的變換關(guān)系為：寫(xiě)成矩陣形式為：簡(jiǎn)記為：其中：5單元彈性應(yīng)變能在整體參考系中的表達(dá)式為：?jiǎn)卧獜椥詰?yīng)變能在局部參考系中的表達(dá)式為：將：代入上式有：將該式與整體參考系中的單元彈性應(yīng)變能對(duì)比可知：6三、等效單元體力載荷向量桁架單元的等效體力載荷向量可以簡(jiǎn)單地表示為：其中：為單元形心坐標(biāo)，可以由下式給出：7四、單元應(yīng)力計(jì)算8§6-2平面剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限元分析一、平面剛架單元受力分析與變形分解該單元可以承受和方向的力以及繞軸方向的力矩。在整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：為方便研究，在單元上取一個(gè)局部參考系，以為原點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn)為軸的正象。9在局部參考系中單元所受載荷可以分解為：1）軸向拉壓，主要引起單元的軸向變形。2）橫向載荷及繞平面法向的彎矩，主要引起單元的彎曲。為研究方便，我們?cè)谧鰟偧芙Y(jié)構(gòu)有限元分析時(shí)，也將單元變形分解為軸向變形與彎曲變形兩部分，分別進(jìn)行研究。在小變形條件下，可以認(rèn)為單元的軸向變形與彎曲變形是相互獨(dú)立的并符合迭加原理。因此，我們可以分別計(jì)算兩種基本變形的剛度，在進(jìn)行迭加。剛架結(jié)構(gòu)的有限元分析在研究彎曲變形時(shí)采用了材料力學(xué)梁的基本假定，因此，有時(shí)也將剛架單元稱(chēng)為梁?jiǎn)卧?01）單元軸向變形剛度矩陣與軸向變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移為：與軸向變形對(duì)應(yīng)的剛度矩陣為：

二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣112）單元彎曲變形剛度與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有、、和。假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：中性層上的根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：解出，代回?fù)隙群瘮?shù)經(jīng)整理可得：在點(diǎn)：在點(diǎn)：小變性、中心平面、12撓度函數(shù)為：其中：?jiǎn)卧行詫油馊我恻c(diǎn)沿局部參考系方向得位移可以表示為：13單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系方向得應(yīng)變可以表示為：其中：在局部參考系中單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸槠渲校骸@軸截面彎曲慣性矩14將軸向變形與彎曲變形的剛度迭加，可以得到平面剛架單元的剛度矩陣。15§6-3空間剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限元分析一、空間剛架單元受力分析與變形分解該單元可以承受三個(gè)方向的力以及繞三個(gè)軸的力矩。在整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：為方便研究，在單元上取一個(gè)局部參考系，以為原點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn)為軸。以截面的兩個(gè)慣性主軸分別為局部參考系的軸和軸。161)在軸向載荷的作用下，將產(chǎn)生軸向拉壓變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：2)在繞軸向載荷（扭矩）的作用下，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：3)在向載荷及繞軸力矩的作用下，將產(chǎn)生平面內(nèi)的彎曲變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：4)在向載荷及繞軸力矩的作用下，將產(chǎn)生平面內(nèi)的彎曲變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：17二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣1）單元軸向變形剛度矩陣與軸向變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移為：與軸向變形對(duì)應(yīng)的剛度矩陣為：

182）繞單元軸向扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣與扭轉(zhuǎn)變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)角為：在單元中假定：在點(diǎn)：在點(diǎn)：解出和代回插值函數(shù)有：

對(duì)于圓形截面有：其幾何矩陣為：19與軸向變形對(duì)應(yīng)的剛度矩陣為：

根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以得到則扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣為：令：——圓形截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩。說(shuō)明：對(duì)于非圓截面前面的應(yīng)變位移關(guān)系及扭轉(zhuǎn)慣性矩算式不成立，但剛度矩陣是普遍適用的，只是扭轉(zhuǎn)慣性矩需要用其它方法獲得，如：近似公式計(jì)算、實(shí)驗(yàn)等。203）單元平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有、、和。假定在橫向載荷和彎矩作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：解出，代回?fù)隙群瘮?shù)經(jīng)整理可得：在點(diǎn)：在點(diǎn)：21撓度函數(shù)為：其中：?jiǎn)卧行詫油馊我恻c(diǎn)沿局部參考系方向得位移可以表示為：22單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系方向得應(yīng)變可以表示為：其中：在局部參考系中單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸槠渲校骸@軸截面慣性矩234）單元平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有、、和。假定在單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：在點(diǎn)：在點(diǎn)：其中：——繞軸截面慣性矩對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋浩渌^(guò)程與平面內(nèi)的彎曲相同，不再24對(duì)稱(chēng)空間剛架單元在局部參考系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?5三、空間剛架單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q關(guān)系整體參考系1）空間剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移向量局部參考系2）空間剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移向量的變換關(guān)系——坐標(biāo)變換矩陣，具體形式如下：26其中：——局部參考系軸關(guān)于整體參考系的方向余弦——局部參考系軸關(guān)于整體參考系的方向余弦——局部參考系軸關(guān)于整體參考系的方向余弦因?yàn)榭臻g剛架單元的局部參考系有三個(gè)坐標(biāo)軸，根據(jù)單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)只能確定其中一個(gè)坐標(biāo)軸的方向，為確定其它兩個(gè)坐標(biāo)軸的方向，還需要因入一個(gè)輔助量，可以是一個(gè)節(jié)點(diǎn)或一個(gè)參考方向。27四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點(diǎn)法）所謂參考點(diǎn)法，是在單元截面主軸平面內(nèi)找一個(gè)輔助點(diǎn)（稱(chēng)參考點(diǎn)），用以幫助確定單元局部參考系。首先由點(diǎn)到點(diǎn)作一個(gè)向量

其中：取的方向?yàn)榫植繀⒖枷递S的方向，軸與整體參考系的三個(gè)方向余弦為：28再由點(diǎn)到點(diǎn)作一個(gè)向量

其中：顯然的方向垂直于和，以局部參考系軸的方向。由向量差乘規(guī)則可知：令：或?qū)懗尚辛惺叫问剑?9這樣，局部參考系軸的三個(gè)方向余弦

可以表示為：顯然的方向垂直于和，以局部參考系軸的方向。