第六章點的運動學第六章點的運動學

§6–1描述點運動的矢量法

§6–2描述點運動的直角坐標法

§6–3自然法

結論與討論§6-1矢量法1、點的運動方程—變矢量形式MMMOxyz動點M在空間運動時，矢徑r的末端將描繪出一條連續(xù)曲線，稱為矢端曲線或稱矢徑端圖，它就是動點運動的軌跡。運動方程用點在任意瞬時t的位置矢量r(t)表示。

r(t)簡稱為矢徑。oxyz—參考系r—動點M相對于原點O的位置矢量（矢徑）運動方程2、點的速度矢量（1）點的平均速度MMO

t時間間隔內(nèi)矢徑的改變量—點M的位移動點M在時間間隔△t內(nèi)的平均速度（2）點的瞬時速度速度

—描述點在t瞬時運動快慢和運動方向的力學量。速度的方向沿著運動軌跡的切線；指向與點的運動方向一致；速度大小等于速度矢量的模。速度端圖MMO（1）點的平均加速度

t時間間隔內(nèi)速度的改變量動點M在時間間隔△t內(nèi)的平均加速度（2）點的瞬時加速度O2、點的加速度矢量點在t

瞬時的加速度：

t時間間隔內(nèi)速度的改變量v′xzyOr′P′v′t＋

t瞬時:速度v(t＋

t)

或v(t)＋v(t)

v

v(t)＝v(t＋

t)－v(t)vPrt瞬時:速度v(t)加速度

—描述點在t瞬時速度大小和方向變化率的力學量。加速度的方向為v的極限方向(指向與軌跡曲線的凹向一致)

加速度大小等于矢量a的模。§6-2直角坐標法

1、點的運動方程和軌跡方程不受約束的點在空間有3個自由度，在直角坐標系中，點在空間的位置由3個方程確定：xzyOM（1）點的運動方程（2）點的軌跡方程（與時間t無關）平面曲線yxzz

2、點的速度(Oxyz)為定參考系

點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的一階導數(shù)。xzyOMyxzz速度的大小：速度的方向余弦：xzyOyxzM

點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應坐標對時間的二階導數(shù)。

3、點的加速度xzyOyxzM設：加速度的大小：加速度的方向余弦：例題1橢圓規(guī)的曲柄OA可繞定軸O轉(zhuǎn)動，端點A以鉸鏈連接于規(guī)尺BC；規(guī)尺上的點B和C可分別沿互相垂直的滑槽運動，求規(guī)尺上任一點M的軌跡方程。ACByOxMxy已知:考慮任意位置，M點的坐標x，y可以表示成消去上式中的角

，即得M點的軌跡方程:解:ACByOxMxy軌跡演示思考題：M點的軌跡是什么曲線

？軌跡演示例題2半徑為r的輪子沿直線純滾（不滑動），輪轉(zhuǎn)角

=t(為常量），求輪上任一點M的運動方程、速度和加速度。xCOyMEv解：取M點與地接觸，開始時該點與直角坐標軸原點重合,建立圖示直角坐標系。直角坐標表示的M點運動方程：O1§6-3自然法1、弧坐標要素與運動方程思路：如果點沿著已知的軌跡運動，則點的運動方程，可用點在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述。弧坐標具有以下要素：（1）有坐標原點(一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點)；（2）有正、負方向(一般以點的運動方向作為正向)；（3）有相應的坐標系(自然軸系)。s=f

(t)M(+)(-)Os弧坐標形式的運動方程：2、自然軸系（1）密切面當P′點無限接近于P點時，過這兩點的切線所組成的平面，稱為P點的密切面。①空間曲線上的任意點都存在密切面，而且是惟一的。②空間曲線上的任意點無窮小鄰域內(nèi)的一段弧長，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。③對于平面曲線而言，密切面就是該曲線所在的平面。結論：密切面s-s+PT(切線)B(副法線)（2）自然軸系自然軸系P－nb

P－空間曲線上的動點；T—過動點P的密切面內(nèi)的切

線，其正向指向弧坐標正向；N—密切面內(nèi)垂直于切線的直線，其正向指向曲率中心；B—過動點P垂直于切線和主法

線的直線，其正向由B＝T×

N確定。nb自然軸系的基矢量：、n、b

b=×nN(主法線)法平面自然軸系的特點：跟隨動點在軌跡上作空間曲線運動。

自然軸系的單位矢量、n、b

是方向在不斷變化的單位矢量。固定的直角坐標系的單位矢量i、j、k則是常矢量。3、點的速度M′MO經(jīng)過△t時間間隔，點沿軌跡由M到M′與M點的切線方向一致所以，v

和分別表示速度的大小與方向。（2）式中有關兩點討論：,則，即點沿著s+的方向運動；反之點沿著s－的方向運動。（1）若點的速度沿切線方向，大小為弧坐標對時間的一階導數(shù)。MM′O4、點的加速度反映速度大小的變化，記為反映速度方向的變化，記為（1）反映速度大小變化的加速度方向沿軌跡切線。稱為切向加速度。（2）反映速度方向變化的加速度M’M曲率定義：曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長的一階導數(shù)的絕對值。曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑。曲率半徑用ρ表示。和′以及

同處于M點的密切面內(nèi)，的極限方向垂直于，亦即n方向。MM′加速度表示為自然軸系投影形式切向加速度法向加速度幾點討論切向加速度表示速度矢量大小的變化率；法向加速度表示速度矢量方向的變化率；表明加速度

a在副法線方向沒有分量；還表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面內(nèi)。點的加速度的大小和方向若

at

=恒量，則動點的運動稱為曲線勻變速運動由 dv=at

dt積分得v=v0+att同理，得s=s0

+v0t+

上兩式雖與點的直線運動的公式完全相似，但式at不是a，at反映點作曲線運動的運動速度大小變化。曲線勻速運動：

at

=0

注意：曲線運動中，除v=0的瞬時外，點的法向加速度總不為零。直線或曲線的拐點處ρ→∞，法向加速度等于零。幾點討論s解（1）建立圖示弧坐標OMAB2C加速度速度運動方程va例題3已知：R，=t(為常數(shù)），求：(1)小環(huán)M的運動方程、速度、加速度；(2)小環(huán)M相對于AB桿的速度、加速度(2)建立圖示直角坐標系加速度速度運動方程OMAB2Cx′y′例題4

銷釘B可沿半徑等于R的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動，OA=R=0.1m。已知擺桿的轉(zhuǎn)角（時間以s計，φ以rad計），試求銷釘在t1=1/4s和t2=1s時的加速度。ROωφREDBCsO'Aθ-s+s運動演示已知銷釘B的軌跡是圓弧DE，中心在A點，半徑是R。選滑道上O'點作為弧坐標的原點，并以O'D為正向。則B點在任一瞬時的弧坐標這就是B點的自然形式的運動方程。解：但是，由幾何關系知，且，將其代入上式，得

ROωφREDBCsO'Aθ-s+sROωφREDBCsO'Aθ-s+sB點的速度vtB點的加速度a在切向的投影而在法向的投影atan且a1沿切線的負向。當

時,,，又

,。可見,這時B點的加速度大小當t1=1s

時,

又可見，這時點B的加速度大小且a2沿半徑B2A。a2=a1nADB1B2Rθ1Ea1=a1t描述點運動的三種方法比較●變矢量法－結果簡明，具有概括性，且與坐標選擇無關。對于實際問題需將變矢量及其導數(shù)表示成標量及其導數(shù)的形式。●直角坐標法－實際問題中，一種廣泛應用的方法。●弧坐標法－應用于運動軌跡已知的情形，其最大特點是將速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開來，使得數(shù)學表達式的含義物理意義更加清晰。結論與討論點的運動學應用的兩類問題第一類問題：已知運動軌跡，確定速度與加速